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9.如图8,三条直线$l_1,l_2,l_3$相交于点O,则$∠1+∠2+∠3$等于（
A.$90°$
B.$120°$
C.$180°$
D.$360°$
C
）A.$90°$
B.$120°$
C.$180°$
D.$360°$
答案
9.C
解析
【分析】
解题时首先回忆对顶角的性质和平角的定义，我们可以先找到∠2的对顶角，利用对顶角相等将∠2替换成它的对顶角，此时∠1、∠3和∠2的对顶角恰好共同组成一个平角，平角的度数是180°，通过等量代换就能求出三个角的和。
【解析】
解：设∠2的对顶角为∠4，根据对顶角相等的性质，可得$∠ 2=∠ 4$。
因为$∠ 1$、$∠ 3$、$∠ 4$在直线$l_2$上构成平角，根据平角的定义，可得$∠ 1+∠ 3+∠ 4=180°$。
将$∠ 4=∠ 2$代入上式，通过等量代换可得：$∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°$。
【答案】
C
【知识点】
对顶角相等；平角的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查对顶角性质与平角定义的综合应用，解题的关键是通过对顶角相等完成角的等量转换，将所求的三个角转化到同一个平角中计算和。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆对顶角的性质和平角的定义，我们可以先找到∠2的对顶角，利用对顶角相等将∠2替换成它的对顶角，此时∠1、∠3和∠2的对顶角恰好共同组成一个平角，平角的度数是180°，通过等量代换就能求出三个角的和。
【解析】
解：设∠2的对顶角为∠4，根据对顶角相等的性质，可得$∠ 2=∠ 4$。
因为$∠ 1$、$∠ 3$、$∠ 4$在直线$l_2$上构成平角，根据平角的定义，可得$∠ 1+∠ 3+∠ 4=180°$。
将$∠ 4=∠ 2$代入上式，通过等量代换可得：$∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°$。
【答案】
C
【知识点】
对顶角相等；平角的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查对顶角性质与平角定义的综合应用，解题的关键是通过对顶角相等完成角的等量转换，将所求的三个角转化到同一个平角中计算和。
【难度系数】
0.8
10.如图9，$OB⊥ OD$，$OC⊥ OA$，$∠ BOC=32°$，那么$∠ AOD$等于（
A.$148°$
B.$132°$
C.$128°$
D.$90°$
A
）A.$148°$
B.$132°$
C.$128°$
D.$90°$
答案
10.A
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的垂直条件，联想到垂直的定义可得∠AOC和∠BOD均为90°；接下来观察角的位置关系，可先求出∠AOB的度数（∠AOB等于直角∠AOC减去已知的∠BOC），最后∠AOD由∠AOB和直角∠BOD组成，将二者度数相加即可得到答案；也可利用周角360°，减去两个直角和∠BOC的度数求出∠AOD。
【解析】
解：
∵ OB⊥OD，OC⊥OA（已知）
∴ ∠AOC=90°，∠BOD=90°（垂直的定义）
又
∵ ∠BOC=32°（已知）
∴ ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 90° - 32° = 58°
∴ ∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 58° + 90° = 148°
故选A选项。
【答案】
A
【知识点】
垂直的定义，角的和差计算
【点评】
本题是基础的角度计算题，核心是利用垂直的性质得到直角，再结合角之间的和差关系求解，解题时注意找准各个角的位置关系，避免把角的加减关系搞混即可。
【难度系数】
0.85
解题时首先根据题目给出的垂直条件，联想到垂直的定义可得∠AOC和∠BOD均为90°；接下来观察角的位置关系，可先求出∠AOB的度数（∠AOB等于直角∠AOC减去已知的∠BOC），最后∠AOD由∠AOB和直角∠BOD组成，将二者度数相加即可得到答案；也可利用周角360°，减去两个直角和∠BOC的度数求出∠AOD。
【解析】
解：
∵ OB⊥OD，OC⊥OA（已知）
∴ ∠AOC=90°，∠BOD=90°（垂直的定义）
又
∵ ∠BOC=32°（已知）
∴ ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 90° - 32° = 58°
