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1. 如果两个变量 $ x $,$ y $ 之间的对应关系可以表示成
2. 对一次函数 $ y = kx + b $ 而言,自变量每增加 $ 1 $,函数值就增加
y=kx+b
($ k $,$ b $ 为常数,$ k \neq 0 $)的形式,那么称 $ y $ 是 $ x $ 的一次函数
。特别地,当 $ b = $0
时,称 $ y $ 是 $ x $ 的正比例函数
。2. 对一次函数 $ y = kx + b $ 而言,自变量每增加 $ 1 $,函数值就增加
k
,函数值的变化是“均匀”的。答案
1.y=kx+b 一次函数 0 正比例函数 2.k
1. 下列函数是关于 $ x $ 的一次函数的是(
A.$ y = \frac{1}{x} $
B.$ y = 2x^2 + 1 $
C.$ y = 3 - \frac{1}{2}x $
D.$ y = \sqrt{x} $
C
)。A.$ y = \frac{1}{x} $
B.$ y = 2x^2 + 1 $
C.$ y = 3 - \frac{1}{2}x $
D.$ y = \sqrt{x} $
答案
C
解析
一次函数的一般形式为$y = kx + b$（$k$、$b$为常数，$k \neq 0$）。
选项A：$y = \frac{1}{x} = x^{-1}$，自变量$x$的次数为$-1$，不是一次函数。
选项B：$y = 2x^2 + 1$，自变量$x$的次数为$2$，是二次函数，不是一次函数。
选项C：$y = 3 - \frac{1}{2}x = -\frac{1}{2}x + 3$，符合一次函数的一般形式，其中$k = -\frac{1}{2}$，$b = 3$，是一次函数。
选项D：$y = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$，自变量$x$的次数为$\frac{1}{2}$，不是一次函数。
C
选项A：$y = \frac{1}{x} = x^{-1}$，自变量$x$的次数为$-1$，不是一次函数。
选项B：$y = 2x^2 + 1$，自变量$x$的次数为$2$，是二次函数，不是一次函数。
选项C：$y = 3 - \frac{1}{2}x = -\frac{1}{2}x + 3$，符合一次函数的一般形式，其中$k = -\frac{1}{2}$，$b = 3$，是一次函数。
选项D：$y = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$，自变量$x$的次数为$\frac{1}{2}$，不是一次函数。
C
2. 下列关系是正比例关系的是(
A.当路程 $ s $ 一定时,行驶速度 $ v $ 与行驶时间 $ t $
B.圆的面积 $ S $ 与圆的半径 $ r $
C.正方体的体积 $ V $ 与它的棱长 $ a $
D.正方形的周长 $ C $ 与它的边长 $ a $
D
)。A.当路程 $ s $ 一定时,行驶速度 $ v $ 与行驶时间 $ t $
B.圆的面积 $ S $ 与圆的半径 $ r $
C.正方体的体积 $ V $ 与它的棱长 $ a $
D.正方形的周长 $ C $ 与它的边长 $ a $
答案
D
解析
A. 路程$s$一定时，$v=\frac{s}{t}$，$v$与$t$成反比例关系。
B. 圆的面积$S=\pi r^2$，$S$与$r$不成正比例关系。
C. 正方体体积$V=a^3$，$V$与$a$不成正比例关系。
D. 正方形周长$C=4a$，$C$与$a$成正比例关系。
D
B. 圆的面积$S=\pi r^2$，$S$与$r$不成正比例关系。
C. 正方体体积$V=a^3$，$V$与$a$不成正比例关系。
D. 正方形周长$C=4a$，$C$与$a$成正比例关系。
D
3. 对于一次函数 $ y = kx + b $,当自变量 $ x $ 的值增加 $ 2 $ 时,对应的函数值 $ y $ 减少 $ 6 $,则 $ k $ 的值为(
A.$ 3 $
B.$ -2 $
C.$ -3 $
D.$ -0.5 $
C
)。A.$ 3 $
B.$ -2 $
C.$ -3 $
D.$ -0.5 $
答案
C
解析
设原来的自变量为$x$，对应的函数值为$y = kx + b$。
当自变量增加$2$时，新的自变量为$x + 2$，此时对应的函数值为$y' = k(x + 2) + b$。
已知函数值减少$6$，即$y - y' = 6$，代入可得：
