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1.「2026浙江模拟」如图，已知等边$△ ABC$，按如下步骤作图：①延长$BA$，$BC$；②以$A$为圆心，$AB$的长为半径作圆，交$BM$于点$D$；③以$D$为圆心，$AB$的长为半径作圆，交$BM$于点$E$；④以$E$为圆心，$AB$的长为半径作圆，交$\odot D$于点$F$；⑤连接$DF$。
(1)求证：$∠ ADF=120°$。
(2)继续用尺规作图，画出正六边形$ADFGHC$。
（不写作法，保留作图痕迹）
(1)求证：$∠ ADF=120°$。
(2)继续用尺规作图，画出正六边形$ADFGHC$。
（不写作法，保留作图痕迹）
答案
(1)证明:如图1,连接EF,由作图可知DE=DF=EF=AB,
∴△EDF是等边三角形,
∴∠EDF=60°,
∴∠ADF=180°-∠EDF=120°.
(2)如图2,正六边形ADFGHC即为所求(作法不唯一).
解析
【分析】
(1) 要证明∠ADF=120°，首先从作图步骤中提取线段等量关系：由作图可知DE、DF、EF的长度均等于AB，因此先连接EF，可证△EDF是等边三角形，得到∠EDF=60°，再利用邻补角的性质即可求出∠ADF的度数。
(2) 正六边形的边长等于其外接圆半径，且相邻边夹角为120°，因此以AB的长为半径，依次以已得到的点为圆心作圆找到对应交点G、H，顺次连接各点即可得到所求正六边形。
【解析】
(1) 证明：如图1，连接EF，由作图步骤可知DE=DF=EF=AB，
根据三边相等的三角形是等边三角形，可得△EDF是等边三角形，
∴∠EDF=60°，
∵∠ADF与∠EDF互为邻补角，
∴∠ADF=180°-∠EDF=180°-60°=120°。
(2) 以AB长为半径，依次以F、C等点为圆心作圆得到交点G、H，顺次连接A、D、F、G、H、C，即可得到正六边形ADFGHC，作图痕迹如图2所示。
【答案】
(1)证明:如图1,连接EF,由作图可知DE=DF=EF=AB,
∴△EDF是等边三角形,
∴∠EDF=60°,
∴∠ADF=180°-∠EDF=120°.
(2)如图2,正六边形ADFGHC即为所求(作法不唯一).
【知识点】
等边三角形判定与性质、圆的基本性质、正多边形作图
【点评】
本题将尺规作图与几何证明结合，既考查了等边三角形、圆的基础性质，也考查了正六边形的作图方法，侧重对学生逻辑推理能力和动手操作能力的考查，解题的关键是从作图步骤中提取边长相等的隐含条件。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠ADF=120°，首先从作图步骤中提取线段等量关系：由作图可知DE、DF、EF的长度均等于AB，因此先连接EF，可证△EDF是等边三角形，得到∠EDF=60°，再利用邻补角的性质即可求出∠ADF的度数。
(2) 正六边形的边长等于其外接圆半径，且相邻边夹角为120°，因此以AB的长为半径，依次以已得到的点为圆心作圆找到对应交点G、H，顺次连接各点即可得到所求正六边形。
【解析】
(1) 证明：如图1，连接EF，由作图步骤可知DE=DF=EF=AB，
根据三边相等的三角形是等边三角形，可得△EDF是等边三角形，
∴∠EDF=60°，
∵∠ADF与∠EDF互为邻补角，
∴∠ADF=180°-∠EDF=180°-60°=120°。
(2) 以AB长为半径，依次以F、C等点为圆心作圆得到交点G、H，顺次连接A、D、F、G、H、C，即可得到正六边形ADFGHC，作图痕迹如图2所示。
【答案】
(1)证明:如图1,连接EF,由作图可知DE=DF=EF=AB,
∴△EDF是等边三角形,
∴∠EDF=60°,
∴∠ADF=180°-∠EDF=120°.
(2)如图2,正六边形ADFGHC即为所求(作法不唯一).
【知识点】
等边三角形判定与性质、圆的基本性质、正多边形作图
【点评】
本题将尺规作图与几何证明结合，既考查了等边三角形、圆的基础性质，也考查了正六边形的作图方法，侧重对学生逻辑推理能力和动手操作能力的考查，解题的关键是从作图步骤中提取边长相等的隐含条件。
【难度系数】
0.7
2.「2026江苏徐州泉山一模」根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图,保留作图痕迹,不写作法.
(1)如图1,作$\odot O$的一个内接等边三角形.
(2)如图2,作$\odot M$的一个外切直角三角形.