∴ ∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 58° + 90° = 148°
故选A选项。
【答案】
A
【知识点】
垂直的定义，角的和差计算
【点评】
本题是基础的角度计算题，核心是利用垂直的性质得到直角，再结合角之间的和差关系求解，解题时注意找准各个角的位置关系，避免把角的加减关系搞混即可。
【难度系数】
0.85
11.如图10，已知$AB// DE$，$∠ ABC=70°$，$∠ BCD=20°$，则$∠ CDE$的度数为（
A.$110°$
B.$130°$
C.$150°$
D.$160°$
B
）A.$110°$
B.$130°$
C.$150°$
D.$160°$
答案
11.B
解析
【分析】
本题中AB与DE平行但无公共截线，无法直接用平行线性质求角，因此考虑过拐点C作辅助线CF平行于AB，根据平行公理的推论可得CF也平行于DE，再利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，结合已知角的度数，逐步推导求出∠CDE的度数。
【解析】
解：过点C作CF//AB，
∵ AB//DE，CF//AB，
∴ CF//DE（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∵ AB//CF，∠ABC=70°，
∴ ∠BCF=∠ABC=70°（两直线平行，内错角相等），
∵ ∠BCD=20°，
∴ ∠DCF=∠BCF - ∠BCD=70° - 20°=50°，
又
∵ CF//DE，
∴ ∠CDE + ∠DCF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠CDE=180° - 50°=130°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质应用的常见题型，解题核心是通过过拐点作平行线，构造出具备平行关系的直线组，将已知角和未知角建立关联，掌握这种辅助线的作法是解决此类拐角问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题中AB与DE平行但无公共截线，无法直接用平行线性质求角，因此考虑过拐点C作辅助线CF平行于AB，根据平行公理的推论可得CF也平行于DE，再利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，结合已知角的度数，逐步推导求出∠CDE的度数。
【解析】
解：过点C作CF//AB，
∵ AB//DE，CF//AB，
∴ CF//DE（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∵ AB//CF，∠ABC=70°，
∴ ∠BCF=∠ABC=70°（两直线平行，内错角相等），
∵ ∠BCD=20°，
∴ ∠DCF=∠BCF - ∠BCD=70° - 20°=50°，
又
∵ CF//DE，
∴ ∠CDE + ∠DCF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠CDE=180° - 50°=130°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质应用的常见题型，解题核心是通过过拐点作平行线，构造出具备平行关系的直线组，将已知角和未知角建立关联，掌握这种辅助线的作法是解决此类拐角问题的关键。
【难度系数】
0.7
12.把一张长方形纸按如图11所示折叠后，若得到$∠ AOB' = 70°$，则$∠ B'OG =$
$55°$
。答案
12.$55°$
解析
【分析】
解决本题的关键是利用折叠的性质得到相等的角，再结合平角的度数列式计算。首先，折叠后重合的角大小相等，因此∠B'OG与折叠前的∠BOG相等；其次，长方形的边AO和OB在同一直线上，组成的平角为180°，已知∠AOB'的度数，用平角减去∠AOB'得到两个相等角的和，再除以2即可求出∠B'OG的度数。
【解析】
解：由折叠的性质可得：$∠ B'OG = ∠ BOG$。
∵ 点A、O、B在同一直线上，
∴ $∠ AOB = 180°$，即$∠ AOB' + ∠ B'OG + ∠ BOG = 180°$。
将$∠ AOB'=70°$，$∠ BOG=∠ B'OG$代入得：
$70° + 2∠ B'OG = 180°$
$2∠ B'OG = 180° - 70° = 110°$
∴ $∠ B'OG = 55°$
【答案】
$55°$
【知识点】
折叠的性质、平角的定义、角度计算
【点评】
本题是角度计算的基础常见题型，核心是抓住折叠前后对应角相等的隐含条件，结合平角的性质建立等式求解，解题时注意不要忽略折叠带来的等角关系。
