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1. 下列式子中，属于最简二次根式的是 （）
A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
C.$\sqrt{0.3}$
D.$\sqrt{7}$
A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
C.$\sqrt{0.3}$
D.$\sqrt{7}$
答案
D
解析
根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断：
1. 选项A：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
2. 选项B：$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
3. 选项C：$\sqrt{0.3}=\sqrt{\dfrac{3}{10}}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
4. 选项D：$\sqrt{7}$，被开方数7不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式。
1. 选项A：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
2. 选项B：$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
3. 选项C：$\sqrt{0.3}=\sqrt{\dfrac{3}{10}}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
4. 选项D：$\sqrt{7}$，被开方数7不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式。
2. 下列各式化成最简二次根式正确的是 （）
A.$\sqrt{\dfrac{7}{10}}=\sqrt{0.7}$
B.$\sqrt{\dfrac{24}{25}}=\dfrac{\sqrt{24}}{5}$
C.$\sqrt{0.1}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
D.$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=3\sqrt{6}$
A.$\sqrt{\dfrac{7}{10}}=\sqrt{0.7}$
B.$\sqrt{\dfrac{24}{25}}=\dfrac{\sqrt{24}}{5}$
C.$\sqrt{0.1}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
D.$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=3\sqrt{6}$
答案
C
解析
根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式）逐一验证：
1. 选项A：$\sqrt{\dfrac{7}{10}}=\sqrt{\dfrac{70}{100}}=\dfrac{\sqrt{70}}{10}≠\sqrt{0.7}$，且$\sqrt{0.7}$的被开方数是小数，不是最简二次根式，A错误。
2. 选项B：$\sqrt{\dfrac{24}{25}}=\dfrac{\sqrt{24}}{5}=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$，$\sqrt{24}$还可化简，结果不是最简二次根式，B错误。
3. 选项C：$\sqrt{0.1}=\sqrt{\dfrac{1}{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$，符合最简二次根式要求，C正确。
4. 选项D：$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}≠3\sqrt{6}$，D错误。
1. 选项A：$\sqrt{\dfrac{7}{10}}=\sqrt{\dfrac{70}{100}}=\dfrac{\sqrt{70}}{10}≠\sqrt{0.7}$，且$\sqrt{0.7}$的被开方数是小数，不是最简二次根式，A错误。
2. 选项B：$\sqrt{\dfrac{24}{25}}=\dfrac{\sqrt{24}}{5}=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$，$\sqrt{24}$还可化简，结果不是最简二次根式，B错误。
3. 选项C：$\sqrt{0.1}=\sqrt{\dfrac{1}{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$，符合最简二次根式要求，C正确。
4. 选项D：$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}≠3\sqrt{6}$，D错误。
3.若$\sqrt{12}$与最简二次根式$\sqrt{2t-1}$能合并成一项，则$t$的值为（）
A.6.5
B.3
C.2
D.4
A.6.5
B.3
C.2
D.4
答案
C
解析
先化简$\sqrt{12}$，得$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
两个二次根式能合并成一项，说明它们是同类二次根式，已知$\sqrt{2t-1}$是最简二次根式，因此它的被开方数与$\sqrt{12}$化简后的被开方数相等，即：
$2t-1=3$
解得$t=2$。
两个二次根式能合并成一项，说明它们是同类二次根式，已知$\sqrt{2t-1}$是最简二次根式，因此它的被开方数与$\sqrt{12}$化简后的被开方数相等，即：
$2t-1=3$
解得$t=2$。
4.若$a=1+\sqrt{2},b=\frac{1}{1-\sqrt{2}}$，则$a$与$b$的关系是 （）
A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.互为负倒数
A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.互为负倒数
答案
A
解析
先对b进行分母有理化，将b的分子分母同乘$(1+\sqrt{2})$：
$b=\frac{1×(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}=\frac{1+\sqrt{2}}{1-2}=-(1+\sqrt{2})$
已知$a=1+\sqrt{2}$，可得$b=-a$，即$a$与$b$互为相反数。
$b=\frac{1×(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}=\frac{1+\sqrt{2}}{1-2}=-(1+\sqrt{2})$
