5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°,BC=1,AC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A₁B₁C,连接A₁A,则△A₁B₁A的面积为.

5. 1

【分析】
解题时首先利用旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等、图形面积不变，先得到旋转后A₁C=AC=2，B₁C=BC=1，旋转角∠ACA₁=90°。要求△A₁B₁A的面积，可采用割补法：△A₁B₁A的面积等于等腰直角△A₁AC的面积减去△A₁B₁C的面积，分别计算两个三角形的面积再作差即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A₁B₁C，
∴A₁C=AC=2，B₁C=BC=1，∠ACA₁=90°，且旋转前后图形面积相等，即$S_{△ A_1B_1C}=S_{△ ABC}$。
先计算$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×2×1=1$，故$S_{△ A_1B_1C}=1$。
再计算等腰直角$△ A_1AC$的面积：$S_{△ A_1AC}=\frac{1}{2}× AC× A_1C=\frac{1}{2}×2×2=2$。
因此$S_{△ A_1B_1A}=S_{△ A_1AC}-S_{△ A_1B_1C}=2-1=1$。
【答案】
1
【知识点】
旋转的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，通过割补法将所求三角形面积转化为两个规则三角形面积的差即可快速求解，解题时需注意不要混淆旋转前后的对应边、对应角的等量关系。
【难度系数】
0.7

6. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ B = 90°$, $AB = BC = 2$, 将 $△ ABC$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $60°$, 得到 $△ DEC$, 则 $AE$ 的长是$\underline{\hspace{5em}}$。

6. $\sqrt{2}+\sqrt{6}$

【分析】
解题时先利用等腰直角三角形的性质求出AC的长度，再结合旋转的性质得到边和角的关系，判定出△ACD是等边三角形；通过证明△ACE和△ADE全等得到∠CAE=30°；最后作CG⊥AE构造直角三角形，利用30°直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质分别求出AG和GE的长度，相加即可得到AE的长。
步骤梳理：1. 先在Rt△ABC中用勾股定理算AC；2. 由旋转性质得CA=CD，旋转角60°，推出△ACD是等边三角形；3. 用SSS证△ACE≌△ADE，得到∠CAE=30°；4. 过C作CG垂直AE，在Rt△AGC中用30°角性质得CG长度，勾股定理算AG；5. 由三角形内角和算出∠AEC=45°，得△CGE是等腰直角三角形，GE=CG，最后AE=AG+GE。
【解析】
解：连接$AD$，
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ B = 90°$，$AB = BC = 2$，
$\therefore$ 由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$∠ ACB=45°$。
$\because △ABC$绕点$C$顺时针旋转$60°$得到$△DEC$，
$\therefore CA=CD$，$∠ ACD=60°$，$CE=CB=2$，$DE=AB=2$。
$\therefore △ACD$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
$\therefore AD=AC=2\sqrt{2}$，$∠ CAD=60°$。
在$△ACE$和$△ADE$中：
$\begin{cases}AC=AD \\CE=DE \\AE=AE\end{cases}$
$\therefore △ACE ≌ △ADE(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ CAE=∠ DAE=\frac{1}{2}∠ CAD=\frac{1}{2}×60°=30°$。
过点$C$作$CG⊥AE$于点$G$，则$∠ AGC=∠ CGE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△AGC$中，$∠ CAG=30°$，
$\therefore CG=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{AC^2-CG^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}$。
在$△ACE$中，$∠ ACE=∠ ACB+∠ BCE=45°+60°=105°$，
$\therefore ∠ AEC=180°-∠ CAE-∠ ACE=180°-30°-105°=45°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△CGE$是等腰直角三角形，
$\therefore GE=CG=\sqrt{2}$，
$\therefore AE=AG+GE=\sqrt{6}+\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}+\sqrt{6}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了旋转的性质、全等三角形的判定和勾股定理的应用，解题的关键是合理添加辅助线，构造等边三角形和直角三角形，将所求线段转化为直角三角形的边进行计算，同时要熟练掌握特殊三角形的性质。
【难度系数】
0.6

7. 如图，两个全等的三角尺重叠摆放在$△ ACB$的位置，将其中一个三角尺绕着点$C$逆时针旋转至$△ DCE$的位置，使点$A$恰好落在边$DE$上，$AB$与$CE$相交于点$F$. 已知$∠ ACB=∠ DCE=90°,∠ B=30°,AB=8\ \mathrm{cm}$,则$CF=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
（第7题） （第8题）

7. $2\sqrt{3}$

【分析】
解题时先从旋转的性质入手，先明确旋转前后两个三角形全等，得到对应边、对应角相等的关系；再结合直角三角形30°角的性质求出AC的长度，接着根据AC=DC、∠D=60°判定△DAC是等边三角形，求出∠ACF的度数，最后在直角△AFC中利用三角函数计算CF的长度即可。
【解析】
1. 根据旋转的性质可得$△ ACB ≌ △ DCE$，因此$AC=DC$，$∠ D=∠ CAB$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，因此$∠ CAB=90°-30°=60°$，且$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，故$∠ D=∠ CAB=60°$。
3. 因为$AC=DC$，$∠ D=60°$，所以$△ DAC$是等边三角形，可得$∠ DCA=60°$。
4. 已知$∠ DCE=90°$，因此$∠ ACF=∠ DCE-∠ DCA=90°-60°=30°$。
5. 在$△ ACF$中，$∠ CAF=60°$，$∠ ACF=30°$，因此$∠ AFC=180°-60°-30°=90°$，即$△ AFC$为直角三角形。
6. 在$\mathrm{Rt}△ AFC$中，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$∠ ACF=30°$，因此$CF=AC·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 旋转的性质 2. 直角三角形性质 3. 解直角三角形
【点评】
本题是旋转性质与特殊三角形性质结合的基础题，解题核心是通过旋转的对应边、对应角相等推导得出等边三角形，进而得到特殊角度的直角三角形求解，考查学生对几何基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

8. 如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,将△DCB绕点C顺时针旋转60°后,点D的对应点恰好与点A重合,得到△ACE.若AB=3,BC=4,则BD=.