【难度系数】
0.7
解决本题的关键是利用折叠的性质得到相等的角，再结合平角的度数列式计算。首先，折叠后重合的角大小相等，因此∠B'OG与折叠前的∠BOG相等；其次，长方形的边AO和OB在同一直线上，组成的平角为180°，已知∠AOB'的度数，用平角减去∠AOB'得到两个相等角的和，再除以2即可求出∠B'OG的度数。
【解析】
解：由折叠的性质可得：$∠ B'OG = ∠ BOG$。
∵ 点A、O、B在同一直线上，
∴ $∠ AOB = 180°$，即$∠ AOB' + ∠ B'OG + ∠ BOG = 180°$。
将$∠ AOB'=70°$，$∠ BOG=∠ B'OG$代入得：
$70° + 2∠ B'OG = 180°$
$2∠ B'OG = 180° - 70° = 110°$
∴ $∠ B'OG = 55°$
【答案】
$55°$
【知识点】
折叠的性质、平角的定义、角度计算
【点评】
本题是角度计算的基础常见题型，核心是抓住折叠前后对应角相等的隐含条件，结合平角的性质建立等式求解，解题时注意不要忽略折叠带来的等角关系。
【难度系数】
0.7
13.如图12，如果$AB// CD$，$AD// BC$，E，F分别为AB，CD上的点，要使$AF// EC$，那么还需补充的条件为
$∠BEC=∠AFD$(答案不唯一)
。答案
13.$∠BEC=∠AFD$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时可结合已知的两组平行线，从平行线的判定出发逆向思考：要证AF//EC，可找这两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角相等，或同旁内角互补的条件。已知AB//CD，可得∠BAF=∠AFD（两直线平行，内错角相等），若能得到∠BEC=∠BAF，即可通过“同位角相等，两直线平行”推出AF//EC，因此补充∠BEC=∠AFD即可通过等量代换得到所需的角相等，符合要求的条件不止这一个，答案不唯一。
【解析】
已知AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠BAF=∠AFD。
若补充条件∠BEC=∠AFD，通过等量代换可得∠BAF=∠BEC。
∠BAF和∠BEC是直线AF、EC被直线AB所截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出AF//EC，满足题意。
注：还可补充如AE=CF、∠AFE=∠CEF等条件，答案不唯一。
【答案】
∠BEC=∠AFD（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定
【点评】
本题是开放性几何题，重点考查平行线的性质与判定的综合运用，解题时可结合已知条件逆向推导，只要补充的条件能通过逻辑推理得到AF//EC即可，灵活性较强。
【难度系数】
0.7
解题时可结合已知的两组平行线，从平行线的判定出发逆向思考：要证AF//EC，可找这两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角相等，或同旁内角互补的条件。已知AB//CD，可得∠BAF=∠AFD（两直线平行，内错角相等），若能得到∠BEC=∠BAF，即可通过“同位角相等，两直线平行”推出AF//EC，因此补充∠BEC=∠AFD即可通过等量代换得到所需的角相等，符合要求的条件不止这一个，答案不唯一。
【解析】
已知AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠BAF=∠AFD。
若补充条件∠BEC=∠AFD，通过等量代换可得∠BAF=∠BEC。
∠BAF和∠BEC是直线AF、EC被直线AB所截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出AF//EC，满足题意。
注：还可补充如AE=CF、∠AFE=∠CEF等条件，答案不唯一。
【答案】
∠BEC=∠AFD（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定
【点评】
本题是开放性几何题，重点考查平行线的性质与判定的综合运用，解题时可结合已知条件逆向推导，只要补充的条件能通过逻辑推理得到AF//EC即可，灵活性较强。
【难度系数】
0.7
14.如图13，已知AF平分∠BAC，DE平分∠BDF，且∠1=∠2.
(1)能判定DE//AF吗？为什么？
(2)能判定DF//AC吗？为什么？
(1)能判定DE//AF吗？为什么？
(2)能判定DF//AC吗？为什么？
答案
14.(1)能判定,理由略.
(2)能判定,理由略.
(2)能判定,理由略.
