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7 我们称使$\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{a+b}{2+3}$成立的一对数$a,b$为“相伴数对”，记为$(a,b)$。例如：当$a=b=0$时，等式成立，记$(0,0)$为“相伴数对”。若$(a,3)$是“相伴数对”，则$a$的值为
$-\frac{4}{3}$
。答案
7. $-\frac{4}{3}$
解析
【分析】
首先明确“相伴数对”的定义：若数对(a,b)为相伴数对，则需满足等式$\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{a+b}{2+3}$。已知(a,3)是相伴数对，即对应b=3，将b=3代入该等式即可得到关于a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）计算，就能求出a的值。【解析】根据“相伴数对”的定义，将b=3代入等式$\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{a+b}{2+3}$，可得：$\frac{a}{2}+\frac{3}{3}=\frac{a+3}{2+3}$化简得：$\frac{a}{2}+1=\frac{a+3}{5}$去分母，两边同时乘10（2和5的最小公倍数），得：5a + 10 = 2(a+3)去括号，得：5a + 10 = 2a + 6移项，得：5a - 2a = 6 - 10合并同类项，得：3a = -4系数化为1，得：$a = -\frac{4}{3}【$答案$】-\frac{4}{3}$
【知识点】
新定义问题、解一元一次方程、去分母运算
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的求解，解题核心是准确理解新定义的规则代入数值得到方程，计算时注意去分母不要漏乘不含分母的项，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
首先明确“相伴数对”的定义：若数对(a,b)为相伴数对，则需满足等式$\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{a+b}{2+3}$。已知(a,3)是相伴数对，即对应b=3，将b=3代入该等式即可得到关于a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）计算，就能求出a的值。【解析】根据“相伴数对”的定义，将b=3代入等式$\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{a+b}{2+3}$，可得：$\frac{a}{2}+\frac{3}{3}=\frac{a+3}{2+3}$化简得：$\frac{a}{2}+1=\frac{a+3}{5}$去分母，两边同时乘10（2和5的最小公倍数），得：5a + 10 = 2(a+3)去括号，得：5a + 10 = 2a + 6移项，得：5a - 2a = 6 - 10合并同类项，得：3a = -4系数化为1，得：$a = -\frac{4}{3}【$答案$】-\frac{4}{3}$
【知识点】
新定义问题、解一元一次方程、去分母运算
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的求解，解题核心是准确理解新定义的规则代入数值得到方程，计算时注意去分母不要漏乘不含分母的项，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
8 [2025 沭阳段考]小林在解方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-1$去分母时，方程右边的-1漏乘了6，因而求得方程的解为$x=-8$。求：
（1）$a$的值；
（2）原方程的解。
（1）$a$的值；
（2）原方程的解。
答案
8. （1）方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-1$去分母时，方程右边的$-1$漏乘了6，所以$2(2x-1)=3(x+a)-1$，解得$x=3a+1$。因为此时方程的解为$x=-8$，所以$3a+1=-8$，解得$a=-3$
（2）当$a=-3$时，正确的方程为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x-3}{2}-1$，去分母，得$2(2x-1)=3(x-3)-6$。去括号，得$4x-2=3x-9-6$。移项，得$4x-3x=-9-6+2$。合并同类项，得$x=-13$
（2）当$a=-3$时，正确的方程为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x-3}{2}-1$，去分母，得$2(2x-1)=3(x-3)-6$。去括号，得$4x-2=3x-9-6$。移项，得$4x-3x=-9-6+2$。合并同类项，得$x=-13$
