24.定义:关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c$(其中$a,b,c$互不相同,且均不为0)中的常数项$c$与未知数$x$的系数$a$互换,得到的方程叫“变更方程”.例如:$ax+by=c$的“变更方程”为$cx+by=a$.
(1)方程$2x-3y=4$与它的“变更方程”组成的方程组的解为;
(2)已知关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c$的系数满足$a+b+c=0$,且$ax+by=c$与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于$x,y$的二元一次方程$mx+ny=p$的一组解,求代数式$(m+n)m-p(n+p)+2026$的值.

(1)$\begin{cases} x=-1, \\ y=-2 \end{cases}$
(2)根据题意可得$ax+by=c$的“变更方程”为$cx+by=a$，
$\therefore$联立方程组，得$\begin{cases} ax+by=c, \\ cx+by=a, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=-1, \\ y=\frac{a+c}{b}. \end{cases}$
$\because a+b+c=0$，$\therefore a+c=-b$，
$\therefore y=\frac{-b}{b}=-1$，
即$\begin{cases} x=-1, \\ y=-1. \end{cases}$
$\because \begin{cases} x=-1, \\ y=-1 \end{cases}$是二元一次方程$mx+ny=p$的一组解，
$\therefore -m-n=p$，即$m+n=-p$。
$\therefore (m+n)m-p(n+p)+2026=-pm-p(n-m-n)+2026=-pm+pm+2026=2026$。

【分析】
(1) 首先根据“变更方程”的定义，将原方程$2x-3y=4$的常数项4和x的系数2互换，得到变更方程$4x-3y=2$，再将两个方程联立组成二元一次方程组，用加减消元法消去y即可求解。
(2) 先写出$ax+by=c$的变更方程，联立两个方程组成方程组，用加减消元法先求出x的值，再推导y的表达式；结合已知$a+b+c=0$化简得到y的值，即可得到方程组的解；再将解代入$mx+ny=p$得到m、n、p的关系，最后整体代入代数式化简求值即可。
【解析】
(1) 方程$2x-3y=4$的“变更方程”为$4x-3y=2$，联立得方程组：
$\begin{cases}2x-3y=4 \\4x-3y=2 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$2x=-2$，解得$x=-1$，
将$x=-1$代入$2x-3y=4$得：$-2-3y=4$，解得$y=-2$。
(2) 根据题意，$ax+by=c$的“变更方程”为$cx+by=a$，联立得方程组：
$\begin{cases} ax+by=c \\ cx+by=a \end{cases}$
两个方程相减得：$(a-c)x=c-a$，
$\because a、c$互不相同且均不为0，$\therefore a-c≠0$，解得$x=-1$，
将$x=-1$代入$ax+by=c$得：$-a+by=c$，整理得$y=\frac{a+c}{b}$，
$\because a+b+c=0$，$\therefore a+c=-b$，
$\therefore y=\frac{-b}{b}=-1$，即方程组的解为$\begin{cases} x=-1 \\ y=-1 \end{cases}$，
将$\begin{cases} x=-1 \\ y=-1 \end{cases}$代入$mx+ny=p$得：$-m-n=p$，即$m+n=-p$，
代入代数式得：
$\begin{aligned}&(m+n)m-p(n+p)+2026\\=&-pm-p(n+p)+2026\\=&-pm-pn-p^2+2026\\=&-p(m+n+p)+2026\\=&-p(-p+p)+2026\\=&2026\end{aligned}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=-1, \\ y=-2 \end{cases}$；(2)$2026$
【知识点】
新定义问题，二元一次方程组的解法，代数式化简求值
【点评】
本题以新定义为载体考查二元一次方程相关知识，解题核心是准确理解新定义规则，熟练掌握加减消元法解方程组，同时灵活运用整体代入思想化简代数式，能有效考查知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.7

