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1. 在$□ ABCD$中,已知$AB:BC=3:5$,它的周长是32,则$BC=$
10
.答案
1.10
解析
【分析】
本题可根据平行四边形对边相等的性质，先求出一组邻边的长度和，再结合已知的边长比例设未知数，列方程求解BC的长度。首先，平行四边形的周长等于2倍的邻边长度之和，先由周长算出AB与BC的和；再根据AB:BC=3:5，设AB为3x，BC为5x，代入邻边和的等式求出x的值，最后计算BC的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，BC=AD（平行四边形对边相等）
∴平行四边形的周长=2(AB+BC)=32
∴AB+BC=16
∵AB:BC=3:5
∴设AB=3x，BC=5x（x≠0）
代入得：$3x + 5x = 16$
合并同类项得：$8x=16$
解得：$x=2$
∴$BC=5x=5×2=10$
【答案】
10
【知识点】
平行四边形的性质；比例的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行四边形对边相等的性质，结合比例关系设未知数列方程求解边长，解题时注意区分平行四边形的邻边和对边，避免计算错误。
【难度系数】
0.85
本题可根据平行四边形对边相等的性质，先求出一组邻边的长度和，再结合已知的边长比例设未知数，列方程求解BC的长度。首先，平行四边形的周长等于2倍的邻边长度之和，先由周长算出AB与BC的和；再根据AB:BC=3:5，设AB为3x，BC为5x，代入邻边和的等式求出x的值，最后计算BC的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，BC=AD（平行四边形对边相等）
∴平行四边形的周长=2(AB+BC)=32
∴AB+BC=16
∵AB:BC=3:5
∴设AB=3x，BC=5x（x≠0）
代入得：$3x + 5x = 16$
合并同类项得：$8x=16$
解得：$x=2$
∴$BC=5x=5×2=10$
【答案】
10
【知识点】
平行四边形的性质；比例的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行四边形对边相等的性质，结合比例关系设未知数列方程求解边长，解题时注意区分平行四边形的邻边和对边，避免计算错误。
【难度系数】
0.85
2. 平行四边形的一组邻边长分别为3,4,一条对角线长为n.若n为整数,则n的值可以为
2
.(写出一个即可)答案
2.2（答案不唯一，2或3或4或5或6均可）
解析
【分析】
本题要求平行四边形中对角线的整数值，解题思路是明确平行四边形的一组邻边和这条对角线可构成三角形，因此可以利用三角形三边关系确定对角线的取值范围，再结合n是整数的条件选出符合要求的数值即可。
【解析】
解：
∵平行四边形的一组邻边长度为3和4，这条长度为n的对角线与两条邻边可构成三角形，
根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，
∴可得 $4 - 3 ＜ n ＜ 4 + 3$，
即 $1 ＜ n ＜ 7$，
又
∵n为整数，
∴n可取的值有2、3、4、5、6，任选其一即可，例如n=2。
【答案】
2（答案不唯一，2或3或4或5或6均可）
【知识点】
三角形三边关系；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是将平行四边形的邻边与对角线的关系转化为三角形三边的关系求解，需要注意对角线长度不能等于两边之和或两边之差，避免出现取值错误。
【难度系数】
0.8
本题要求平行四边形中对角线的整数值，解题思路是明确平行四边形的一组邻边和这条对角线可构成三角形，因此可以利用三角形三边关系确定对角线的取值范围，再结合n是整数的条件选出符合要求的数值即可。
【解析】
解：
∵平行四边形的一组邻边长度为3和4，这条长度为n的对角线与两条邻边可构成三角形，
根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，
∴可得 $4 - 3 ＜ n ＜ 4 + 3$，
即 $1 ＜ n ＜ 7$，
又
∵n为整数，
∴n可取的值有2、3、4、5、6，任选其一即可，例如n=2。
【答案】
2（答案不唯一，2或3或4或5或6均可）
【知识点】
三角形三边关系；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是将平行四边形的邻边与对角线的关系转化为三角形三边的关系求解，需要注意对角线长度不能等于两边之和或两边之差，避免出现取值错误。
【难度系数】
0.8
3. 如图,已知四边形BCDF是平行四边形,∠A=40°,∠ABF=30°,则∠CDE=
70°
.答案
3.70°
解析
【分析】
解题时先观察待求角∠CDE与已知角的关系，可借助中间角∠BFD求解：首先∠BFD是△ABF的外角，可利用三角形外角性质求出∠BFD的度数；再根据平行四边形对边平行的性质，得到BF//CD，结合平行线同位角相等的性质，即可推出∠CDE与∠BFD相等，从而得到结果。
【解析】
1. 求∠BFD的度数：
在△ABF中，∠BFD是三角形的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得
$∠ BFD = ∠ A + ∠ ABF = 40° + 30° = 70°$
2. 利用平行四边形和平行线性质求∠CDE：
∵四边形BCDF是平行四边形
∴$BF // CD$（平行四边形对边互相平行）
又
∵F、D在直线AE上，∠CDE与∠BFD是同位角
根据“两直线平行，同位角相等”，可得
$∠ CDE = ∠ BFD = 70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