解析
【分析】
(1)要判定DE与AF平行，需结合平行线的判定条件找对应角的等量关系。已知AF平分∠BAC可得∠BAF=∠2，结合已知∠1=∠2，可推出∠1和∠BAF相等，二者是同位角，满足平行的判定条件。
(2)要判定DF与AC平行，同样利用角的关系推导。根据角平分线定义，∠BDF=2∠1，∠BAC=2∠2，结合已知∠1=∠2，可推出∠BDF和∠BAC相等，二者是同位角，即可推出两直线平行。
【解析】
(1) 能判定DE//AF，理由如下：
∵ AF平分∠BAC（已知），
∴ ∠BAF=∠2（角平分线的定义）。
又
∵ ∠1=∠2（已知），
∴ ∠1=∠BAF（等量代换）。
∴ DE//AF（同位角相等，两直线平行）。
(2) 能判定DF//AC，理由如下：
∵ DE平分∠BDF（已知），
∴ ∠BDF=2∠1（角平分线的定义）。
∵ AF平分∠BAC（已知），
∴ ∠BAC=2∠2（角平分线的定义）。
又
∵ ∠1=∠2（已知），
∴ 2∠1=2∠2，即∠BDF=∠BAC（等量代换）。
∴ DF//AC（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1)能判定,理由略.
(2)能判定,理由略.
【知识点】
平行线的判定，角平分线的定义，等量代换
【点评】
本题属于基础几何推理题，重点考查角平分线定义和平行线判定定理的综合应用，解题核心是将已知的等角条件转化为判定平行所需的角相等关系，能够锻炼基础的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要判定DE与AF平行，需结合平行线的判定条件找对应角的等量关系。已知AF平分∠BAC可得∠BAF=∠2，结合已知∠1=∠2，可推出∠1和∠BAF相等，二者是同位角，满足平行的判定条件。
(2)要判定DF与AC平行，同样利用角的关系推导。根据角平分线定义，∠BDF=2∠1，∠BAC=2∠2，结合已知∠1=∠2，可推出∠BDF和∠BAC相等，二者是同位角，即可推出两直线平行。
【解析】
(1) 能判定DE//AF，理由如下：
∵ AF平分∠BAC（已知），
∴ ∠BAF=∠2（角平分线的定义）。
又
∵ ∠1=∠2（已知），
∴ ∠1=∠BAF（等量代换）。
∴ DE//AF（同位角相等，两直线平行）。
(2) 能判定DF//AC，理由如下：
∵ DE平分∠BDF（已知），
∴ ∠BDF=2∠1（角平分线的定义）。
∵ AF平分∠BAC（已知），
∴ ∠BAC=2∠2（角平分线的定义）。
又
∵ ∠1=∠2（已知），
∴ 2∠1=2∠2，即∠BDF=∠BAC（等量代换）。
∴ DF//AC（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1)能判定,理由略.
(2)能判定,理由略.
【知识点】
平行线的判定，角平分线的定义，等量代换
【点评】
本题属于基础几何推理题，重点考查角平分线定义和平行线判定定理的综合应用，解题核心是将已知的等角条件转化为判定平行所需的角相等关系，能够锻炼基础的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
15. 如图14，直线CD，EF交于点O，已知OA，OB分别平分$∠ COE$和$∠ DOE$，且$AB// CD$.
(1) 试说明$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$；
(2) 若$∠ 2 : ∠ 3 = 2 : 5$，求$∠ AOE$的度数.
(1) 试说明$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$；
(2) 若$∠ 2 : ∠ 3 = 2 : 5$，求$∠ AOE$的度数.