(1)如图1,作$\odot O$的一个内接等边三角形.
(2)如图2,作$\odot M$的一个外切直角三角形.
答案
(1)如图1,△ABC即为所求(答案不唯一).
(2)如图2,△ABC即为所求(答案不唯一).
解析
【分析】
(1)要作⊙O的内接等边三角形，核心是将圆周三等分：等边三角形各边对应的圆心角均为120°，我们可以先在圆上取一点，以该点为圆心、⊙O的半径为半径画弧，得到圆上的两个交点，这三个点就是圆的三等分点，顺次连接即可得到内接等边三角形。
(2)要作⊙M的外切直角三角形，需满足两个条件：一是三角形三边均为⊙M的切线，二是三角形有一个内角为90°。我们可以先作两条互相垂直的⊙M的切线，两切线交点即为直角顶点，再作第三条⊙M的切线，和前两条切线相交，即可得到符合要求的外切直角三角形。
【解析】
(1)①过圆心O作直径，记直径的右端点为A；②以A为圆心，⊙O的半径长为半径画弧，交⊙O于B、C两点；③依次连接AB、BC、CA，得到的△ABC就是⊙O的内接等边三角形，保留所有作图痕迹即可。
(2)①作水平、竖直两条互相垂直的直线，使两条直线均与⊙M相切，两直线交点记为C（此时∠C为直角）；②作⊙M的第三条切线，与水平切线交于点A、与竖直切线交于点B；③得到的△ABC就是⊙M的外切直角三角形，保留所有作图痕迹即可。
注：作图方法不唯一，符合要求即可。
【答案】
(1)如图1,△ABC即为所求(答案不唯一).
(2)如图2,△ABC即为所求(答案不唯一).
【知识点】
尺规作图、圆内接正多边形、圆的切线性质
【点评】
本题是基础作图题，考查和圆相关的尺规作图能力，解题关键是掌握圆内接等边三角形的特征以及圆外切三角形的切线性质，作图方法灵活，符合要求即可得分。
【难度系数】
0.7
(1)要作⊙O的内接等边三角形，核心是将圆周三等分：等边三角形各边对应的圆心角均为120°，我们可以先在圆上取一点，以该点为圆心、⊙O的半径为半径画弧，得到圆上的两个交点，这三个点就是圆的三等分点，顺次连接即可得到内接等边三角形。
(2)要作⊙M的外切直角三角形，需满足两个条件：一是三角形三边均为⊙M的切线，二是三角形有一个内角为90°。我们可以先作两条互相垂直的⊙M的切线，两切线交点即为直角顶点，再作第三条⊙M的切线，和前两条切线相交，即可得到符合要求的外切直角三角形。
【解析】
(1)①过圆心O作直径，记直径的右端点为A；②以A为圆心，⊙O的半径长为半径画弧，交⊙O于B、C两点；③依次连接AB、BC、CA，得到的△ABC就是⊙O的内接等边三角形，保留所有作图痕迹即可。
(2)①作水平、竖直两条互相垂直的直线，使两条直线均与⊙M相切，两直线交点记为C（此时∠C为直角）；②作⊙M的第三条切线，与水平切线交于点A、与竖直切线交于点B；③得到的△ABC就是⊙M的外切直角三角形，保留所有作图痕迹即可。
注：作图方法不唯一，符合要求即可。
【答案】
(1)如图1,△ABC即为所求(答案不唯一).
(2)如图2,△ABC即为所求(答案不唯一).
【知识点】
尺规作图、圆内接正多边形、圆的切线性质
【点评】
本题是基础作图题，考查和圆相关的尺规作图能力，解题关键是掌握圆内接等边三角形的特征以及圆外切三角形的切线性质，作图方法灵活，符合要求即可得分。
【难度系数】
0.7
3.「2025吉林中考」图①,图②均是6×6的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,△ABC内接于⊙O,且点A,B,C,O均在格点上.只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图.
(1)在图①中找一个格点D(点D不与点C重合),画出∠ADB,使∠ADB=∠ACB.
(2)在图②中找一个格点E,画出∠AEC,使∠AEC+∠ABC=180°.
(1)在图①中找一个格点D(点D不与点C重合),画出∠ADB,使∠ADB=∠ACB.
(2)在图②中找一个格点E,画出∠AEC,使∠AEC+∠ABC=180°.
答案
(1)如图①,点D即为所求(答案不唯一).
(2)如图②,点E即为所求(答案不唯一).
