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1. 如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,DE过点C且平行于AB.若∠BCE=35°,则∠A的度数为 (
A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$65°$
C
)A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$65°$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：△ABC中∠ACB=90°，DE//AB，∠BCE=35°。第一步利用平行线的性质找相等的角：DE和AB平行，∠B与∠BCE是内错角，因此可推出∠B=∠BCE；第二步利用直角三角形的性质求∠A：直角三角形的两个锐角和为90°，已知∠B的度数，用90°减去∠B的度数即可得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵DE//AB，∠BCE=35°
∴∠B = ∠BCE = 35°（两直线平行，内错角相等）
又
∵在△ABC中，∠ACB=90°
∴∠A + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠A = 90° - 35° = 55°
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，重点考查基础几何定理的应用，找准角的位置关系、熟练掌握相关性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：△ABC中∠ACB=90°，DE//AB，∠BCE=35°。第一步利用平行线的性质找相等的角：DE和AB平行，∠B与∠BCE是内错角，因此可推出∠B=∠BCE；第二步利用直角三角形的性质求∠A：直角三角形的两个锐角和为90°，已知∠B的度数，用90°减去∠B的度数即可得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵DE//AB，∠BCE=35°
∴∠B = ∠BCE = 35°（两直线平行，内错角相等）
又
∵在△ABC中，∠ACB=90°
∴∠A + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠A = 90° - 35° = 55°
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，重点考查基础几何定理的应用，找准角的位置关系、熟练掌握相关性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
2.如图2，已知AB//CD，AD//BC，∠B=60°，∠EDA=50°，则∠CDO等于（
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
C
）A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先从已知的两组平行线入手：首先根据AB//CD，利用两直线平行同旁内角互补，可得∠B与∠C互补；再根据AD//BC，同理可得∠ADC与∠C互补，由同角的补角相等即可推出∠ADC=∠B=60°；接下来观察三个角∠EDA、∠ADC、∠CDO组成平角，和为180°，代入已知角度数值即可计算出∠CDO的度数。
【解析】
∵AB//CD，
∴∠B + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AD//BC，
∴∠ADC + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ADC = ∠B = 60°（同角的补角相等），
又
∵∠EDA + ∠ADC + ∠CDO = 180°（平角的定义），且∠EDA=50°，
∴∠CDO = 180° - ∠EDA - ∠ADC = 180° - 50° - 60° = 70°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，补角的性质，平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算类题型，核心考查平行线性质的灵活运用，解题的关键是通过平行线的同旁内角互补得到角的等量关系，再结合平角性质完成计算，熟练掌握平行线的相关性质是解这类题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的两组平行线入手：首先根据AB//CD，利用两直线平行同旁内角互补，可得∠B与∠C互补；再根据AD//BC，同理可得∠ADC与∠C互补，由同角的补角相等即可推出∠ADC=∠B=60°；接下来观察三个角∠EDA、∠ADC、∠CDO组成平角，和为180°，代入已知角度数值即可计算出∠CDO的度数。
【解析】
∵AB//CD，
∴∠B + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AD//BC，
∴∠ADC + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ADC = ∠B = 60°（同角的补角相等），
又
∵∠EDA + ∠ADC + ∠CDO = 180°（平角的定义），且∠EDA=50°，
∴∠CDO = 180° - ∠EDA - ∠ADC = 180° - 50° - 60° = 70°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，补角的性质，平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算类题型，核心考查平行线性质的灵活运用，解题的关键是通过平行线的同旁内角互补得到角的等量关系，再结合平角性质完成计算，熟练掌握平行线的相关性质是解这类题的基础。
