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旋转作图的步骤:(1) 找出图形的
特殊点
;(2) 确定旋转中心
、旋转角度
和旋转方向
;(3) 作出这些特殊点
的对应点;(4) 按图形的顺序连接对应点
,得到旋转后的图形.答案
(1) 特殊点 (2) 中心 角度 方向 (3) 这些特殊点 (4) 对应点
解析
【分析】
本题考查旋转作图的基本步骤，解题时可结合旋转作图的逻辑推导每一步的内容：首先，图形的形状和位置由其关键的特殊点（如顶点、端点）决定，作图时无需对所有点进行旋转操作，因此第一步需先找出图形的特殊点；其次，旋转的结果由旋转三要素唯一确定，因此第二步要明确旋转的三个必要条件；接下来，根据确定的旋转规则，作出之前找到的特殊点旋转后的对应点；最后，按照原图形的点的连接顺序，将得到的对应点依次连接，即可得到完整的旋转后图形。
【解析】
根据旋转作图的标准步骤：
(1) 首先找出决定图形形状、位置的特殊点，无需选取所有点；
(2) 确定旋转的三个核心要素：旋转中心、旋转角度、旋转方向，三者缺一不可，否则旋转结果不唯一；
(3) 按照旋转的性质，作出第一步找到的这些特殊点旋转后的对应点；
(4) 参照原图形的点的排列顺序，连接得到的对应点，即可得到旋转后的图形。
【答案】
(1) 特殊点 (2) 中心 角度 方向 (3) 这些特殊点 (4) 对应点
【知识点】
1. 旋转作图步骤 2. 旋转的三要素
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查旋转作图的基础流程，是进行旋转作图实操的理论基础，熟练记忆旋转相关的基础概念即可作答。
【难度系数】
0.9
本题考查旋转作图的基本步骤，解题时可结合旋转作图的逻辑推导每一步的内容：首先，图形的形状和位置由其关键的特殊点（如顶点、端点）决定，作图时无需对所有点进行旋转操作，因此第一步需先找出图形的特殊点；其次，旋转的结果由旋转三要素唯一确定，因此第二步要明确旋转的三个必要条件；接下来，根据确定的旋转规则，作出之前找到的特殊点旋转后的对应点；最后，按照原图形的点的连接顺序，将得到的对应点依次连接，即可得到完整的旋转后图形。
【解析】
根据旋转作图的标准步骤：
(1) 首先找出决定图形形状、位置的特殊点，无需选取所有点；
(2) 确定旋转的三个核心要素：旋转中心、旋转角度、旋转方向，三者缺一不可，否则旋转结果不唯一；
(3) 按照旋转的性质，作出第一步找到的这些特殊点旋转后的对应点；
(4) 参照原图形的点的排列顺序，连接得到的对应点，即可得到旋转后的图形。
【答案】
(1) 特殊点 (2) 中心 角度 方向 (3) 这些特殊点 (4) 对应点
【知识点】
1. 旋转作图步骤 2. 旋转的三要素
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查旋转作图的基础流程，是进行旋转作图实操的理论基础，熟练记忆旋转相关的基础概念即可作答。
【难度系数】
0.9
1. 如图,已知菱形$OABC$的顶点$O(0,0)$,$B(2,2)$,若菱形绕点$O$逆时针旋转,每秒旋转$45°$,则第60秒时,菱形对角线的交点$D$的坐标为 （
A.$(1,-1)$
B.$(-1,-1)$
C.$(\sqrt{2},0)$
D.$(0,-\sqrt{2})$
B
）A.$(1,-1)$
B.$(-1,-1)$
C.$(\sqrt{2},0)$
D.$(0,-\sqrt{2})$
答案
B
解析
【分析】
解题思路分三步：①先求初始状态下点D的坐标：根据菱形对角线互相平分的性质，可知D是对角线OB的中点，用中点坐标公式即可求出D的初始坐标；②计算等效旋转角度：先算出60秒旋转的总角度，再除以360°取余数，得到实际等效的旋转角度（旋转整数周时点的位置不变）；③根据旋转性质求坐标：点绕原点逆时针旋转180°时，横纵坐标均变为原坐标的相反数，代入计算即可得到旋转后D的坐标。
【解析】
∵ 四边形OABC是菱形，对角线互相平分，
∴ 交点D是OB的中点，
已知O(0,0)，B(2,2)，根据中点坐标公式，初始D的坐标为$( \frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2} )=(1,1)$。
每秒旋转45°，第60秒时旋转的总角度为：$45° × 60 = 2700°$，
∵ $2700° ÷ 360° = 7······180°$，即相当于绕点O逆时针旋转了180°，
点$(1,1)$绕原点逆时针旋转180°后，横纵坐标均变为原数的相反数，即坐标为$(-1,-1)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，旋转的性质，坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题属于基础综合题，将菱形性质和旋转的性质结合考查，解题的关键是准确求出初始点坐标和等效旋转角度，掌握旋转180°的坐标变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：①先求初始状态下点D的坐标：根据菱形对角线互相平分的性质，可知D是对角线OB的中点，用中点坐标公式即可求出D的初始坐标；②计算等效旋转角度：先算出60秒旋转的总角度，再除以360°取余数，得到实际等效的旋转角度（旋转整数周时点的位置不变）；③根据旋转性质求坐标：点绕原点逆时针旋转180°时，横纵坐标均变为原坐标的相反数，代入计算即可得到旋转后D的坐标。