答案
15.(1)略
(2)$∠AOE=50°$
(2)$∠AOE=50°$
解析
【分析】
(1) 要证明∠1+∠2=90°，首先利用平行线的性质，将∠1、∠2转化为与它们相等的内错角∠AOC、∠BOD；再结合角平分线的定义，可知∠AOC和∠BOD分别是平角∠COD被OE分成的两个角的一半，两者之和为平角的一半90°，即可完成证明。
(2) 要求∠AOE的度数，首先根据对顶角相等可得∠3=∠COE，结合OB平分∠DOE可得∠DOE=2∠2；再由∠COE和∠DOE组成平角180°，结合∠2:∠3=2:5设未知数列方程，求出∠COE的度数，最后根据OA平分∠COE即可求出∠AOE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD是直线，
∴ ∠COE + ∠DOE = 180°（平角的定义）
∵ OA平分∠COE，OB平分∠DOE
∴ $∠ AOC = \frac{1}{2}∠ COE$，$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ DOE$（角平分线的定义）
∴ $∠ AOC + ∠ BOD = \frac{1}{2}(∠ COE + ∠ DOE) = \frac{1}{2}×180° = 90°$
∵ $AB// CD$
∴ $∠1=∠ AOC$，$∠2=∠ BOD$（两直线平行，内错角相等）
∴ $∠1+∠2=∠ AOC+∠ BOD=90°$，得证。
(2) 解：
∵ OB平分∠DOE，
∴ $∠ DOE=2∠2$（角平分线的定义）
∵ 直线CD、EF交于点O，
∴ $∠ COE=∠3$（对顶角相等）
∵ $∠ COE+∠ DOE=180°$（平角的定义）
∴ $∠3+2∠2=180°$
已知$∠2:∠3=2:5$，设$∠2=2x$，$∠3=5x$，代入上式得：
$5x + 2×2x=180°$
$9x=180°$
解得$x=20°$
∴ $∠ COE=∠3=5×20°=100°$
∵ OA平分∠COE
∴ $∠ AOE=\frac{1}{2}∠ COE=\frac{1}{2}×100°=50°$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $∠ AOE=50°$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，对顶角与平角性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查了平行线、角平分线、对顶角、平角等核心几何概念的应用，通过角的等量转化和方程思想求解角度是这类题的常用解题思路，熟练掌握基础几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠1+∠2=90°，首先利用平行线的性质，将∠1、∠2转化为与它们相等的内错角∠AOC、∠BOD；再结合角平分线的定义，可知∠AOC和∠BOD分别是平角∠COD被OE分成的两个角的一半，两者之和为平角的一半90°，即可完成证明。
(2) 要求∠AOE的度数，首先根据对顶角相等可得∠3=∠COE，结合OB平分∠DOE可得∠DOE=2∠2；再由∠COE和∠DOE组成平角180°，结合∠2:∠3=2:5设未知数列方程，求出∠COE的度数，最后根据OA平分∠COE即可求出∠AOE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD是直线，
∴ ∠COE + ∠DOE = 180°（平角的定义）
∵ OA平分∠COE，OB平分∠DOE
∴ $∠ AOC = \frac{1}{2}∠ COE$，$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ DOE$（角平分线的定义）
∴ $∠ AOC + ∠ BOD = \frac{1}{2}(∠ COE + ∠ DOE) = \frac{1}{2}×180° = 90°$
∵ $AB// CD$
∴ $∠1=∠ AOC$，$∠2=∠ BOD$（两直线平行，内错角相等）
∴ $∠1+∠2=∠ AOC+∠ BOD=90°$，得证。
(2) 解：
∵ OB平分∠DOE，
∴ $∠ DOE=2∠2$（角平分线的定义）
∵ 直线CD、EF交于点O，
∴ $∠ COE=∠3$（对顶角相等）
∵ $∠ COE+∠ DOE=180°$（平角的定义）
∴ $∠3+2∠2=180°$
已知$∠2:∠3=2:5$，设$∠2=2x$，$∠3=5x$，代入上式得：
$5x + 2×2x=180°$
$9x=180°$
解得$x=20°$
∴ $∠ COE=∠3=5×20°=100°$
∵ OA平分∠COE
∴ $∠ AOE=\frac{1}{2}∠ COE=\frac{1}{2}×100°=50°$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $∠ AOE=50°$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，对顶角与平角性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查了平行线、角平分线、对顶角、平角等核心几何概念的应用，通过角的等量转化和方程思想求解角度是这类题的常用解题思路，熟练掌握基础几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