25.【观察思考】
第一个方程组为$\begin{cases}2x+y=4, \\x-y=-1,\end{cases}$解为$\begin{cases}x=1, \\y=2;\end{cases}$
第二个方程组为$\begin{cases}3x+y=7, \\2x-y=-2,\end{cases}$解为$\begin{cases}x=1, \\y=4;\end{cases}$
第三个方程组为$\begin{cases}4x+y=10, \\3x-y=-3,\end{cases}$解为$\begin{cases}x=1, \\y=6;\end{cases}$
……
【发现规律】
(1)按照以上规律,写出第四个方程组为________,解为________;
(2)写出你猜想的第$n$个方程组为________,它的解为________;(用含$n$的式子表示)
【应用规律】
(3)已知方程组$\begin{cases}mx+y=43, \\(m-1)x-y=-k,\end{cases}$且存在上面这样的方程组规律,求$m$和$k$的值.

(1)$\begin{cases}5x+y=13, \\4x-y=-4\end{cases}$；$\begin{cases}x=1, \\y=8\end{cases}$
(2)$\begin{cases}(n+1)x+y=3n+1, \\nx-y=-n\end{cases}$；$\begin{cases}x=1, \\y=2n\end{cases}$
(3)由规律，得$3n+1=43$，
解得$n=14$。
根据第n个方程组第一个方程x的系数为$n+1$，即$m=n+1$，
代入$n=14$，得$m=14+1=15$。
根据第n个方程组第二个方程的常数项为$-n=-k$，即$-14=-k$，
解得$k=14$。
$\therefore m$的值为15，$k$的值为14。

【分析】
本题是结合二元一次方程组的数字规律探究题，解题思路如下：1. 解决第(1)问时，先分别观察前3个方程组两个方程的x系数、常数项，以及解的变化规律：第一个方程x的系数依次为2、3、4，逐次加1，常数项依次为4、7、10，逐次加3；第二个方程x的系数依次为1、2、3，逐次加1，常数项依次为-1、-2、-3，逐次减1；解中x恒为1，y依次为2、4、6，逐次加2，据此可写出第四个方程组及解。2. 解决第(2)问时，把第(1)问找到的规律用含n的代数式表示即可。3. 解决第(3)问时，将给出的方程组和第n个方程组的形式对应，先根据第一个方程的常数项求出n的值，再对应求出m、k的值即可。
【解析】
(1) 根据前三个方程组的变化规律：
第一个方程x系数逐次加1，常数项逐次加3，可得第四个方程组第一个方程为$5x+y=13$；
第二个方程x系数逐次加1，常数项逐次减1，可得第四个方程组第二个方程为$4x-y=-4$；
解中x恒为1，y逐次加2，可得解为$\begin{cases}x=1 \\ y=8\end{cases}$。
(2) 推导第n个方程组：
第一个方程x系数为$n+1$，常数项为$3n+1$，即$(n+1)x+y=3n+1$；
第二个方程x系数为$n$，常数项为$-n$，即$nx-y=-n$；
解为$\begin{cases}x=1 \\ y=2n\end{cases}$。
(3) 已知方程组符合上述规律，对应第n个方程组的结构：
首先由第一个方程的常数项关系得$3n+1=43$，
解得$n=14$。
∵第n个方程组第一个方程x的系数为$n+1$，对应$m=n+1$，
代入$n=14$，得$m=14+1=15$。
∵第n个方程组第二个方程的常数项为$-n$，对应$-k=-n$，
代入$n=14$，得$-14=-k$，解得$k=14$。
【答案】
(1)$\begin{cases}5x+y=13, \\4x-y=-4\end{cases}$；$\begin{cases}x=1, \\y=8\end{cases}$
(2)$\begin{cases}(n+1)x+y=3n+1, \\nx-y=-n\end{cases}$；$\begin{cases}x=1, \\y=2n\end{cases}$
(3)$m=15$，$k=14$
【知识点】
二元一次方程组的解，数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题以二元一次方程组为载体考查规律探究能力，需要学生观察系数、常数项及解的变化特征总结通用规律，再利用规律求解参数，整体侧重观察分析能力的考查，细心梳理规律即可顺利解答。
【难度系数】
0.7