13. (★★) 如图 22.1 - 22,在平面直角坐标系中,直线 $ y = -x - 2 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ $ (a \gt 0) $ 经过 $ A $, $ B $ 两点,并与 $ x $ 轴的正半轴交于点 $ C $.
(1) 求 $ a $, $ b $ 满足的关系式及 $ c $ 的值；
(2) 当 $ a = \frac{1}{4} $ 时,若 $ P $ 是抛物线对称轴上的一个动点,求 $ \triangle ABP $ 周长的最小值.

(1) 对于直线$y = -x - 2$，令$y=0$，得$0=-x-2$，解得$x=-2$，则$A(-2,0)$；令$x=0$，得$y=-2$，则$B(0,-2)$。
抛物线$y=ax^2+bx+c$过点$B(0,-2)$，则$c=-2$。
抛物线过点$A(-2,0)$，代入得$0=a(-2)^2+b(-2)+c$，将$c=-2$代入，得$4a-2b-2=0$，化简得$2a - b=1$，即$b=2a-1$。
(2) 当$a=\frac{1}{4}$时，$b=2×\frac{1}{4}-1=-\frac{1}{2}$，抛物线解析式为$y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2$。
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-\frac{1}{2}}{2×\frac{1}{4}}=1$，即直线$x=1$。
$A(-2,0)$关于对称轴$x=1$的对称点为$A'(4,0)$。
连接$A'B$交对称轴于点$P$，此时$AP+BP$最小，最小值为$A'B$的长。
$AB=\sqrt{(-2-0)^2+(0+2)^2}=2\sqrt{2}$，$A'B=\sqrt{(4-0)^2+(0+2)^2}=2\sqrt{5}$。
故$\triangle ABP$周长最小值为$AB+A'B=2\sqrt{2}+2\sqrt{5}$。
(1) $c=-2$，$b=2a-1$；(2) $2\sqrt{2}+2\sqrt{5}$。

14. (★★) 如图 22.1 - 23,抛物线 $ y = -x^{2}+2x + c $ 与 $ x $ 轴正半轴、 $ y $ 轴正半轴分别交于点 $ A $, $ B $,且 $ OA = OB $,点 $ G $ 为抛物线的顶点.
(1) 求抛物线的解析式及点 $ G $ 的坐标；
(2) $ M $, $ N $ 为抛物线上两点(点 $ M $ 在点 $ N $ 的左侧),且到对称轴的距离分别为 $ 3 $ 个单位长度和 $ 5 $ 个单位长度, $ Q $ 为抛物线上点 $ M $, $ N $ 之间(含点 $ M $, $ N $)的一个动点,求点 $ Q $ 的纵坐标 $ y_Q $ 的取值范围.

(1) 解析式 $ y=-x^2+2x+3 $，$ G(1,4) $；(2) $ -21\leq y_Q\leq4 $。

(1) 抛物线与 $ y $ 轴交于点 $ B $，令 $ x=0 $，得 $ y=c $，则 $ B(0,c) $，$ OB=c $。与 $ x $ 轴正半轴交于点 $ A $，令 $ y=0 $，方程为 $ -x^2+2x+c=0 $，设 $ A(a,0) $，$ a＞0 $。由 $ OA=OB $ 得 $ a=c $。将 $ A(a,0) $ 代入抛物线：$ 0=-a^2+2a+c $，又 $ a=c $，则 $ -a^2+3a=0 $，解得 $ a=3 $（$ a=0 $ 舍去），故 $ c=3 $。抛物线解析式为 $ y=-x^2+2x+3 $。对称轴 $ x=-\frac{2}{2×(-1)}=1 $，代入得 $ y=-(1)^2+2×1+3=4 $，顶点 $ G(1,4) $。
(2) 对称轴为 $ x=1 $。点 $ M $ 到对称轴距离 3，横坐标为 $ 1\pm3 $，即 $ -2 $ 或 $ 4 $；点 $ N $ 到对称轴距离 5，横坐标为 $ 1\pm5 $，即 $ -4 $ 或 $ 6 $。因 $ M $ 在 $ N $ 左侧，故 $ M(-2,-5) $，$ N(6,-21) $（异侧，含对称轴）。抛物线开口向下，顶点 $ (1,4) $ 为最大值。$ M(-2,-5) $，$ N(6,-21) $，最小值为 $ -21 $。故 $ y_Q $ 范围为 $ -21\leq y_Q\leq4 $。

15. (★★) (2023·凉山改编) 如图 22.1 - 24,已知抛物线与 $ x $ 轴交于 $ A(1,0) $ 和 $ B(-5,0) $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $. 直线 $ y = -3x + 3 $ 过抛物线的顶点 $ P $.
(1) 求抛物线的函数解析式；
(2) 若直线 $ x = m $ $ (-5 \lt m \lt 0) $ 与抛物线交于点 $ E $,与直线 $ BC $ 交于点 $ F $,当 $ EF $ 取得最大值时,求 $ m $ 的值和 $ EF $ 的最大值.

(1) 由题意，设抛物线的解析式为 $y = a(x - 1)(x + 5)$。
因为直线 $y = -3x + 3$ 过抛物线的顶点 $P$，由抛物线对称性，顶点 $P$ 的横坐标为 $\frac{1 + (-5)}{2} = -2$。
将 $x = -2$ 代入直线方程 $y = -3x + 3$，得 $y = -3(-2) + 3 = 9$，即顶点 $P$ 的坐标为 $(-2, 9)$。
将 $P(-2, 9)$ 代入抛物线解析式 $y = a(x - 1)(x + 5)$，得 $9 = a(-2 - 1)(-2 + 5)$，解得 $a = -1$。
因此，抛物线的解析式为 $y = -(x - 1)(x + 5) = -x^2 - 4x + 5$。
(2) 由抛物线的解析式 $y = -x^2 - 4x + 5$，当 $x = 0$ 时，$y = 5$，即点 $C$ 的坐标为 $(0, 5)$。
设直线 $BC$ 的解析式为 $y = kx + b$，将 $B(-5, 0)$ 和 $C(0, 5)$ 代入，得：
$\begin{cases}-5k + b = 0, \\b = 5.\end{cases}$
解得 $k = 1$，$b = 5$，即直线 $BC$ 的解析式为 $y = x + 5$。
当 $x = m$ 时，$E(m, -m^2 - 4m + 5)$，$F(m, m + 5)$，则 $EF = (-m^2 - 4m + 5) - (m + 5) = -m^2 - 5m = -(m + \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4}$。
因为 $-5 ＜ m ＜ 0$，当 $m = -\frac{5}{2}$ 时，$EF$ 取得最大值 $\frac{25}{4}$。