【难度系数】
0.7
3.命题“等角的余角相等”中的“等角的余角”
（
A.是命题的条件部分
B.是命题的结论部分
C.是条件也是结论
D.不是条件也不是结论
（
A
）A.是命题的条件部分
B.是命题的结论部分
C.是条件也是结论
D.不是条件也不是结论
答案
3.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确命题的基本结构：所有命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面连接的内容是命题的条件，“那么”后面连接的内容是命题的结论。我们只需要把原命题改写为“如果……那么……”的形式，就能判断“等角的余角”所属的部分。
【解析】
首先将命题“等角的余角相等”改写为标准形式：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等。
其中“如果”后的“两个角是等角的余角是命题的条件部分，“那么”后的“这两个角相等”是命题的结论部分，因此“等角的余角”属于命题的条件部分。
【答案】
A
【知识点】
命题的构成、命题的改写
【点评】
本题考查对命题结构的理解，解题核心是掌握命题改写为“如果……那么……”形式的方法，从而准确区分条件和结论，属于基础概念类题目。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确命题的基本结构：所有命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面连接的内容是命题的条件，“那么”后面连接的内容是命题的结论。我们只需要把原命题改写为“如果……那么……”的形式，就能判断“等角的余角”所属的部分。
【解析】
首先将命题“等角的余角相等”改写为标准形式：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等。
其中“如果”后的“两个角是等角的余角是命题的条件部分，“那么”后的“这两个角相等”是命题的结论部分，因此“等角的余角”属于命题的条件部分。
【答案】
A
【知识点】
命题的构成、命题的改写
【点评】
本题考查对命题结构的理解，解题核心是掌握命题改写为“如果……那么……”形式的方法，从而准确区分条件和结论，属于基础概念类题目。
【难度系数】
0.8
4.将一副三角尺按如图3所示摆放，则∠1=
120°
。答案
4.120°
解析
【分析】
解题时首先回忆一副三角尺的固定角度：含30°角的三角尺三个内角为30°、60°、90°，等腰直角三角尺三个内角为45°、45°、90°。观察图形可知∠1是三角形的外角，我们可以利用三角形外角的性质求解，先找到与∠1不相邻的两个内角的度数，相加即可得到∠1的度数。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，∠ABF=30°，
∵DF⊥EC，
∴∠BFD=90°，
设AB与DF的交点为M，∠1是△BFM的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠1=∠BFD + ∠ABF = 90° + 30° = 120°。
【答案】
120°
【知识点】
三角尺的角度特征；三角形外角的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是熟悉三角尺的固有角度，结合图形准确识别角与角之间的位置关系，灵活运用三角形外角性质可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一副三角尺的固定角度：含30°角的三角尺三个内角为30°、60°、90°，等腰直角三角尺三个内角为45°、45°、90°。观察图形可知∠1是三角形的外角，我们可以利用三角形外角的性质求解，先找到与∠1不相邻的两个内角的度数，相加即可得到∠1的度数。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，∠ABF=30°，
∵DF⊥EC，
∴∠BFD=90°，
设AB与DF的交点为M，∠1是△BFM的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠1=∠BFD + ∠ABF = 90° + 30° = 120°。
【答案】
120°
【知识点】
三角尺的角度特征；三角形外角的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是熟悉三角尺的固有角度，结合图形准确识别角与角之间的位置关系，灵活运用三角形外角性质可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
5.已知命题“若$a · b = 0$，则$a = b = 0$”，该命题的条件是
$a · b=0$
，结论是$a=b=0$
，是假
（填“真”或“假”）命题.其逆命题可写成若$a=b=0$,则$a · b=0$
，是真
（填“真”或“假”）命题.答案
5. $a · b=0$ $a=b=0$ 假
若$a=b=0$,则$a · b=0$ 真
若$a=b=0$,则$a · b=0$ 真
解析
【分析】
解答本题首先要明确“若p，则q”形式命题的结构：“若”后面跟随的内容p是命题的条件，“则”后面跟随的内容q是命题的结论。判断命题真假时，若能举出满足条件但不满足结论的反例，即可判定为假命题；逆命题的改写方法是将原命题的条件和结论互换位置，再结合有理数乘法的规则判断逆命题的真假即可。
【解析】
1. 拆分原命题结构：原命题为“若$a · b = 0$，则$a = b = 0$”，因此条件是$a · b = 0$，结论是$a = b = 0$。