解析
【分析】
(1) 要使∠ADB=∠ACB，回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角相等。两个角都对应弧AB，因此只需找与点C在弦AB同侧、在⊙O上的格点D即可，连接AD、BD就得到符合要求的角。
(2) 要使∠AEC+∠ABC=180°，回忆圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。因此只需找与点B在弦AC异侧、在⊙O上的格点E，此时四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∠AEC与∠ABC为对角，满足互补的要求，连接AE、CE即可。
【解析】
(1) 由圆周角定理可知，同弧AB所对的圆周角相等。在⊙O上找到与点C位于弦AB同侧的格点D，连接AD、BD，所得∠ADB与∠ACB均为弧AB所对的圆周角，故∠ADB=∠ACB，点D即为所求。
(2) 由圆内接四边形对角互补的性质可知，若四边形ABCE为⊙O的内接四边形，则∠AEC+∠ABC=180°。在⊙O上找到与点B位于弦AC异侧的格点E，连接AE、CE，所得∠AEC满足要求，点E即为所求。
【答案】
(1)如图①,点D即为所求(答案不唯一).
(2)如图②,点E即为所求(答案不唯一).
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；网格作图
【点评】
本题是网格背景下的圆作图题，核心考查圆的基础性质的应用，解题的关键是结合所求角的关系对应到圆的相关性质，再结合网格特征快速定位符合要求的格点，属于基础类作图题。
【难度系数】
0.7
(1) 要使∠ADB=∠ACB，回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角相等。两个角都对应弧AB，因此只需找与点C在弦AB同侧、在⊙O上的格点D即可，连接AD、BD就得到符合要求的角。
(2) 要使∠AEC+∠ABC=180°，回忆圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。因此只需找与点B在弦AC异侧、在⊙O上的格点E，此时四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∠AEC与∠ABC为对角，满足互补的要求，连接AE、CE即可。
【解析】
(1) 由圆周角定理可知，同弧AB所对的圆周角相等。在⊙O上找到与点C位于弦AB同侧的格点D，连接AD、BD，所得∠ADB与∠ACB均为弧AB所对的圆周角，故∠ADB=∠ACB，点D即为所求。
(2) 由圆内接四边形对角互补的性质可知，若四边形ABCE为⊙O的内接四边形，则∠AEC+∠ABC=180°。在⊙O上找到与点B位于弦AC异侧的格点E，连接AE、CE，所得∠AEC满足要求，点E即为所求。
【答案】
(1)如图①,点D即为所求(答案不唯一).
(2)如图②,点E即为所求(答案不唯一).
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；网格作图
【点评】
本题是网格背景下的圆作图题，核心考查圆的基础性质的应用，解题的关键是结合所求角的关系对应到圆的相关性质，再结合网格特征快速定位符合要求的格点，属于基础类作图题。
【难度系数】
0.7
4.「2026 江苏宿迁沭阳一模改编」请仅用无刻度的直尺作图.
(1)如图 1,△ABC 是$\odot O$的内接三角形,点 P 在$\odot O$上,且$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$.画出∠BAC 的平分线.
(2)如图 2,△ABC 是$\odot O$的内接三角形,D 是 BC 的中点.画出∠BAC 的平分线.
(3)如图 3,$\odot O$为△ABC 的外接圆,BC 是非直径的弦,D 是 BC 的中点,E 是 AB 的中点,请画出△ABC 的内心 I.
(1)如图 1,△ABC 是$\odot O$的内接三角形,点 P 在$\odot O$上,且$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$.画出∠BAC 的平分线.
(2)如图 2,△ABC 是$\odot O$的内接三角形,D 是 BC 的中点.画出∠BAC 的平分线.
(3)如图 3,$\odot O$为△ABC 的外接圆,BC 是非直径的弦,D 是 BC 的中点,E 是 AB 的中点,请画出△ABC 的内心 I.
答案
(1)如图 1,连接 AP,
∵$\overgroup{BP}=\overgroup{CP}$,
∴∠BAP=∠CAP,
即 AP 平分∠BAC.
(2)如图 2,连接 OD 并延长,交⊙O 于点 E,连接 AE,
∵D 是 BC 的中点,
∴$\overgroup{BE}=\overgroup{CE}$,
∴∠BAE=∠CAE,即AE 平分∠BAC.
(3)如图 3,连接 OD 并延长,交⊙O 于点 F,连接 AF,则 AF 平分∠BAC,
连接 OE 并延长,交⊙O 于点 G,连接 CG,则 CG 平分∠ACB,
AF 与 CG 的交点即为△ABC 的内心 I.
