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1. [2026 无锡江阴云亭中学月考节选]尺规作图:如图,已知$\overset{\frown}{AB}$.在$\overset{\frown}{AB}$上求作点 C,使$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BC}$的长度比为$1:3$. (不写作法,保留作图痕迹)
答案
解:如图,点 C 即所求.(连接 AB,作线段 AB 的垂直平分线交$\overset{\frown}{AB}$于点 D,连接 AD,作线段 AD 的垂直平分线交$\overset{\frown}{AD}$于点 C,点 C 即所求)
2. 如图，EF是$\odot O$的直径，O为圆心，在直径EF上方的半圆上找两点M，N，使得$∠ EMN = 135°$.(不写作法，保留作图痕迹)
答案
解:如图,点 M,N 为所求.(作线段 EF 的垂直平分线 l,直线 l 交$\odot O$上半圆于 N 点,在劣弧 EN 上任取一点 M,则点 M,N 为所求.理由:l 交$\odot O$下半圆于 N'点,在弧 N'F 上任取一点 G,连接 EG,NG,由 N'N ⊥ EF,得 ∠EON = 90°,
∴ ∠EGN = 45°.由四边形 EGNM 是$\odot O$的内接四边形,得 ∠EMN = 180° - 45° = 135°)
3. [2025南京迈皋桥初级中学调研]尺规作图:用两种不同的方法作圆的圆心.(不写作法,保留作图痕迹)
答案
解:方法 1:如图 1,点 O 即所作的圆心.(在圆上依次取三点 A,B,C,连接 AB,BC,再分别作线段 AB,BC 的垂直平分线,两线相交于点 O,则点 O 即所作的圆心)
方法 2:如图 2,点 O 即所作的圆心.(以圆外任意一点为圆心,适当长为半径画$\odot O'$,交圆于点 A,D,作$\odot O'$的直径 AB,CD,连接 CA 并延长交圆于点 E,连接 BD 并延长交圆于点 F,连接 AF,DE,AF 与 DE 相交于点 O,则点 O 即所作的圆心)
4. [2026无锡积余实验学校期中节选]如图，已知△ABC，请用无刻度直尺和圆规求作⊙O，使得⊙O经过A，C两点，且与直线BC相切（不写作法，保留作图痕迹）。
答案
解:如图,$\odot O$即所求.(先作出 AC 的垂直平分线,再过点 C 作 BC 的垂线,两直线的交点即圆心 O,以 OC 为半径作圆,则$\odot O$即所求)
5. [2025连云港东海期中改编]尺规作图:用两种不同的方法,过圆外一点P作$\odot O$的切线.(不写作法,保留作图痕迹)
答案
解:方法 1:如图 1,PD,PD'即所求.(连接 PO,以 PO 为直径作圆交$\odot O$于 D,D',根据圆周角定理的推论可判断 PD,PD'为$\odot O$的切线)
方法 2:如图 2,PE,PE'即所求.(先以 O 点为圆心,PO 长为半径作圆,再作大圆的直径 PP',交小圆于点 A,B,然后以 P'为圆心,AB 长为半径画弧交大圆于点 E,E')
6.如图，AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图.
(1)在图1中，画出△ABC的三条高的交点.
(2)在图2中，画出△ABC中AB边上的高.
(1)在图1中，画出△ABC的三条高的交点.
(2)在图2中，画出△ABC中AB边上的高.
答案
解:(1)如图 1,点 P 为所作.(连接 AD,BE,它们相交于点 P,根据圆周角定理可判断 AD,BE 为△ABC 的高,根据三角形的三条高相交于一点可判断点 P 为三条高的交点)
(2)如图 2,CF 为所作.(分别延长 BC 和 AC 交半圆于 D,E,连接 AD,BE,再延长 AD 和 BE 相交于点 P,连接 PC 并延长交 AB 于点 F,则 CF ⊥ AB. 理由:因为 AB 为直径,所以 ∠ADB = ∠AEB = 90°,所以 BD 和 AE 为△ABP 的高,而三角形的三条高相交于一点,所以点 C 为△ABP 三条高的交点,所以 PF ⊥ AB,所以 CF 为△ABC 中 AB 边上的高)
