2.(2025·兴化一模)综合与实践:数学活动课上,某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究.
问题背景:
(1)如图①,$\odot O$的半径为 4,弦$AB=4\sqrt{2}$,求圆心 O 到弦 AB 的距离.
问题迁移:
(2)如图②,在以点 O 为圆心的两个同心圆中,AB 是大圆的弦,将 AB 平移一定的距离得到对应线段$A'B'$,若线段$A'B'$的两个端点恰好在小圆上,连接$AA',BB'$.
①求证:四边形$ABB'A'$是矩形;
②已知大圆的半径为 4,小圆的半径为 3,$AB=4\sqrt{2}$,若圆心 O 在四边形$ABB'A'$的内部. 求四边形$ABB'A'$的边$AA'$的长度;
问题拓展:
(3)如图③,大圆的半径为 4,小圆的半径为 3,弦$AB=4\sqrt{2}$,点 M 在小圆上,在平面上存在点 N,将弦 AB 先关于直线 ON 翻折,再将翻折后的线段沿着直线 ON 所在方向平移 ON 个单位长度,得到线段 CD,若 CD 恰好是小圆的弦,求 MN 长度的取值范围.

2.(1)解:如答图①,连接 OA,过点 O 作 ON⊥AB 于点 N，
∴AN=BN=$\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$.
在Rt△ANO 中,ON=$\sqrt{OA^2-AN^2}$=$\sqrt{4^2-(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{2}$,
∴圆心 O 到弦 AB 的距离为$2\sqrt{2}$.
(2)①证明:如答图②,过点 O 作 OG⊥AB 于点 G,延长 GO 交A'B'于点 H,则∠BGH=90°.
由平移的性质,得 AB//A'B',AB=A'B',
∴四边形 ABB'A'是平行四边形.
∵OG⊥AB,AB//A'B',
∴BG=$\frac{1}{2}AB$,GH⊥A'B',
∴B'H=$\frac{1}{2}A'B'$,
∴BG=B'H.
又
∵AB//A'B',
∴四边形 GHB'B 是平行四边形.
∵∠BGH=90°,
∴四边形 GHB'B 是矩形,
∴∠GBB'=90°,
∴四边形 ABB'A'是矩形.
②解:如答图③,连接 OA,OA',过点 O 分别作 OE⊥AB 于点 E,OF⊥AA'于点 F,则∠OFA=∠OEA=90°.
由(2)同理可得∠BAA'=90°,
∴四边形 AFOE 是矩形.
∵OE⊥AB,
∴AE=BE=$\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$,
∴OF=AE=$2\sqrt{2}$.
在Rt△OEA 中,OE=$\sqrt{OA^2-AE^2}$=$\sqrt{4^2-(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{2}$,
∴AF=OE=$2\sqrt{2}$.
在Rt△OFA'中,A'F=$\sqrt{OA'^2-OF^2}$=$\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=1$,
∴AA'=AF+A'F=$2\sqrt{2}+1$.
(3)解:由题意,对称轴 ON 经过圆心,
∴翻折后的线段对应点 A',B'仍然在大圆⊙O 上,再将A'B'沿 ON 方向平移 ON 个单位长度,所得图形如答图④和图⑤，
由(2)同理可得 A'B'DC 为矩形,且 B'D=ON,
∴B'D=$2\sqrt{2}-1$ 或 B'D=$2\sqrt{2}+1$,
∴点 N 在以点 O 为圆心,$2\sqrt{2}-1$ 或 $2\sqrt{2}+1$ 为半径的圆上,如答图⑥和图⑦，
当 ON=$2\sqrt{2}-1$ 时,$4-2\sqrt{2}≤MN≤2+2\sqrt{2}$;
当 ON=$2\sqrt{2}+1$ 时,$2\sqrt{2}-2≤MN≤4+2\sqrt{2}$.
综上所述,当 ON=$2\sqrt{2}-1$ 时,$4-2\sqrt{2}≤MN≤2+2\sqrt{2}$,
当 ON=$2\sqrt{2}+1$ 时,$2\sqrt{2}-2≤MN≤2\sqrt{2}+4$.