三角形外角性质、平行四边形的性质、平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的关键是找准中间角∠BFD，将已知条件和待求量建立关联，熟练掌握三角形、平行四边形、平行线的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察待求角∠CDE与已知角的关系，可借助中间角∠BFD求解：首先∠BFD是△ABF的外角，可利用三角形外角性质求出∠BFD的度数；再根据平行四边形对边平行的性质，得到BF//CD，结合平行线同位角相等的性质，即可推出∠CDE与∠BFD相等，从而得到结果。
【解析】
1. 求∠BFD的度数：
在△ABF中，∠BFD是三角形的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得
$∠ BFD = ∠ A + ∠ ABF = 40° + 30° = 70°$
2. 利用平行四边形和平行线性质求∠CDE：
∵四边形BCDF是平行四边形
∴$BF // CD$（平行四边形对边互相平行）
又
∵F、D在直线AE上，∠CDE与∠BFD是同位角
根据“两直线平行，同位角相等”，可得
$∠ CDE = ∠ BFD = 70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
三角形外角性质、平行四边形的性质、平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的关键是找准中间角∠BFD，将已知条件和待求量建立关联，熟练掌握三角形、平行四边形、平行线的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$∠ ADB=90°$，$AD=3$，$AC=10$，则$AD$与$BC$间的距离为
8
.答案
4.8
三、解答题
1. 如图，在$□ ABCD$中，点E，F分别在AB，CD边上，且$AE=CF$. 求证：$ED=FB$.
1. 如图，在$□ ABCD$中，点E，F分别在AB，CD边上，且$AE=CF$. 求证：$ED=FB$.
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，AB = CD。
又∵ AE = CF，
∴ AB - AE = CD - CF，
即 BE = DF。
又∵ BE // DF，
∴ 四边形EBFD是平行四边形。
∴ ED = FB。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，AB = CD。
又∵ AE = CF，
∴ AB - AE = CD - CF，
即 BE = DF。
又∵ BE // DF，
∴ 四边形EBFD是平行四边形。
∴ ED = FB。
解析
【分析】
要证明ED=FB，可先证明两条线段所在的四边形EBFD为平行四边形，借助平行四边形对边相等的性质得到结论。首先利用平行四边形ABCD的性质可得AB与CD平行且相等；再结合已知条件AE=CF，通过线段的和差关系推出BE=DF，且BE与DF互相平行；最后根据平行四边形的判定定理即可证明四边形EBFD是平行四边形，从而得到ED=FB。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，AB = CD。
又
∵ AE = CF，
∴ AB - AE = CD - CF，
即 BE = DF。
又
∵ BE // DF，
∴ 四边形EBFD是平行四边形。
∴ ED = FB。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，AB = CD。
又
∵ AE = CF，
∴ AB - AE = CD - CF，
即 BE = DF。
又
∵ BE // DF，
∴ 四边形EBFD是平行四边形。
∴ ED = FB。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的基础证明题，核心是灵活运用平行四边形的性质与判定定理，通过已知条件推导待证线段所在的四边形为平行四边形，解题逻辑直观，容易掌握。
【难度系数】
0.85
要证明ED=FB，可先证明两条线段所在的四边形EBFD为平行四边形，借助平行四边形对边相等的性质得到结论。首先利用平行四边形ABCD的性质可得AB与CD平行且相等；再结合已知条件AE=CF，通过线段的和差关系推出BE=DF，且BE与DF互相平行；最后根据平行四边形的判定定理即可证明四边形EBFD是平行四边形，从而得到ED=FB。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，AB = CD。
又
∵ AE = CF，
∴ AB - AE = CD - CF，
即 BE = DF。
又
∵ BE // DF，
∴ 四边形EBFD是平行四边形。
∴ ED = FB。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，AB = CD。
又
∵ AE = CF，
∴ AB - AE = CD - CF，
即 BE = DF。
又
∵ BE // DF，
∴ 四边形EBFD是平行四边形。
∴ ED = FB。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的基础证明题，核心是灵活运用平行四边形的性质与判定定理，通过已知条件推导待证线段所在的四边形为平行四边形，解题逻辑直观，容易掌握。
【难度系数】
0.85
2. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC, BD$ 相交于点 $O, EF$ 和 $GH$ 过点 $O$，且点 $E, H$ 在边 $AB$ 上，点 $G, F$ 在边 $CD$ 上，已知$□ ABCD$ 的面积为 20，求阴影部分的面积。
答案
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为对角线的交点O，
∴ OB=OD，AB//CD，
∴ ∠OBH=∠ODG，∠OHB=∠OGD，
∴ △OBH ≌ △ODG，
∴ $S_{△ ODG} = S_{△ OBH}$。
同理可证△OAE ≌ △OCF，
∴ $S_{△ OCF} = S_{△ OAE}$。
