10. 新定义:若无理数$\sqrt{T}$的被开方数$T$($T$为正整数)满足$n^2＜T＜(n+1)^2$(其中$n$为正整数),则称无理数$\sqrt{T}$的“青一区间”为$(n,n+1)$;同理规定无理数$-\sqrt{T}$的“青一区间”为$(-n-1,-n)$.例如:因为$1^2＜2＜2^2$,所以$1＜\sqrt{2}＜2$,所以$\sqrt{2}$的“青一区间”为$(1,2)$,$-\sqrt{2}$的“青一区间”为$(-2,-1)$.请解答下列问题:
(1)$\sqrt{17}$的“青一区间”是________,$-\sqrt{23}$的“青一区间”是________;
(2)若无理数$-\sqrt{a}$($a$为正整数)的“青一区间”为$(-3,-2)$,$\sqrt{a+3}$的“青一区间”为$(3,4)$,求$\sqrt[3]{a+1}$的值;
(3)实数$x,y,m$满足关系式:$\sqrt{2x+3y-m}+\sqrt{3x+4y-2m}=\sqrt{x+y-2026}+\sqrt{2026-x-y}$,求$m$的算术平方根的“青一区间”.

解：
(1)
因为$4^2=16＜17＜25=5^2$，所以$\sqrt{17}$的“青一区间”是$(4,5)$；
因为$4^2=16＜23＜25=5^2$，所以$-\sqrt{23}$的“青一区间”是$(-5,-4)$。
(2)
由$-\sqrt{a}$的“青一区间”为$(-3,-2)$，根据定义得：
$2^2 ＜ a ＜ 3^2$，即$4 ＜ a ＜ 9$。
由$\sqrt{a+3}$的“青一区间”为$(3,4)$，根据定义得：
$3^2 ＜ a+3 ＜ 4^2$，即$9 ＜ a+3 ＜ 16$，解得$6 ＜ a ＜ 13$。
结合$a$为正整数，得$a=7$或$a=8$。
若$a=8$，则$a+1=9$，$\sqrt[3]{9}$不是整数，不符合题意，故$a=7$。
所以$\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{7+1}=\sqrt[3]{8}=2$。
(3)
由二次根式有意义的条件得：
$\begin{cases}x+y-2026\ge0 \\ 2026-x-y\ge0 \end{cases}$，
所以$x+y=2026$，此时等式右边$\sqrt{x+y-2026}+\sqrt{2026-x-y}=0$。
因此等式左边满足：
$\begin{cases}2x+3y-m=0 \\ 3x+4y-2m=0 \end{cases}$，
将$x=2026-y$代入方程组，解得$m=2026$。
$m$的算术平方根为$\sqrt{2026}$，
因为$45^2=2025＜2026＜2116=46^2$，
所以$m$的算术平方根的“青一区间”为$(45,46)$。
综上，答案为：
(1) $\boldsymbol{(4,5)}$，$\boldsymbol{(-5,-4)}$；
(2) $\boldsymbol{\sqrt[3]{a+1}=2}$；
(3) $\boldsymbol{(45,46)}$。