【解析】
∵ 四边形OABC是菱形，对角线互相平分，
∴ 交点D是OB的中点，
已知O(0,0)，B(2,2)，根据中点坐标公式，初始D的坐标为$( \frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2} )=(1,1)$。
每秒旋转45°，第60秒时旋转的总角度为：$45° × 60 = 2700°$，
∵ $2700° ÷ 360° = 7······180°$，即相当于绕点O逆时针旋转了180°，
点$(1,1)$绕原点逆时针旋转180°后，横纵坐标均变为原数的相反数，即坐标为$(-1,-1)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，旋转的性质，坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题属于基础综合题，将菱形性质和旋转的性质结合考查，解题的关键是准确求出初始点坐标和等效旋转角度，掌握旋转180°的坐标变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,点C的坐标为$(-1,0)$,$AC=2$,将$\mathrm{Rt}△ ABC$先绕点C顺时针旋转$90°$,再向右平移3个单位长度,则变换后点A对应点的坐标是（
A.$(2,2)$
B.$(1,2)$
C.$(-1,2)$
D.$(2,-1)$
A
）A.$(2,2)$
B.$(1,2)$
C.$(-1,2)$
D.$(2,-1)$
答案
A
解析
【分析】
解题需分三步完成：第一步先确定点A的初始坐标，结合点C的坐标、AC的长度和坐标系中A的位置求解；第二步计算点A绕点C顺时针旋转90°后的坐标，利用旋转前后对应线段长度不变、旋转角为90°的性质推导；第三步根据向右平移的坐标变化规则，计算最终变换后点A对应点的坐标，再匹配选项即可。
【解析】
1. 求点A的初始坐标：
已知点C坐标为$(-1,0)$，$AC=2$，点A在x轴上且位于C左侧，因此A的横坐标为$-1-2=-3$，纵坐标为0，即$A(-3,0)$。
2. 计算绕点C顺时针旋转90°后点A的坐标：
旋转后AC的长度仍为2，原来水平向左的AC顺时针旋转90°后变为竖直向上，因此旋转后点A的坐标为$(-1,0+2)=(-1,2)$。
3. 计算向右平移3个单位后的坐标：
向右平移时横坐标加3，纵坐标不变，因此变换后点A对应点的坐标为$(-1+3,2)=(2,2)$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系，图形的旋转，图形的平移
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的旋转与平移变换，核心是掌握两类变换的坐标变化规则，先确定初始点坐标再逐步推导即可，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题需分三步完成：第一步先确定点A的初始坐标，结合点C的坐标、AC的长度和坐标系中A的位置求解；第二步计算点A绕点C顺时针旋转90°后的坐标，利用旋转前后对应线段长度不变、旋转角为90°的性质推导；第三步根据向右平移的坐标变化规则，计算最终变换后点A对应点的坐标，再匹配选项即可。
【解析】
1. 求点A的初始坐标：
已知点C坐标为$(-1,0)$，$AC=2$，点A在x轴上且位于C左侧，因此A的横坐标为$-1-2=-3$，纵坐标为0，即$A(-3,0)$。
2. 计算绕点C顺时针旋转90°后点A的坐标：
旋转后AC的长度仍为2，原来水平向左的AC顺时针旋转90°后变为竖直向上，因此旋转后点A的坐标为$(-1,0+2)=(-1,2)$。
3. 计算向右平移3个单位后的坐标：
向右平移时横坐标加3，纵坐标不变，因此变换后点A对应点的坐标为$(-1+3,2)=(2,2)$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系，图形的旋转，图形的平移
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的旋转与平移变换，核心是掌握两类变换的坐标变化规则，先确定初始点坐标再逐步推导即可，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图，将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$90°$得到$△ EDC$. 若点$A,D,E$在同一条直线上，$∠ ACB=20°$, 则$∠ ADC$的度数是 （
A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$70°$
C
