4. (1)如图,已知等边三角形ABC,请画出它的外接圆和内切圆.
(2)这个外接圆的半径R与内切圆的半径r之间有怎样的数量关系？请说明理由.
(2)这个外接圆的半径R与内切圆的半径r之间有怎样的数量关系？请说明理由.
答案
解：(1)如图所示
(2)R=2r，理由如下：
设△ABC的内切圆与AC相切于点E ，连接OE ， OC
∵AC是圆O的切线
∴OE⊥AC
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB = 60°
∴$ ∠ECO=\frac 12∠ACB=30°$
∴OC= 2OE，即R= 2r
5. 如图,AB、CD是两条互相垂直的公路,∠ACP= 45°,设计师想在拐弯处用一段圆弧形弯道把它们连接起来(圆弧在A、C两点处分别与道路相切).你能在图中画出圆弧形弯道的示意图吗？
答案
解：如图所示
6. 任何三角形都有一个内切圆,如果四边形有一个内切圆,该四边形有什么性质？
答案
解：该四边形的对边之和相等
你知道三等分角仪吗？用材料制成如图2-28的阴影部分的形状,使AB与半圆的半径BC、CD相等,PB⊥AD,这便做成了“三等分角仪”.若要把∠MPN三等分,可将三等分角仪放在∠MPN上,适当调整它的位置,使PB通过角的顶点P,点A落在角的边PM上,角的另一边与半圆相切于点E,然后过B、C两点分别作两条射线PB、PC,则∠MPB= ∠BPC= ∠CPN.为什么？
答案
证明：∵AB =BC，PB⊥AC
∴AP= PC
∴∠MPB=∠CPB
∵PB⊥BC，且BC为半圆的半径
∴PB为半圆的切线
又∵PN为半圆的切线
∴∠BPC=∠CPN
∴∠MPB=∠BPC=∠CPN
∴AP= PC
∴∠MPB=∠CPB
∵PB⊥BC，且BC为半圆的半径
∴PB为半圆的切线
又∵PN为半圆的切线
∴∠BPC=∠CPN
∴∠MPB=∠BPC=∠CPN
