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8. 已知$x=2$是关于$x$的方程$2x^2 + 3ax - 2a = 0$的解，求关于$y$的方程$y^2 - 5 = a$的解。
答案
8. 由题意,得$a=-2$,$y=\pm\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题需分两步完成：第一步利用方程解的定义，把x=2代入含参数a的方程，得到关于a的一元一次方程，求解得到a的取值；第二步将a的值代入关于y的方程，用直接开平方法求解一元二次方程即可得到y的解。
【解析】
1. 求参数a的值
将$x=2$代入方程$2x^2 + 3ax - 2a = 0$，可得：
$2× 2^2 + 3a× 2 - 2a = 0$
化简计算：
$8 + 6a - 2a = 0$
$8 + 4a = 0$
移项解得：$a=-2$
2. 求解关于y的方程
将$a=-2$代入$y^2 - 5 = a$，可得：
$y^2 - 5 = -2$
移项得：$y^2 = 3$
两边直接开平方得：$y=\pm\sqrt{3}$
【答案】
$a=-2$，$y=\pm\sqrt{3}$
【知识点】
方程的解的定义；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础计算类题型，核心考查方程解的应用，只要理解方程的解能使方程左右两边相等的性质，按步骤计算即可得出结果，计算量较小。
【难度系数】
0.8
解题需分两步完成：第一步利用方程解的定义，把x=2代入含参数a的方程，得到关于a的一元一次方程，求解得到a的取值；第二步将a的值代入关于y的方程，用直接开平方法求解一元二次方程即可得到y的解。
【解析】
1. 求参数a的值
将$x=2$代入方程$2x^2 + 3ax - 2a = 0$，可得：
$2× 2^2 + 3a× 2 - 2a = 0$
化简计算：
$8 + 6a - 2a = 0$
$8 + 4a = 0$
移项解得：$a=-2$
2. 求解关于y的方程
将$a=-2$代入$y^2 - 5 = a$，可得：
$y^2 - 5 = -2$
移项得：$y^2 = 3$
两边直接开平方得：$y=\pm\sqrt{3}$
【答案】
$a=-2$，$y=\pm\sqrt{3}$
【知识点】
方程的解的定义；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础计算类题型，核心考查方程解的应用，只要理解方程的解能使方程左右两边相等的性质，按步骤计算即可得出结果，计算量较小。
【难度系数】
0.8
9. 已知$a,b,c$是$△ ABC$三边的长，且关于$x$的方程$(b-c)x^2+(c-a)x-(a-b)=0$（$b≠c$）的一个根是1，试判断三角形的形状。
答案
9. 等腰三角形
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需要先得出三边a、b、c的数量关系。已知x=1是给定方程的一个根，根据方程根的定义，将x=1代入方程就能得到关于a、b、c的等式，化简该等式即可得到边长的关系，再结合已知条件b≠c就能判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵x=1是方程$(b-c)x^2+(c-a)x-(a-b)=0$（$b≠c$）的根，
∴将x=1代入方程，等式成立：
$(b-c)×1^2 + (c-a)×1 - (a-b) = 0$
展开各项得：
$b - c + c - a - a + b = 0$
合并同类项后得：
$2b - 2a = 0$
化简得$a = b$。
又
∵已知$b≠c$，
∴△ABC有两条边长度相等，为等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
一元二次方程根的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是方程与几何的结合题型，核心是利用方程根的含义建立边长的等量关系，解题思路清晰，只要掌握根的定义和等腰三角形的判定规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC的形状，需要先得出三边a、b、c的数量关系。已知x=1是给定方程的一个根，根据方程根的定义，将x=1代入方程就能得到关于a、b、c的等式，化简该等式即可得到边长的关系，再结合已知条件b≠c就能判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵x=1是方程$(b-c)x^2+(c-a)x-(a-b)=0$（$b≠c$）的根，
∴将x=1代入方程，等式成立：
$(b-c)×1^2 + (c-a)×1 - (a-b) = 0$
展开各项得：
$b - c + c - a - a + b = 0$
合并同类项后得：
$2b - 2a = 0$
化简得$a = b$。
又
∵已知$b≠c$，
∴△ABC有两条边长度相等，为等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
一元二次方程根的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是方程与几何的结合题型，核心是利用方程根的含义建立边长的等量关系，解题思路清晰，只要掌握根的定义和等腰三角形的判定规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
10. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + ax + 2b = 0$的一个根是1，求$2a + 4b$的值.
答案
10. −2
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解，解题思路如下：第一步，明确方程的根的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，所以将已知根x=1代入原方程，可得到关于a、b的等式；第二步，观察所求代数式2a+4b的结构，发现它可变形为2(a+2b)，只需从第一步得到的等式中求出a+2b的值，整体代入即可算出结果，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$x^2 + ax + 2b = 0$的根，
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$1^2 + a × 1 + 2b = 0$
整理得：$a + 2b = -1$
对所求代数式变形可得：$2a + 4b = 2(a + 2b)$
将$a + 2b = -1$代入上式得：
$2a + 4b = 2 × (-1) = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1.一元二次方程的根的定义 2.整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是正确理解一元二次方程根的概念，利用整体代入的方法简化计算，避免了不必要的运算，体现了代数式求值中的整体思想。
【难度系数】
0.8
本题可根据一元二次方程根的定义求解，解题思路如下：第一步，明确方程的根的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，所以将已知根x=1代入原方程，可得到关于a、b的等式；第二步，观察所求代数式2a+4b的结构，发现它可变形为2(a+2b)，只需从第一步得到的等式中求出a+2b的值，整体代入即可算出结果，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$x^2 + ax + 2b = 0$的根，
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$1^2 + a × 1 + 2b = 0$
整理得：$a + 2b = -1$
对所求代数式变形可得：$2a + 4b = 2(a + 2b)$
将$a + 2b = -1$代入上式得：
$2a + 4b = 2 × (-1) = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1.一元二次方程的根的定义 2.整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是正确理解一元二次方程根的概念，利用整体代入的方法简化计算，避免了不必要的运算，体现了代数式求值中的整体思想。
【难度系数】
0.8