）A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$70°$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从旋转的性质入手：首先旋转前后的图形全等，可得对应边相等、对应角相等、旋转角为90°；接着利用边相等和旋转角判定△ACE是等腰直角三角形，求出∠E的度数；最后结合三角形外角的性质，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，
∴AC=EC，∠ACE=90°，∠DCE=∠ACB=20°，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴∠E=45°，
∵点A、D、E在同一条直线上，∠ADC是△CDE的外角，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠ADC=∠E + ∠DCE=45°+20°=65°。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是几何角度计算的基础题，解题核心是熟练运用旋转的性质得到对应边角的关系，再结合特殊三角形和三角形外角的性质计算角度，难度不大，需要注意旋转前后对应角的对应关系不要找错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以从旋转的性质入手：首先旋转前后的图形全等，可得对应边相等、对应角相等、旋转角为90°；接着利用边相等和旋转角判定△ACE是等腰直角三角形，求出∠E的度数；最后结合三角形外角的性质，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，
∴AC=EC，∠ACE=90°，∠DCE=∠ACB=20°，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴∠E=45°，
∵点A、D、E在同一条直线上，∠ADC是△CDE的外角，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠ADC=∠E + ∠DCE=45°+20°=65°。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是几何角度计算的基础题，解题核心是熟练运用旋转的性质得到对应边角的关系，再结合特殊三角形和三角形外角的性质计算角度，难度不大，需要注意旋转前后对应角的对应关系不要找错。
【难度系数】
0.7
4. 如图,等边三角形ABC的边长为4,点O是$△ ABC$的中心,$∠ FOG=120°$,绕点O旋转$∠ FOG$,分别交线段AB,BC于D,E两点,连接DE,给出下列四个结论:① $OD=OE$;② $S_{△ ODE}=S_{△ BDE}$;③ 四边形ODBE的面积始终等于$\frac{4\sqrt{3}}{3}$;④ $△ BDE$的周长的最小值为6. 上述结论正确的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
【分析】
解决本题的核心是通过构造全等三角形转化边角关系，具体思考路径如下：1. 先回忆等边三角形中心的性质，连接OB、OC，可得OB=OC、∠BOC=120°、∠OBD=∠OCE=30°，结合∠FOG=120°可推出∠BOD=∠COE，进而证明△BOD≌△COE；2. 用全等得到的等边等角结论，逐一验证四个结论：①直接由全等得OD=OE；②可通过特殊位置举例判断面积是否恒等；③利用全等将四边形面积转化为固定的△OBC的面积计算；④将△BDE的周长转化为BC+DE，结合垂线段最短求DE最小值即可判断。
【解析】
连接OB、OC，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，O是三角形中心，
∴OB=OC，∠BOC=120°，∠OBA=∠OCB=30°，
∵∠FOG=120°=∠BOC，即$∠ BOD+∠ BOE=∠ BOE+∠ COE$，
∴$∠ BOD=∠ COE$，
在$△ BOD$和$△ COE$中：
$\{\begin{array}{l}∠OBD=∠OCE \\OB=OC \\∠BOD=∠COE\end{array} $
∴$△ BOD≌△ COE$（ASA），
∴$OD=OE$，$BD=CE$，故结论①正确；
对于结论②：取特殊位置，当D为AB中点时，由全等可知E为BC中点，此时△BDE是边长为2的等边三角形，面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$；此时$OD=OE$，$∠ DOE=120°$，OD为O到AB的距离，长度为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，过O作$OH⊥DE$于H，则$∠ DOH=60°$，$OH=\frac{1}{2}OD=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$DE=2×\sqrt{OD^2-OH^2}=2$，则$S_{△ ODE}=\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，显然$S_{△ ODE}≠S_{△ BDE}$，故结论②错误；
对于结论③：
∵$△ BOD≌△ COE$，
∴$S_{△ BOD}=S_{△ COE}$，
