8. 如图,点 E 是$△ ABC$的外心,P,Q分别是AB,AC的中点,连接EP,EQ分别交BC于点F,D.若$BF=5$,$DF=3$,$CD=4$,则$△ ABC$的面积为 （）

A.18
B.24
C.30
D.36

8.B

9. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B,P的坐标分别为$(1,0),(2,5),(4,2)$.若点C在第一象限,且横坐标、纵坐标均为整数,点P是$△ ABC$的外心,则点C的坐标为.

9.$(7,4)$或$(6,5)$或$(1,4)$

10.半径为5的$\odot O$是锐角三角形$ABC$的外接圆，$AB=AC$，连接$OB$，$OC$，延长$CO$交弦$AB$于点$D$.若$△ OBD$是直角三角形，则弦$BC$的长为________.

10.$5\sqrt{3}$或$5\sqrt{2}$

11. 如图,残破的圆形轮片上,弦 $ AB $ 的垂直平分线交 $ \overset{\frown}{AB} $ 于点 $ C $,交弦 $ AB $ 于点 $ D $. $ AB=24 \ \mathrm{cm} $, $ CD=8 \ \mathrm{cm} $.
(1)求作此残片所在的圆;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)求(1)中所作圆的半径.

11.解:(1)$\odot O$即为残片所在的圆,如答图.

(2)如答图,连接$OA$,设$OA=x\ \mathrm{cm}$,由题意,得$AD=12\ \mathrm{cm}$,$OD=(x-8)\ \mathrm{cm}$,根据勾股定理,得$x^2=12^2+(x-8)^2$,解得$x=13$,即(1)中所作圆的半径为$13\ \mathrm{cm}$.

12.如图,在半径为8的$\odot O$中,弦$AB=8\sqrt{2}$,C是劣弧AB上的一个动点,D是弦AC的中点,E是弦BC的中点,P是半径OC的中点.
(1)求$∠ AOB$的度数,并说明点P为$△ ODE$的外心;
(2)当点C沿着劣弧AB从点A开始,逆时针运动到点B时,请直接写出$△ ODE$面积的取值范围.

12.解:(1)如答图①,连接$PD,PE$.
$\because AB^2=128$,$OA^2+OB^2=128$,$\therefore AB^2=OA^2+OB^2$,
$\therefore △ AOB$是直角三角形,$∠ AOB=90°$.
$\because D$是弦$AC$的中点,$E$是弦$BC$的中点,$OA=OB=OC$,$\therefore OD⊥ AC$,$OE⊥ BC$,$\therefore ∠ ODC=∠ OEC=90°$.
$\because P$是$OC$的中点,$\therefore PD=PO=PC=PE$,
$\therefore$点$P$为$△ ODE$的外心.
(2)如答图②,过点$O$作$OH⊥ DE$于点$H$,交$AB$于点$F$.$\because D$是弦$AC$的中点,$E$是弦$BC$的中点,$\therefore AD=CD$,$BE=CE$,$\therefore DE=\dfrac{1}{2}AB=4\sqrt{2}$,$DE// AB$,$\therefore OF⊥ AB$,$\therefore OF=4\sqrt{2}$.$\because OH⊥ DE$,$\therefore OH＞OF$,即$OH＞4\sqrt{2}$.当$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点时,点$O,F,H,C$共线,$OC=8$,$OF=4\sqrt{2}$,$\therefore FH=HC=\dfrac{1}{2}FC=\dfrac{1}{2}(OC-OF)=\dfrac{1}{2}×(8-4\sqrt{2})=4-2\sqrt{2}$,$\therefore OH=OF+FH=4\sqrt{2}+4-2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}$,此时$OH$取得最大值,$\therefore 4\sqrt{2}＜OH≤4+2\sqrt{2}$.$\because S_{△ ODE}=\dfrac{1}{2}DE· OH$,$\therefore 16＜S_{△ ODE}≤8\sqrt{2}+8$.