16. (★★) (2022·常德) 如图 22.1 - 25,已知抛物线过点 $ O(0,0) $, $ A(5,5) $,且它的对称轴为直线 $ x = 2 $.
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若 $ B $ 是抛物线对称轴上的一点,且在第一象限,当 $ \triangle OAB $ 的面积为 $ 15 $ 时,求点 $ B $ 的坐标；
(3) 在 (2) 的条件下, $ P $ 是抛物线上的动点,当 $ PA - PB $ 的值最大时,求点 $ P $ 的坐标以及 $ PA - PB $ 的最大值.

(1)$y = x^2 - 4x$；(2)$B(2,8)$；(3)$P(-2,12)$，最大值$3\sqrt{2}$。

(1) 设抛物线解析式为$y = ax^2 + bx + c$，
∵抛物线过点$O(0,0)$，∴$c = 0$，
∵对称轴为$x = 2$，∴$-\frac{b}{2a} = 2$，即$b = -4a$，
∴解析式为$y = ax^2 - 4ax$，
将$A(5,5)$代入得$5 = 25a - 20a$，解得$a = 1$，
∴$b = -4$，抛物线解析式为$y = x^2 - 4x$。
(2) 设$B(2, m)(m ＞ 0)$，
$OA$所在直线解析式：设$y = kx$，将$A(5,5)$代入得$k = 1$，即$y = x$，
$\triangle OAB$面积$S = \frac{1}{2} × |x_A(y_B - y_O) - x_B(y_A - y_O)| = \frac{1}{2} × |5m - 2 × 5| = \frac{1}{2}|5m - 10| = 15$，
解得$|5m - 10| = 30$，∵$m ＞ 0$，∴$5m - 10 = 30$，$m = 8$，
∴$B(2,8)$。
(3) 设直线$AB$解析式为$y = kx + b$，
将$A(5,5)$，$B(2,8)$代入得$\begin{cases}5k + b = 5 \\ 2k + b = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1 \\ b = 10\end{cases}$，
∴直线$AB$：$y = -x + 10$，
联立$\begin{cases}y = -x + 10 \\ y = x^2 - 4x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 5 \\ y = 5\end{cases}$（点$A$）或$\begin{cases}x = -2 \\ y = 12\end{cases}$，
∴点$P(-2,12)$时，$PA - PB$最大，
$PA - PB = AB = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 8)^2} = 3\sqrt{2}$，
∴点$P(-2,12)$，最大值$3\sqrt{2}$。

1. (★) 如果一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 有解,那么该方程的解就是二次函数 $y = ax^{2}+bx + c$ 的图象与 $x$ 轴交点的坐标。

横

对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$，当$y = 0$时，得到一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$。
一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的解，就是使$y = ax^{2}+bx + c$的值为$0$时$x$的取值，而此时对应的点就是二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象与$x$轴的交点，交点的纵坐标为$0$，横坐标就是方程$ax^{2}+bx + c = 0$的解。

2. (★) 二次函数 $y = ax^{2}+bx + c$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点时,一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 有的实数根；有一个交点时,有的实数根；没有交点时,实数根。

两个不相等；两个相等；没有

二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的实数根。当二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴有两个交点时，方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根；有一个交点时，有两个相等的实数根；没有交点时，没有实数根。

3. (★) 抛物线 $y = 2x^{2}+x - 3$ 与 $x$ 轴交点的个数为。

$2$

要确定抛物线与$x$轴的交点个数，需要计算一元二次方程$2x^{2}+x - 3 = 0$的判别式$\Delta$的值。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$2x^{2}+x - 3 = 0$中，$a = 2$，$b = 1$，$c=-3$，则$\Delta=1^{2}-4×2×(-3)=1 + 24=25$。
因为$\Delta＞0$，所以方程$2x^{2}+x - 3 = 0$有两个不同的实数解，即抛物线$y = 2x^{2}+x - 3$与$x$轴有两个交点。

4. (★) 抛物线 $y = x^{2}+2x + m - 1$ 与 $x$ 轴有两个不同的交点,则 $m$ 的取值范围是【】
A.$m ＜ 2$
B.$m ＞ 2$
C.$0 ＜ m \leq 2$
D.$m ＜ - 2$

A

抛物线 $y = x^{2} + 2x + m - 1$ 与 $x$ 轴有两个不同的交点，需要满足判别式 $\Delta ＞ 0$。
判别式 $\Delta$ 的计算公式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac$，
在本题中，$a = 1, b = 2, c = m - 1$。
将这些值代入判别式 $\Delta$，得到：
$\Delta = 2^{2} - 4 × 1 × (m - 1) = 4 - 4m + 4 = 8 - 4m$，
由于 $\Delta ＞ 0$，解得：
$8 - 4m ＞ 0 \implies m ＜ 2$，
因此，$m$ 的取值范围是 $m ＜ 2$。