∴$S_{四边形ODBE}=S_{△ BOD}+S_{△ BOE}=S_{△ COE}+S_{△ BOE}=S_{△ OBC}$，
∵$S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$，等边三角形中心将三角形分成3个面积相等的小三角形，
∴$S_{△ OBC}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，即四边形ODBE面积始终为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，故结论③正确；
对于结论④：△BDE的周长$=BD+BE+DE$，
∵$BD=CE$，
∴$BD+BE=CE+BE=BC=4$，即周长$=4+DE$，
由$DE=\sqrt{3}OD$可知，OD最小时DE最小，OD的最小值为O到AB的距离$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴DE最小值为2，△BDE周长最小值为$4+2=6$，故结论④正确。
综上，正确的结论为①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合类题目，解题关键是构造全等三角形实现线段、面积的转化，判断结论是否恒成立时可借助特殊位置法快速排除错误选项，求最值时要结合垂线段最短的性质分析。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是通过构造全等三角形转化边角关系，具体思考路径如下：1. 先回忆等边三角形中心的性质，连接OB、OC，可得OB=OC、∠BOC=120°、∠OBD=∠OCE=30°，结合∠FOG=120°可推出∠BOD=∠COE，进而证明△BOD≌△COE；2. 用全等得到的等边等角结论，逐一验证四个结论：①直接由全等得OD=OE；②可通过特殊位置举例判断面积是否恒等；③利用全等将四边形面积转化为固定的△OBC的面积计算；④将△BDE的周长转化为BC+DE，结合垂线段最短求DE最小值即可判断。
【解析】
连接OB、OC，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，O是三角形中心，
∴OB=OC，∠BOC=120°，∠OBA=∠OCB=30°，
∵∠FOG=120°=∠BOC，即$∠ BOD+∠ BOE=∠ BOE+∠ COE$，
∴$∠ BOD=∠ COE$，
在$△ BOD$和$△ COE$中：
$\{\begin{array}{l}∠OBD=∠OCE \\OB=OC \\∠BOD=∠COE\end{array} $
∴$△ BOD≌△ COE$（ASA），
∴$OD=OE$，$BD=CE$，故结论①正确；
对于结论②：取特殊位置，当D为AB中点时，由全等可知E为BC中点，此时△BDE是边长为2的等边三角形，面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$；此时$OD=OE$，$∠ DOE=120°$，OD为O到AB的距离，长度为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，过O作$OH⊥DE$于H，则$∠ DOH=60°$，$OH=\frac{1}{2}OD=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$DE=2×\sqrt{OD^2-OH^2}=2$，则$S_{△ ODE}=\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，显然$S_{△ ODE}≠S_{△ BDE}$，故结论②错误；
对于结论③：
∵$△ BOD≌△ COE$，
∴$S_{△ BOD}=S_{△ COE}$，
∴$S_{四边形ODBE}=S_{△ BOD}+S_{△ BOE}=S_{△ COE}+S_{△ BOE}=S_{△ OBC}$，
∵$S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$，等边三角形中心将三角形分成3个面积相等的小三角形，
∴$S_{△ OBC}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，即四边形ODBE面积始终为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，故结论③正确；
对于结论④：△BDE的周长$=BD+BE+DE$，
∵$BD=CE$，
∴$BD+BE=CE+BE=BC=4$，即周长$=4+DE$，
由$DE=\sqrt{3}OD$可知，OD最小时DE最小，OD的最小值为O到AB的距离$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴DE最小值为2，△BDE周长最小值为$4+2=6$，故结论④正确。
综上，正确的结论为①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合类题目，解题关键是构造全等三角形实现线段、面积的转化，判断结论是否恒成立时可借助特殊位置法快速排除错误选项，求最值时要结合垂线段最短的性质分析。
【难度系数】
0.6