2. 判断原命题真假：举反例，如$a=0$，$b=5$，此时$a·b=0×5=0$，满足条件，但$b≠0$，不满足结论，因此原命题是假命题。
3. 改写逆命题：将原命题的条件和结论互换，得到逆命题为“若$a = b = 0$，则$a · b = 0$”。
4. 判断逆命题真假：当$a$、$b$都为0时，根据有理数乘法法则，$0×0=0$，满足结论，因此逆命题是真命题。
【答案】
$a · b=0$；$a=b=0$；假；若$a=b=0$,则$a · b=0$；真
【知识点】
命题的结构；真假命题判断；逆命题改写
【点评】
本题考查命题相关的基础知识点，核心是掌握命题的组成、逆命题的改写方法，以及通过举反例判断假命题的技巧，属于基础概念考查题，熟练掌握相关定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确“若p，则q”形式命题的结构：“若”后面跟随的内容p是命题的条件，“则”后面跟随的内容q是命题的结论。判断命题真假时，若能举出满足条件但不满足结论的反例，即可判定为假命题；逆命题的改写方法是将原命题的条件和结论互换位置，再结合有理数乘法的规则判断逆命题的真假即可。
【解析】
1. 拆分原命题结构：原命题为“若$a · b = 0$，则$a = b = 0$”，因此条件是$a · b = 0$，结论是$a = b = 0$。
2. 判断原命题真假：举反例，如$a=0$，$b=5$，此时$a·b=0×5=0$，满足条件，但$b≠0$，不满足结论，因此原命题是假命题。
3. 改写逆命题：将原命题的条件和结论互换，得到逆命题为“若$a = b = 0$，则$a · b = 0$”。
4. 判断逆命题真假：当$a$、$b$都为0时，根据有理数乘法法则，$0×0=0$，满足结论，因此逆命题是真命题。
【答案】
$a · b=0$；$a=b=0$；假；若$a=b=0$,则$a · b=0$；真
【知识点】
命题的结构；真假命题判断；逆命题改写
【点评】
本题考查命题相关的基础知识点，核心是掌握命题的组成、逆命题的改写方法，以及通过举反例判断假命题的技巧，属于基础概念考查题，熟练掌握相关定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6.如图4，长方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE//AC，CE//BD，那么△DEC可以看作是由△
AOB
平移得到的，平移的距离是线段AD(或BC)
的长。答案
6. AOB AD(或BC)
解析
【分析】
解题时先回忆平移的核心特征：平移仅改变图形位置，不改变图形的形状、大小和方向，平移前后对应边平行（或共线）且相等。第一步先判断平移的原图形：先结合长方形性质分析△AOB和△DEC的边的关系，再根据DE//AC、CE//BD的条件推导两个三角形的对应边是否平行且相等、方向是否一致，确定原图形。第二步判断平移距离：平移距离是一组对应点之间的线段长度，找到对应点即可确定平移距离。
【解析】
1. 判断平移的原图形：
在长方形ABCD中，AB//DC且AB=DC，长方形对角线互相平分，即AO=OC，BO=OD。
∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
可得DE=OC=AO，CE=OD=BO，且DE//AO，CE//BO，
结合DC//AB，可知△DEC和△AOB对应边平行且相等，形状、大小、方向完全相同，符合平移的特征，因此△DEC可看作是由△AOB平移得到的。
2. 确定平移距离：
平移距离等于平移前后一组对应点连线的长度，点A的对应点为D，点B的对应点为C，线段AD和BC长度相等，因此平移的距离是线段AD（或BC）的长。
【答案】
AOB；AD(或BC)
【知识点】
平移的特征；矩形的性质；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题结合特殊四边形的性质考查平移的识别，解题关键是熟练掌握平移的特征，能准确找到平移前后的对应边和对应点，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平移的核心特征：平移仅改变图形位置，不改变图形的形状、大小和方向，平移前后对应边平行（或共线）且相等。第一步先判断平移的原图形：先结合长方形性质分析△AOB和△DEC的边的关系，再根据DE//AC、CE//BD的条件推导两个三角形的对应边是否平行且相等、方向是否一致，确定原图形。第二步判断平移距离：平移距离是一组对应点之间的线段长度，找到对应点即可确定平移距离。
【解析】
1. 判断平移的原图形：
在长方形ABCD中，AB//DC且AB=DC，长方形对角线互相平分，即AO=OC，BO=OD。
∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
可得DE=OC=AO，CE=OD=BO，且DE//AO，CE//BO，
结合DC//AB，可知△DEC和△AOB对应边平行且相等，形状、大小、方向完全相同，符合平移的特征，因此△DEC可看作是由△AOB平移得到的。
2. 确定平移距离：
平移距离等于平移前后一组对应点连线的长度，点A的对应点为D，点B的对应点为C，线段AD和BC长度相等，因此平移的距离是线段AD（或BC）的长。
【答案】
AOB；AD(或BC)
【知识点】
平移的特征；矩形的性质；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题结合特殊四边形的性质考查平移的识别，解题关键是熟练掌握平移的特征，能准确找到平移前后的对应边和对应点，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
7. 如图5，$∠ CAB=100°$，$∠ ABF=110°$，$AC// PD$，$BF// PE$，求$∠ DPE$的度数. 