解析
【分析】
(1) 要作∠BAC的平分线，可利用圆周角定理中等弧所对圆周角相等的性质：已知$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$，说明P是劣弧BC的中点，连接AP，AP即可平分∠BAC。
(2) D是BC中点，结合垂径定理：过圆心和弦中点的直线平分弦所对的弧，因此延长OD交$\odot O$于E，E就是劣弧BC的中点，连接AE即可得到∠BAC的平分线。
(3) 三角形内心是三个内角平分线的交点：先按(2)的方法作出∠BAC的平分线；再同理，E是AB中点，连接OE延长交$\odot O$于G，G是劣弧AB的中点，连接CG可得∠ACB的平分线，两条角平分线的交点即为内心I。
【解析】
(1) 连接AP，因为同圆中等弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$，所以∠BAP=∠CAP，AP就是∠BAC的平分线。
(2) 连接OD并延长交$\odot O$于E，连接AE。因为D是BC中点，O是圆心，根据垂径定理，OD平分BC所对的弧，即$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，因此∠BAE=∠CAE，AE是∠BAC的平分线。
(3) 第一步：连接OD并延长交$\odot O$于F，连接AF，AF平分∠BAC；第二步：连接OE并延长交$\odot O$于G，连接CG，CG平分∠ACB；第三步：AF和CG的交点就是△ABC的内心I，因为三角形的内心是内角平分线的交点。
【答案】
(1)如图 1,连接 AP,
∵$\overgroup{BP}=\overgroup{CP}$,
∴∠BAP=∠CAP,
即 AP 平分∠BAC.
(2)如图 2,连接 OD 并延长,交⊙O 于点 E,连接 AE,
∵D 是 BC 的中点,
∴$\overgroup{BE}=\overgroup{CE}$,
∴∠BAE=∠CAE,即AE 平分∠BAC.
(3)如图 3,连接 OD 并延长,交⊙O 于点 F,连接 AF,则 AF 平分∠BAC,
连接 OE 并延长,交⊙O 于点 G,连接 CG,则 CG 平分∠ACB,
AF 与 CG 的交点即为△ABC 的内心 I.
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，三角形内心定义
【点评】
本题是圆中无刻度直尺作图题，核心是将几何图形的性质和作图需求结合，不需要额外测量工具，仅通过连线利用圆的基本性质、三角形内心的特征即可完成作图，重点考查对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要作∠BAC的平分线，可利用圆周角定理中等弧所对圆周角相等的性质：已知$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$，说明P是劣弧BC的中点，连接AP，AP即可平分∠BAC。
(2) D是BC中点，结合垂径定理：过圆心和弦中点的直线平分弦所对的弧，因此延长OD交$\odot O$于E，E就是劣弧BC的中点，连接AE即可得到∠BAC的平分线。
(3) 三角形内心是三个内角平分线的交点：先按(2)的方法作出∠BAC的平分线；再同理，E是AB中点，连接OE延长交$\odot O$于G，G是劣弧AB的中点，连接CG可得∠ACB的平分线，两条角平分线的交点即为内心I。
【解析】
(1) 连接AP，因为同圆中等弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CP}$，所以∠BAP=∠CAP，AP就是∠BAC的平分线。
(2) 连接OD并延长交$\odot O$于E，连接AE。因为D是BC中点，O是圆心，根据垂径定理，OD平分BC所对的弧，即$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，因此∠BAE=∠CAE，AE是∠BAC的平分线。
(3) 第一步：连接OD并延长交$\odot O$于F，连接AF，AF平分∠BAC；第二步：连接OE并延长交$\odot O$于G，连接CG，CG平分∠ACB；第三步：AF和CG的交点就是△ABC的内心I，因为三角形的内心是内角平分线的交点。
【答案】
(1)如图 1,连接 AP,
∵$\overgroup{BP}=\overgroup{CP}$,
∴∠BAP=∠CAP,
即 AP 平分∠BAC.
(2)如图 2,连接 OD 并延长,交⊙O 于点 E,连接 AE,
∵D 是 BC 的中点,
∴$\overgroup{BE}=\overgroup{CE}$,
∴∠BAE=∠CAE,即AE 平分∠BAC.
(3)如图 3,连接 OD 并延长,交⊙O 于点 F,连接 AF,则 AF 平分∠BAC,
连接 OE 并延长,交⊙O 于点 G,连接 CG,则 CG 平分∠ACB,
AF 与 CG 的交点即为△ABC 的内心 I.
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，三角形内心定义
【点评】
本题是圆中无刻度直尺作图题，核心是将几何图形的性质和作图需求结合，不需要额外测量工具，仅通过连线利用圆的基本性质、三角形内心的特征即可完成作图，重点考查对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