解析
【分析】
（1）求a的值时，先明确小林的错误操作：去分母时仅方程右边的-1漏乘了6，其余项均正确乘6，因此可先写出他去分母后得到的错误方程。虽然方程是错误的，但x=-8是这个错误方程的解，将x=-8代入错误方程即可求出a的值。
（2）求出a的值后，将其代入原方程，按照解一元一次方程的规范步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，即可求出原方程的正确解。
【解析】
（1）小林去分母时-1漏乘6，因此他得到的错误方程为：
$2(2x-1)=3(x+a)-1$
整理得：$4x-2=3x+3a-1$，移项化简得$x=3a+1$
已知该错误方程的解为$x=-8$，代入得：
$3a+1=-8$
解得$a=-3$
（2）将$a=-3$代入原方程，得到正确方程：
$\frac{2x-1}{3}=\frac{x-3}{2}-1$
去分母（两边同乘6，每一项都乘6），得：
$2(2x-1)=3(x-3)-6$
去括号，得：
$4x-2=3x-9-6$
移项，得：
$4x-3x=-9-6+2$
合并同类项，得：
$x=-13$
【答案】
（1）$a=-3$；（2）$x=-13$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 解一元一次方程（去分母）
【点评】
本题考查解一元一次方程中去分母的运算要求，解题关键是明确错误解法得到的解满足错误变形后的方程，先求出参数再解原方程，提醒同学们去分母时不要漏乘不含分母的常数项。
【难度系数】
0.6
（1）求a的值时，先明确小林的错误操作：去分母时仅方程右边的-1漏乘了6，其余项均正确乘6，因此可先写出他去分母后得到的错误方程。虽然方程是错误的，但x=-8是这个错误方程的解，将x=-8代入错误方程即可求出a的值。
（2）求出a的值后，将其代入原方程，按照解一元一次方程的规范步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，即可求出原方程的正确解。
【解析】
（1）小林去分母时-1漏乘6，因此他得到的错误方程为：
$2(2x-1)=3(x+a)-1$
整理得：$4x-2=3x+3a-1$，移项化简得$x=3a+1$
已知该错误方程的解为$x=-8$，代入得：
$3a+1=-8$
解得$a=-3$
（2）将$a=-3$代入原方程，得到正确方程：
$\frac{2x-1}{3}=\frac{x-3}{2}-1$
去分母（两边同乘6，每一项都乘6），得：
$2(2x-1)=3(x-3)-6$
去括号，得：
$4x-2=3x-9-6$
移项，得：
$4x-3x=-9-6+2$
合并同类项，得：
$x=-13$
【答案】
（1）$a=-3$；（2）$x=-13$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 解一元一次方程（去分母）
【点评】
本题考查解一元一次方程中去分母的运算要求，解题关键是明确错误解法得到的解满足错误变形后的方程，先求出参数再解原方程，提醒同学们去分母时不要漏乘不含分母的常数项。
【难度系数】
0.6
9 解方程：
(1) $\frac{1}{2}x + 2(\frac{5}{4}x + 1) = 8 + x$；
(2) $\frac{2x + 1}{4} - 1 = x - \frac{10x + 1}{12}$；
(3) $\frac{1}{3}(m + 1) - \frac{1}{6}(m - 2) = \frac{1}{4}(4 - m)$；
(4) $[2026\ 泗洪期末]\frac{x - 0.3}{0.4} = \frac{x + 0.1}{0.5} + 2$。
(1) $\frac{1}{2}x + 2(\frac{5}{4}x + 1) = 8 + x$；
(2) $\frac{2x + 1}{4} - 1 = x - \frac{10x + 1}{12}$；
(3) $\frac{1}{3}(m + 1) - \frac{1}{6}(m - 2) = \frac{1}{4}(4 - m)$；
(4) $[2026\ 泗洪期末]\frac{x - 0.3}{0.4} = \frac{x + 0.1}{0.5} + 2$。
答案
9. (1) $x=3$ (2) $x=2$ (3) $m=\frac{4}{5}$ (4) $x=5.9$
解析
【分析】
解一元一次方程的核心是通过恒等变形将方程转化为“未知数=a”的形式，通用解题思路如下：1. 若方程存在小数分母，先利用分数的基本性质将分子分母同乘10的倍数，把小数转化为整数；2. 若存在分数分母，找所有分母的最小公倍数，方程两边同乘该最小公倍数去分母，注意不要漏乘不含分母的项；3. 有括号的按去括号法则去括号，括号前为负号时括号内各项要变号；4. 移项，将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要变号；5. 合并同类项；6. 系数化为1得到解。
【解析】
(1) 先去括号：
$\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}x + 2 = 8 + x$
合并左侧同类项：