因此阴影部分的面积和为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}} &= S_{△ EHO} + S_{△ ODG} + S_{△ OCF} \\&= S_{△ EHO} + S_{△ OBH} + S_{△ OAE} \\&= S_{△ AOB}\end{aligned}$
∵ 平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴ OA=OC，可得$S_{△ AOB}=S_{△ COB}$，同理$S_{△ COB}=S_{△ COD}=S_{△ DOA}$，
∴ $S_{△ AOB} = \frac{1}{4} S_{□ ABCD} = \frac{1}{4} × 20 = 5$。
答：阴影部分的面积为5。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为对角线的交点O，
∴ OB=OD，AB//CD，
∴ ∠OBH=∠ODG，∠OHB=∠OGD，
∴ △OBH ≌ △ODG，
∴ $S_{△ ODG} = S_{△ OBH}$。
同理可证△OAE ≌ △OCF，
∴ $S_{△ OCF} = S_{△ OAE}$。
因此阴影部分的面积和为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}} &= S_{△ EHO} + S_{△ ODG} + S_{△ OCF} \\&= S_{△ EHO} + S_{△ OBH} + S_{△ OAE} \\&= S_{△ AOB}\end{aligned}$
∵ 平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴ OA=OC，可得$S_{△ AOB}=S_{△ COB}$，同理$S_{△ COB}=S_{△ COD}=S_{△ DOA}$，
∴ $S_{△ AOB} = \frac{1}{4} S_{□ ABCD} = \frac{1}{4} × 20 = 5$。
答：阴影部分的面积为5。
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的相关性质：平行四边形是中心对称图形，对角线交点是它的对称中心，因此过对称中心的直线分割得到的对应三角形全等、面积相等。我们可以利用全等的性质，将分散的阴影部分面积转化为集中的△AOB的面积，再根据平行四边形对角线将平行四边形分成4个面积相等的三角形，即可求出阴影面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为对角线的交点O，
∴ OB=OD，AB//CD，
∴ ∠OBH=∠ODG，∠OHB=∠OGD，
∴ △OBH ≌ △ODG，
∴ $S_{△ ODG} = S_{△ OBH}$。
同理可证△OAE ≌ △OCF，
∴ $S_{△ OCF} = S_{△ OAE}$。
因此阴影部分的面积和为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}} &= S_{△ EHO} + S_{△ ODG} + S_{△ OCF} \\&= S_{△ EHO} + S_{△ OBH} + S_{△ OAE} \\&= S_{△ AOB}\end{aligned}$
∵ 平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴ OA=OC，可得$S_{△ AOB}=S_{△ COB}$，同理$S_{△ COB}=S_{△ COD}=S_{△ DOA}$，
∴ $S_{△ AOB} = \frac{1}{4} S_{□ ABCD} = \frac{1}{4} × 20 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；中心对称图形的性质
【点评】
本题核心是利用平行四边形的中心对称性实现面积转化，将分散的阴影面积整合为规则三角形的面积，再结合平行四边形对角线分图形为四个等面积三角形的性质求解，有效考察了转化思想在几何面积问题中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平行四边形的相关性质：平行四边形是中心对称图形，对角线交点是它的对称中心，因此过对称中心的直线分割得到的对应三角形全等、面积相等。我们可以利用全等的性质，将分散的阴影部分面积转化为集中的△AOB的面积，再根据平行四边形对角线将平行四边形分成4个面积相等的三角形，即可求出阴影面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为对角线的交点O，
∴ OB=OD，AB//CD，
∴ ∠OBH=∠ODG，∠OHB=∠OGD，
∴ △OBH ≌ △ODG，
∴ $S_{△ ODG} = S_{△ OBH}$。
同理可证△OAE ≌ △OCF，
∴ $S_{△ OCF} = S_{△ OAE}$。
因此阴影部分的面积和为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}} &= S_{△ EHO} + S_{△ ODG} + S_{△ OCF} \\&= S_{△ EHO} + S_{△ OBH} + S_{△ OAE} \\&= S_{△ AOB}\end{aligned}$
∵ 平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴ OA=OC，可得$S_{△ AOB}=S_{△ COB}$，同理$S_{△ COB}=S_{△ COD}=S_{△ DOA}$，
∴ $S_{△ AOB} = \frac{1}{4} S_{□ ABCD} = \frac{1}{4} × 20 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；中心对称图形的性质
【点评】
本题核心是利用平行四边形的中心对称性实现面积转化，将分散的阴影面积整合为规则三角形的面积，再结合平行四边形对角线分图形为四个等面积三角形的性质求解，有效考察了转化思想在几何面积问题中的应用。
【难度系数】
0.7
