1.综合与实践
【主题】圆形纸片与剪纸艺术
【素材】图①中半径为2的圆形纸片(⊙O)若干.
【实践操作】活动一:如图②,在该圆形纸片(⊙O)上剪出一个圆周角为$90°$的扇形.
活动二:如图③,在另一圆形纸片(⊙O)内剪出一个内接正六边形,设该正六边形ABCDEF的面积为$S_1$,再连接AC,AE,剪出$△ ACE$,设$△ ACE$的面积为$S_2$.
活动三:在活动二的基础上,装饰粘贴上六个弧形花瓣,中心为点O,$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心C恰好是$△ ABO$的内心.
【实践探索】
(1)根据剪纸要求,计算图②中的扇形ABC的面积.
(2)请直接写出$\frac{S_1}{S_2}$的值:.
(3)求弧形花瓣总的周长(图④中实线部分的长度).(结果保留$π$)

1.(1)解:如答图①,连接 BC，
∵∠A=90°,
∴BC为⊙O的直径,即 BC=4.
∵AB=AC,
∴AB=$\frac{BC}{\sqrt{2}}$=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=$2\sqrt{2}$,
∴扇形 ABC 的面积为$\frac{90}{360}×π×(2\sqrt{2})^2=2π$.
(2)2
(3)解:如答图②,过点 C 作 CM⊥AB 于点 M，
∵六条等弧所对应的弦构成一个正六边形,中心为点 O,
∴∠AOB=$\frac{360°}{6}$=60°.
∵OA=OB,
∴△AOB 是等边三角形,
∴AB=OA=2,
∴AM=BM=$\frac{1}{2}AB=1$.
∵点 C 是△AOB 的内心,
∴∠CAB=∠CBA=$\frac{1}{2}×60°=30°$,∠ACB=2∠AOB=120°.
在Rt△ACM 中,AM=1,∠CAM=30°,
∴AC=$\frac{AM}{\cos30°}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{120π×\frac{2\sqrt{3}}{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}}{9}π$,
∴弧形花瓣总的周长为$\frac{4\sqrt{3}}{9}π×6=\frac{8\sqrt{3}}{3}π$.