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【例1】(教材P53探究2变式)(2026·深圳)如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图.示意图中曲线AGMD可近似看作一条抛物线,四边形ABCD为矩形且支架AB,CD,GH,MN均垂直于地面BC.已知BC=6米,AB=2米,以BC所在的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy(规定一个单位长度代表1米),若点M的坐标为(1,3),则抛物线的表达式为
$y=-\dfrac{1}{8}x^2 +\dfrac{25}{8}$
.答案
解:设抛物线解析式为$y=ax^2+m$,过$(3,2)$和$(1,3)$,
$\begin{cases}9a+m=2,\\a+m=3,\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}a=-\dfrac{1}{8},\\m=\dfrac{25}{8},\end{cases}$ $\therefore y=-\dfrac{1}{8}x^2 +\dfrac{25}{8}.$
$\begin{cases}9a+m=2,\\a+m=3,\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}a=-\dfrac{1}{8},\\m=\dfrac{25}{8},\end{cases}$ $\therefore y=-\dfrac{1}{8}x^2 +\dfrac{25}{8}.$
【例2】(教材P53探究2变式)如图是抛物线形的拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)如果水面宽为$2\sqrt{6}$ m，则水面下降多少米？
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)如果水面宽为$2\sqrt{6}$ m，则水面下降多少米？
答案
解:(1)
∵抛物线的顶点坐标为$(2,2)$,可设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2+2(a≠0)$,点$(4,0)$在抛物线上,可得$0=a(4-2)^2+2$,解得$a=-\dfrac{1}{2}$,
$\therefore y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2.$
(2)抛物线对称轴为$x=2$,
当$x=2+\sqrt{6}$时,$y=-1$.
答:水面下降1 m.
∵抛物线的顶点坐标为$(2,2)$,可设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2+2(a≠0)$,点$(4,0)$在抛物线上,可得$0=a(4-2)^2+2$,解得$a=-\dfrac{1}{2}$,
$\therefore y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2.$
(2)抛物线对称轴为$x=2$,
当$x=2+\sqrt{6}$时,$y=-1$.
答:水面下降1 m.
【例3】(2026·龙岗)某校计划举办劳动之星颁奖典礼,想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口.要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”(分别记作点A,B,C,D)四个大字,要求BC与地面平行,且$BC// AD$,抛物线最高点的五角星(点E)到BC的距离为0.6 m,$BC=2$ m,$AD=4$ m,如图2所示,则点C到AD的距离为
1.8 m
.答案
解:以BC为x轴,BC垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
$y=ax^2+0.6$过$(1,0)$,$a+0.6=0$,$a=-0.6$,
$\therefore y=-\dfrac{3}{5}x^2 +\dfrac{3}{5}$,当$x=2$时,
$y=-\dfrac{12}{5}+\dfrac{3}{5}=-\dfrac{9}{5}$,
∴点C到AD距离为1.8 m.