$\begin{aligned}(kx + b) - [k(x + 2) + b] &= 6\\kx + b - kx - 2k - b &= 6\\-2k &= 6\\k &= -3\end{aligned}$
C
当自变量增加$2$时，新的自变量为$x + 2$，此时对应的函数值为$y' = k(x + 2) + b$。
已知函数值减少$6$，即$y - y' = 6$，代入可得：
$\begin{aligned}(kx + b) - [k(x + 2) + b] &= 6\\kx + b - kx - 2k - b &= 6\\-2k &= 6\\k &= -3\end{aligned}$
C
4. 当 $ m $
=1
时,函数 $ y = (m + 2)x + 1 - m $ 是正比例函数；当 $ m $≠-2
时,函数 $ y = (m + 2)x + 1 - m $ 是一次函数。答案
=1 ≠-2
解析
当函数$y=(m + 2)x + 1 - m$是正比例函数时，需满足$\begin{cases}m + 2 \neq 0 \\ 1 - m = 0\end{cases}$，解得$m = 1$；当函数$y=(m + 2)x + 1 - m$是一次函数时，需满足$m + 2 \neq 0$，解得$m \neq -2$。
=1；≠-2
=1；≠-2
5. 已知函数 $ y = (m - 2)x + m^2 - 4 $ 是正比例函数,则 $ m = $
-2
。答案
-2
解析
解：因为函数$y=(m - 2)x + m^2 - 4$是正比例函数，所以$\begin{cases}m - 2 \neq 0 \\ m^2 - 4 = 0\end{cases}$
由$m^2 - 4 = 0$，得$m = \pm 2$
又因为$m - 2 \neq 0$，所以$m \neq 2$
故$m = -2$
-2
由$m^2 - 4 = 0$，得$m = \pm 2$
又因为$m - 2 \neq 0$，所以$m \neq 2$
故$m = -2$
-2
6. 写出下列各题中 $ y $ 关于 $ x $ 的函数关系式,并判断 $ y $ 是不是 $ x $ 的一次函数,是不是 $ x $ 的正比例函数。
(1)长方形的面积为 $ 20 $,长方形的长 $ y $ 与宽 $ x $ 之间的关系；
(2)刚上市时西瓜每千克 $ 3.6 $ 元,买西瓜的总价 $ y $ 元与所买西瓜 $ x $ $ kg $ 之间的关系；
(3)仓库内有粉笔 $ 400 $ 盒,如果每星期领出 $ 36 $ 盒,那么仓库内余下的粉笔盒数 $ y $ 与所领粉笔星期数 $ x $ 之间的关系；
(4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄,首次存入 $ 10000 $ 元,以后每月存入 $ 500 $ 元,存入总钱数 $ y $ 元与所存月数 $ x $ 之间的关系。
(1)长方形的面积为 $ 20 $,长方形的长 $ y $ 与宽 $ x $ 之间的关系；
(2)刚上市时西瓜每千克 $ 3.6 $ 元,买西瓜的总价 $ y $ 元与所买西瓜 $ x $ $ kg $ 之间的关系；
(3)仓库内有粉笔 $ 400 $ 盒,如果每星期领出 $ 36 $ 盒,那么仓库内余下的粉笔盒数 $ y $ 与所领粉笔星期数 $ x $ 之间的关系；
(4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄,首次存入 $ 10000 $ 元,以后每月存入 $ 500 $ 元,存入总钱数 $ y $ 元与所存月数 $ x $ 之间的关系。
答案
解:
(1)依题意,得xy=20,则y=20/x,y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数。
(2)依题意,得y=3.6x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数。
(3)依题意,得y=400-36x,y是x的一次函数,不是x的正比例函数。
(4)依题意,得y=10000+500x,y是x的一次函数,不是x的正比例函数。
(1)依题意,得xy=20,则y=20/x,y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数。
(2)依题意,得y=3.6x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数。
(3)依题意,得y=400-36x,y是x的一次函数,不是x的正比例函数。
(4)依题意,得y=10000+500x,y是x的一次函数,不是x的正比例函数。