图5
图5答案
7. ∠DPE=30°
解析
【分析】
解题时先运用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，分别求出∠APD和∠BPE的度数，再结合平角为180°的性质，用平角减去前两个角的度数，即可求出∠DPE的度数。
【解析】
解：$\because AC// PD$（已知）
$\therefore ∠ CAB + ∠ APD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
$\because ∠ CAB=100°$（已知）
$\therefore ∠ APD = 180° - 100° = 80°$
又$\because BF// PE$（已知）
$\therefore ∠ ABF + ∠ BPE = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
$\because ∠ ABF=110°$（已知）
$\therefore ∠ BPE = 180° - 110° = 70°$
$\because$ 点$P$在$AB$上，$∠ APB$为平角，即$∠ APD + ∠ DPE + ∠ BPE = 180°$
$\therefore ∠ DPE = 180° - ∠ APD - ∠ BPE = 180° - 80° - 70° = 30°$
【答案】
$∠ DPE=30°$
【知识点】
平行线的性质；平角的定义
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，核心是熟练掌握平行线的性质，找到对应角度的数量关系，结合平角性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先运用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，分别求出∠APD和∠BPE的度数，再结合平角为180°的性质，用平角减去前两个角的度数，即可求出∠DPE的度数。
【解析】
解：$\because AC// PD$（已知）
$\therefore ∠ CAB + ∠ APD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
$\because ∠ CAB=100°$（已知）
$\therefore ∠ APD = 180° - 100° = 80°$
又$\because BF// PE$（已知）
$\therefore ∠ ABF + ∠ BPE = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
$\because ∠ ABF=110°$（已知）
$\therefore ∠ BPE = 180° - 110° = 70°$
$\because$ 点$P$在$AB$上，$∠ APB$为平角，即$∠ APD + ∠ DPE + ∠ BPE = 180°$
$\therefore ∠ DPE = 180° - ∠ APD - ∠ BPE = 180° - 80° - 70° = 30°$
【答案】
$∠ DPE=30°$
【知识点】
平行线的性质；平角的定义
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，核心是熟练掌握平行线的性质，找到对应角度的数量关系，结合平角性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
8.如图6，马路$l$上有两个城市$B$，$C$，马路外有一个城市$A$，要在马路上修建一个货运站$P$，使$P$到三个城市的路程之和最短，$P$应在何处？请在图上标出，并说明确定点$P$的方法和根据。
答案
8. 过点A作AP⊥BC于点P，点P是货运站地址，画图略，依据略.
解析
【分析】
要使货运站P到三个城市的路程之和$PA+PB+PC$最短，可先拆分路程和分析：首先观察$PB$和$PC$，因为P在直线$l$上，当P在线段$BC$上时，$PB+PC=BC$，是固定的最小值（若P在B左侧或C右侧，$PB+PC$都会大于$BC$）。因此要让总路程和最短，只需要让$PA$的长度最小即可。根据所学的垂线段性质，点到直线的所有连线中，垂线段最短，因此只需过A作直线$l$的垂线，垂足即为所求的P点。
【解析】
1. 分析总路程的组成：总路程为$PA+PB+PC$。
① 若点P在点B左侧或点C右侧，此时$PB+PC＞BC$，总路程更大；
② 若点P在线段$BC$上，此时$PB+PC=BC$，为固定值，总路程的大小仅由$PA$的长度决定。
2. 要让总路程最短，需$PA$取最小值，根据“垂线段最短”的性质，过点A作$AP⊥$直线$l$，垂足为P，且P落在线段$BC$上，此时$PA$最短，总路程$PA+PB+PC$最小。
3. 在图中标出该垂足P即可。
【答案】
过点A作$AP⊥ BC$于点P，点P是货运站地址，画图略，依据略。
【知识点】
垂线段最短，线段和最值，点到直线的距离
【点评】
本题结合生活实际考查线段最短路径的应用，解题时先分离出定值的线段和，将问题转化为求点到直线的最短距离，体现了转化的数学思维，能够很好地考查学生对几何基本性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
要使货运站P到三个城市的路程之和$PA+PB+PC$最短，可先拆分路程和分析：首先观察$PB$和$PC$，因为P在直线$l$上，当P在线段$BC$上时，$PB+PC=BC$，是固定的最小值（若P在B左侧或C右侧，$PB+PC$都会大于$BC$）。因此要让总路程和最短，只需要让$PA$的长度最小即可。根据所学的垂线段性质，点到直线的所有连线中，垂线段最短，因此只需过A作直线$l$的垂线，垂足即为所求的P点。
【解析】
1. 分析总路程的组成：总路程为$PA+PB+PC$。
① 若点P在点B左侧或点C右侧，此时$PB+PC＞BC$，总路程更大；
② 若点P在线段$BC$上，此时$PB+PC=BC$，为固定值，总路程的大小仅由$PA$的长度决定。
2. 要让总路程最短，需$PA$取最小值，根据“垂线段最短”的性质，过点A作$AP⊥$直线$l$，垂足为P，且P落在线段$BC$上，此时$PA$最短，总路程$PA+PB+PC$最小。
3. 在图中标出该垂足P即可。
【答案】
过点A作$AP⊥ BC$于点P，点P是货运站地址，画图略，依据略。
【知识点】
垂线段最短，线段和最值，点到直线的距离
【点评】
本题结合生活实际考查线段最短路径的应用，解题时先分离出定值的线段和，将问题转化为求点到直线的最短距离，体现了转化的数学思维，能够很好地考查学生对几何基本性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