8. 5

【分析】
解题时先结合旋转的性质分析已知条件：首先连接辅助线BE，由△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，可得对应边CB=CE、BD=AE，旋转角∠BCE=60°，据此可判定△BCE为等边三角形，得到BE的长度和∠CBE的度数；再结合已知∠ABC=30°，可推出∠ABE为直角，最后利用勾股定理计算AE的长度，即可得到BD的长度。
【解析】
连接BE，
∵△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，
∴CB=CE，∠BCE=60°，BD=AE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC=4，∠CBE=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°，即△ABE是直角三角形，
在Rt△ABE中，AB=3，BE=4，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
又
∵BD=AE，
∴BD=5。
【答案】
5
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是图形旋转与三角形性质结合的典型题，解题核心是通过构造辅助线，将所求线段转化为直角三角形的斜边，结合旋转性质、等边三角形性质和勾股定理求解，考查了学生的转化思想和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.65

9. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=BC,将△ABC绕顶点B逆时针旋转α°到△A₁BC₁的位置,AB与A₁C₁相交于点D,AC与A₁C₁,BC₁分别相交于点E,F.
(1) 求证:△BCF≌△BA₁D;
(2) 当∠C=α°时,判断四边形A₁BCE的形状并说明理由.

9. （1）证明：$\because △ ABC$ 是等腰三角形,$AB=BC, \therefore ∠ A=∠ C. \because$ 将等腰三角形 $ABC$ 绕顶点 $B$ 逆时针方向旋转 $α°$ 至 $△ A_1BC_1$ 的位置, $\therefore A_1B=AB=BC, ∠ A=∠ A_1=∠ C, ∠ A_1BD=∠ CBC_1$. 在 $△ BCF$ 和 $△ BA_1D$ 中,$\begin{cases} ∠ C=∠ A_1, \\ CB=A_1B, \\ ∠ CBF=∠ A_1BD, \end{cases}$ $\therefore △ BCF ≌ △ BA_1D(\mathrm{ASA}).$ （2）四边形 $A_1BCE$ 是菱形,理由：$\because$ 将等腰三角形 $ABC$ 绕顶点 $B$ 逆时针方向旋转 $α°$ 至 $△ A_1BC_1$ 的位置, $\therefore ∠ A_1=∠ A. \because ∠ ADE=∠ A_1D B, \therefore ∠ AED=∠ A_1BD=α°, \therefore ∠ A_1EC=180°-α°. \because ∠ C=α°, \therefore ∠ A_1=α°, \therefore ∠ A_1BC=360°-∠ A_1-∠ C-∠ A_1EC=180°-α°, \therefore ∠ A_1=∠ C, ∠ A_1BC=∠ A_1EC, \therefore$ 四边形 $A_1BCE$ 是平行四边形. $\because A_1B=BC, \therefore$ 四边形 $A_1BCE$ 是菱形.

【分析】
(1) 要证明△BCF≌△BA₁D，可先结合等腰三角形性质得到∠A=∠C，再根据旋转的性质推导对应边相等、对应角相等，凑齐ASA全等判定的三个条件即可完成证明。
(2) 判断四边形A₁BCE的形状时，先根据旋转性质和已知∠C=α°推导四边形的内角关系，证明两组对角分别相等得到平行四边形，再结合邻边相等的条件即可判定其为菱形。
【解析】
（1）证明：$\because △ ABC$ 是等腰三角形,$AB=BC, \therefore ∠ A=∠ C. \because$ 将等腰三角形 $ABC$ 绕顶点 $B$ 逆时针方向旋转 $α°$ 至 $△ A_1BC_1$ 的位置, $\therefore A_1B=AB=BC, ∠ A=∠ A_1=∠ C, ∠ A_1BD=∠ CBC_1$. 在 $△ BCF$ 和 $△ BA_1D$ 中,$\begin{cases} ∠ C=∠ A_1, \\ CB=A_1B, \\ ∠ CBF=∠ A_1BD, \end{cases}$ $\therefore △ BCF ≌ △ BA_1D(\mathrm{ASA}).$
（2）四边形 $A_1BCE$ 是菱形,理由：$\because$ 将等腰三角形 $ABC$ 绕顶点 $B$ 逆时针方向旋转 $α°$ 至 $△ A_1BC_1$ 的位置, $\therefore ∠ A_1=∠ A. \because ∠ ADE=∠ A_1D B, \therefore ∠ AED=∠ A_1BD=α°, \therefore ∠ A_1EC=180°-α°. \because ∠ C=α°, \therefore ∠ A_1=α°, \therefore ∠ A_1BC=360°-∠ A_1-∠ C-∠ A_1EC=180°-α°, \therefore ∠ A_1=∠ C, ∠ A_1BC=∠ A_1EC, \therefore$ 四边形 $A_1BCE$ 是平行四边形. $\because A_1B=BC, \therefore$ 四边形 $A_1BCE$ 是菱形.
【答案】
(1) 已证△BCF≌△BA₁D；
(2) 四边形A₁BCE是菱形，理由见解析。
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定；菱形的判定
【点评】
本题综合考查了旋转、全等三角形、特殊四边形的相关知识，解题关键是抓住旋转前后图形对应边相等、对应角相等的性质，结合等腰三角形的特点逐步推导边与角的关系，对逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7