$3x + 2 = 8 + x$
移项得：
$3x - x = 8 - 2$
合并同类项：
$2x = 6$
系数化为1：
$x = 3$
(2) 分母4和12的最小公倍数是12，两边同乘12去分母：
$3(2x+1) - 12 = 12x - (10x + 1)$
去括号：
$6x + 3 - 12 = 12x - 10x - 1$
合并同类项：
$6x - 9 = 2x - 1$
移项得：
$6x - 2x = -1 + 9$
合并同类项：
$4x = 8$
系数化为1：
$x = 2$
(3) 分母3、6、4的最小公倍数是12，两边同乘12去分母：
$4(m+1) - 2(m-2) = 3(4 - m)$
去括号：
$4m + 4 - 2m + 4 = 12 - 3m$
合并同类项：
$2m + 8 = 12 - 3m$
移项得：
$2m + 3m = 12 - 8$
合并同类项：
$5m = 4$
系数化为1：
$m = \frac{4}{5}$
(4) 先利用分数基本性质把小数分母化为整数，两个分式分子分母同乘10：
$\frac{10x - 3}{4} = \frac{10x + 1}{5} + 2$
分母4和5的最小公倍数是20，两边同乘20去分母：
$5(10x - 3) = 4(10x + 1) + 40$
去括号：
$50x - 15 = 40x + 4 + 40$
合并同类项：
$50x - 15 = 40x + 44$
移项得：
$50x - 40x = 44 + 15$
合并同类项：
$10x = 59$
系数化为1：
$x = 5.9$
【答案】
(1) $x=3$ (2) $x=2$ (3) $m=\frac{4}{5}$ (4) $x=5.9$
【知识点】
解一元一次方程，去括号法则，分数的基本性质
【点评】
这组题目是解一元一次方程的基础训练题型，覆盖了去括号、去分母、小数分母化整数等核心操作，解题时需注意去分母不要漏乘常数项、去括号注意符号变化，熟练掌握步骤即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
解一元一次方程的核心是通过恒等变形将方程转化为“未知数=a”的形式，通用解题思路如下：1. 若方程存在小数分母，先利用分数的基本性质将分子分母同乘10的倍数，把小数转化为整数；2. 若存在分数分母，找所有分母的最小公倍数，方程两边同乘该最小公倍数去分母，注意不要漏乘不含分母的项；3. 有括号的按去括号法则去括号，括号前为负号时括号内各项要变号；4. 移项，将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要变号；5. 合并同类项；6. 系数化为1得到解。
【解析】
(1) 先去括号：
$\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}x + 2 = 8 + x$
合并左侧同类项：
$3x + 2 = 8 + x$
移项得：
$3x - x = 8 - 2$
合并同类项：
$2x = 6$
系数化为1：
$x = 3$
(2) 分母4和12的最小公倍数是12，两边同乘12去分母：
$3(2x+1) - 12 = 12x - (10x + 1)$
去括号：
$6x + 3 - 12 = 12x - 10x - 1$
合并同类项：
$6x - 9 = 2x - 1$
移项得：
$6x - 2x = -1 + 9$
合并同类项：
$4x = 8$
系数化为1：
$x = 2$
(3) 分母3、6、4的最小公倍数是12，两边同乘12去分母：
$4(m+1) - 2(m-2) = 3(4 - m)$
去括号：
$4m + 4 - 2m + 4 = 12 - 3m$
合并同类项：
$2m + 8 = 12 - 3m$
移项得：
$2m + 3m = 12 - 8$
合并同类项：
$5m = 4$
系数化为1：
$m = \frac{4}{5}$
(4) 先利用分数基本性质把小数分母化为整数，两个分式分子分母同乘10：
$\frac{10x - 3}{4} = \frac{10x + 1}{5} + 2$
分母4和5的最小公倍数是20，两边同乘20去分母：
$5(10x - 3) = 4(10x + 1) + 40$
去括号：
$50x - 15 = 40x + 4 + 40$
合并同类项：
$50x - 15 = 40x + 44$
移项得：
$50x - 40x = 44 + 15$
合并同类项：
$10x = 59$
系数化为1：
$x = 5.9$
【答案】
(1) $x=3$ (2) $x=2$ (3) $m=\frac{4}{5}$ (4) $x=5.9$
【知识点】
解一元一次方程，去括号法则，分数的基本性质
【点评】
这组题目是解一元一次方程的基础训练题型，覆盖了去括号、去分母、小数分母化整数等核心操作，解题时需注意去分母不要漏乘常数项、去括号注意符号变化，熟练掌握步骤即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
10 教材 P134 复习题 T5 变式 已知代数式$\frac{y+4}{2}$的值比代数式$\frac{12y-13}{6}$的值小2，求y的值.