已知$a=1+\sqrt{2}$，可得$b=-a$，即$a$与$b$互为相反数。
5. 如果$ab＞0$，$a+b＜0$，那么下面各式：①$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$，②$\sqrt{\dfrac{a}{b}} · \sqrt{\dfrac{b}{a}}=1$，③$\sqrt{ab} ÷ \sqrt{\dfrac{a}{b}}=-b$，其中正确的是（）
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
B
解析
由$ab＞0$可知$a$、$b$同号，结合$a+b＜0$可得$a＜0$，$b＜0$。
1. 判断①：二次根式除法法则$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$要求$a≥0$，$b＞0$，此处$a＜0$，$b＜0$，$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$无意义，故①错误。
2. 判断②：$\sqrt{\frac{a}{b}}·\sqrt{\frac{b}{a}}=\sqrt{\frac{a}{b}·\frac{b}{a}}=\sqrt{1}=1$，运算符合二次根式乘法规则，故②正确。
3. 判断③：$\sqrt{ab}÷\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{ab÷\frac{a}{b}}=\sqrt{b^2}=|b|$，因为$b＜0$，所以$|b|=-b$，故③正确。
综上正确的是②③。
1. 判断①：二次根式除法法则$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$要求$a≥0$，$b＞0$，此处$a＜0$，$b＜0$，$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$无意义，故①错误。
2. 判断②：$\sqrt{\frac{a}{b}}·\sqrt{\frac{b}{a}}=\sqrt{\frac{a}{b}·\frac{b}{a}}=\sqrt{1}=1$，运算符合二次根式乘法规则，故②正确。
3. 判断③：$\sqrt{ab}÷\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{ab÷\frac{a}{b}}=\sqrt{b^2}=|b|$，因为$b＜0$，所以$|b|=-b$，故③正确。
综上正确的是②③。
6.古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式，即如果一个三角形的三边长分别为$ a,b,c $，记$ p = \frac{a+b+c}{2} $，那么$ S_{△ ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $。已知在$ △ ABC $中，$ ∠ A, ∠ B, ∠ C $所对的边分别是$ a,b,c $，其中$ a=5,b=8,c=7 $，则$ △ ABC $的面积为（）
A.$ 10\sqrt{3} $
B.$ 30 $
C.$ 6\sqrt{6} $
D.$ 45 $
A.$ 10\sqrt{3} $
B.$ 30 $
C.$ 6\sqrt{6} $
D.$ 45 $
答案
A
解析
先计算半周长$p$，$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+8+7}{2}=10$，将$p=10$，$a=5$，$b=8$，$c=7$代入海伦—秦九韶公式，得$S_{△ ABC}=\sqrt{10×(10-5)×(10-8)×(10-7)}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$。
7. 已知最简二次根式$\sqrt{4a+3}$与$\sqrt[b+1]{2a - b + 6}$可以合并，则$a + b$的值为。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：
∵最简二次根式$\sqrt{4a+3}$与$\sqrt[b+1]{2a - b + 6}$可以合并，
∴它们是同类二次根式，可得方程组：
$\begin{cases}b+1=2 \\4a+3=2a - b + 6\end{cases}$
解第一个方程得：$b=1$
将$b=1$代入第二个方程：
$4a+3=2a -1 +6$
整理得：$2a=2$，解得$a=1$
∴$a+b=1+1=2$
∵最简二次根式$\sqrt{4a+3}$与$\sqrt[b+1]{2a - b + 6}$可以合并，
∴它们是同类二次根式，可得方程组：
$\begin{cases}b+1=2 \\4a+3=2a - b + 6\end{cases}$
解第一个方程得：$b=1$
将$b=1$代入第二个方程：
$4a+3=2a -1 +6$
整理得：$2a=2$，解得$a=1$
∴$a+b=1+1=2$
8. 计算：
(1) $\sqrt{48} ÷ ( \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} ) + \sqrt{32}$；
(2) $\sqrt{\frac{1}{6}} × \sqrt{96} ÷ \sqrt{6}$。
(1) $\sqrt{48} ÷ ( \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} ) + \sqrt{32}$；
(2) $\sqrt{\frac{1}{6}} × \sqrt{96} ÷ \sqrt{6}$。
答案
解：
(1) 原式$=\sqrt{48}÷\sqrt{\frac{1}{2}×12}+\sqrt{32}$
$=\sqrt{48}÷\sqrt{6}+4\sqrt{2}$
$=\sqrt{48÷6}+4\sqrt{2}$
$=\sqrt{8}+4\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2}+4\sqrt{2}$
$=6\sqrt{2}$
(2) 原式$=\sqrt{\frac{1}{6}×96÷6}$
$=\sqrt{16÷6}$
$=\sqrt{\frac{8}{3}}$
$=\frac{2\sqrt{6}}{3}$
(1) 原式$=\sqrt{48}÷\sqrt{\frac{1}{2}×12}+\sqrt{32}$
$=\sqrt{48}÷\sqrt{6}+4\sqrt{2}$
$=\sqrt{48÷6}+4\sqrt{2}$
$=\sqrt{8}+4\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2}+4\sqrt{2}$
$=6\sqrt{2}$
(2) 原式$=\sqrt{\frac{1}{6}×96÷6}$
$=\sqrt{16÷6}$
$=\sqrt{\frac{8}{3}}$
$=\frac{2\sqrt{6}}{3}$