答案
10. 根据题意，得$\frac{y+4}{2}=\frac{12y-13}{6}-2$。去分母，得$3(y+4)=12y-13-12$。去括号，得$3y+12=12y-13-12$。移项、合并同类项，得$-9y=-37$。系数化为1，得$y=\frac{37}{9}$
解析
【分析】
首先根据题目给出的大小关系梳理等量关系：代数式$\frac{y+4}{2}$的值比$\frac{12y-13}{6}$小2，说明前者等于后者减2，据此列出一元一次方程。再按照带分母的一元一次方程的标准求解步骤计算：先给方程两边同乘分母的最小公倍数去分母，再去括号，随后移项、合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到y的值。
【解析】
根据题意列方程：
$\frac{y+4}{2}=\frac{12y-13}{6}-2$
去分母（方程两边同时乘6），得：
$3(y+4)=12y-13-12$
去括号，得：
$3y+12=12y-13-12$
移项、合并同类项，得：
$-9y=-37$
系数化为1，得：
$y=\frac{37}{9}$
【答案】
$y=\frac{37}{9}$
【知识点】
列一元一次方程，去分母，一元一次方程求解
【点评】
本题属于一元一次方程的基础应用类题目，解题的核心是准确梳理文字中的等量关系列对方程，计算时要注意去分母不要漏乘常数项，移项时要变号，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的大小关系梳理等量关系：代数式$\frac{y+4}{2}$的值比$\frac{12y-13}{6}$小2，说明前者等于后者减2，据此列出一元一次方程。再按照带分母的一元一次方程的标准求解步骤计算：先给方程两边同乘分母的最小公倍数去分母，再去括号，随后移项、合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到y的值。
【解析】
根据题意列方程：
$\frac{y+4}{2}=\frac{12y-13}{6}-2$
去分母（方程两边同时乘6），得：
$3(y+4)=12y-13-12$
去括号，得：
$3y+12=12y-13-12$
移项、合并同类项，得：
$-9y=-37$
系数化为1，得：
$y=\frac{37}{9}$
【答案】
$y=\frac{37}{9}$
【知识点】
列一元一次方程，去分母，一元一次方程求解
【点评】
本题属于一元一次方程的基础应用类题目，解题的核心是准确梳理文字中的等量关系列对方程，计算时要注意去分母不要漏乘常数项，移项时要变号，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
11 已知关于$x$的方程$\frac{2kx+a}{3}=2+\frac{x-bk}{6}$，无论$k$为何值，方程的解总是$x=1$，求$a$，$b$的值。
答案
11. 把$x=1$代入$\frac{2kx+a}{3}=2+\frac{x-bk}{6}$，得$\frac{2k+a}{3}=2+\frac{1-bk}{6}$。去分母并整理，得$(4+b)k=13-2a$。因为无论$k$为何值，此等式都成立，所以$4+b=0,13-2a=0$。所以$a=\frac{13}{2},b=-4$
解析
【分析】
首先，已知x=1是该方程无论k取何值都成立的解，因此第一步先将x=1代入原方程，得到含有参数k、a、b的等式。题目要求该等式对任意k都成立，说明等式的取值不受k的影响，因此k的系数必须为0，同时等式的常数项也必须为0，这样才能保证无论k取何值，等式两边始终相等，最后列出关于a、b的方程求解即可。
【解析】
解：把$x=1$代入方程$\frac{2kx+a}{3}=2+\frac{x-bk}{6}$，得：
$\frac{2k+a}{3}=2+\frac{1-bk}{6}$
两边同时乘6去分母，得：
$2(2k+a)=12+(1-bk)$
去括号，得：
$4k+2a=12+1-bk$
移项、合并同类项，得：
$(4+b)k=13-2a$
∵无论k为何值，上述等式都成立，
∴k的系数和常数项都为0，即：
$\begin{cases}4+b=0\\13-2a=0\end{cases}$
分别解方程得：$b=-4$，$a=\frac{13}{2}$
【答案】
$a=\frac{13}{2}$，$b=-4$
【知识点】
1. 方程的解的概念
2. 去分母解一元一次方程
3. 含参方程恒成立
【点评】
本题是典型的含参数的方程恒成立问题，解题核心是先利用方程解的定义代入已知解，将原方程转化为关于参数k的等式，再根据“对任意k都成立”的条件得到k的系数和常数项均为0，进而求解未知参数，熟练掌握恒成立的条件是解题的关键。
【难度系数】
0.6
首先，已知x=1是该方程无论k取何值都成立的解，因此第一步先将x=1代入原方程，得到含有参数k、a、b的等式。题目要求该等式对任意k都成立，说明等式的取值不受k的影响，因此k的系数必须为0，同时等式的常数项也必须为0，这样才能保证无论k取何值，等式两边始终相等，最后列出关于a、b的方程求解即可。
【解析】
解：把$x=1$代入方程$\frac{2kx+a}{3}=2+\frac{x-bk}{6}$，得：
$\frac{2k+a}{3}=2+\frac{1-bk}{6}$
两边同时乘6去分母，得：
$2(2k+a)=12+(1-bk)$
去括号，得：
$4k+2a=12+1-bk$
移项、合并同类项，得：
$(4+b)k=13-2a$
∵无论k为何值，上述等式都成立，
∴k的系数和常数项都为0，即：
$\begin{cases}4+b=0\\13-2a=0\end{cases}$
分别解方程得：$b=-4$，$a=\frac{13}{2}$
【答案】
$a=\frac{13}{2}$，$b=-4$
【知识点】
1. 方程的解的概念
2. 去分母解一元一次方程
3. 含参方程恒成立
【点评】
本题是典型的含参数的方程恒成立问题，解题核心是先利用方程解的定义代入已知解，将原方程转化为关于参数k的等式，再根据“对任意k都成立”的条件得到k的系数和常数项均为0，进而求解未知参数，熟练掌握恒成立的条件是解题的关键。
【难度系数】
0.6
