7.［2025盐城东台期中节选］如图，请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹.（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）

（1）如图1，五边形ABCDE是正五边形，画一条直线把这个五边形分成面积相等的两部分.
（2）如图2，△ABC的外接圆的圆心是点O，D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，画一条直线把△ABC分成面积相等的两部分.

解:(1)如图 1,直线 AP 即所求.
(2)如图 2,直线 BQ 即所求.(理由:连接 OD 交 AC 于点 Q.
∵ △ABC 的外接圆的圆心是点 O,D 是$\overset{\frown}{AC}$的中点,
∴ OD 垂直平分 AC,
∴ Q 是 AC 的中点,
∴ 直线 BQ 把△ABC 分成面积相等的两部分)

8. [2026常州花园中学期中]如图,已知A,B,C均在$\odot O$上,请用无刻度直尺作图.(不写作法,保留作图痕迹)
(1)如图1,若$∠ A=34°$,求作一个$56°$的角.
(2)如图2,M,N分别是BC,AC边的中点,求作$△ ABC$的内心.

解:(1)如图 1,$∠BCD$ 为所作.(作直径 CD,连接 BD,则 ∠CBD = 90°,∠D = ∠A = 34°,所以 ∠BCD = 56°)
(2)如图 2,点 P 为所作.(连接 OM,ON 并延长,分别交$\odot O$于点 D,E,则根据垂径定理得到$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CE}$,连接 AD,BE 相交于点 P. 根据圆周角定理,得 ∠BAD = ∠CAD,∠ABE = ∠CBE,则点 P 为△ABC 的内角平分线的交点,所以点 P 为△ABC 的内心)

9. [2025常州期中]如图,已知AB是⊙O的一条弦,直线l与⊙O相离,利用无刻度的直尺在直线l上找一点C,使得△ABC为直角三角形.(不写作法,保留作图痕迹)

解:如图,点 C 即所求.(连接 BO 并延长,交$\odot O$于点 D,连接 AD 并延长,交直线 l 于点 C,连接 BC. 理由:
∵ BD 为$\odot O$的直径,
∴ ∠BAD = 90°,
∴ △ABC 为直角三角形,则点 C 即所求)

10. [2025宿迁泗阳期中]仅用无刻度直尺作图.(不写作法,保留作图痕迹)
(1)在图1中,矩形的四个顶点都在圆上,作出该圆圆心$O_1$的位置;
(2)在图2中,正五边形的五个顶点都在圆上,作出该圆圆心$O_2$的位置.

解:(1)如图 1,圆心$O_1$即所求.(根据 90°圆周角所对弦是直径,矩形对角线的交点即为圆心$O_1$)
(2)如图 2,圆心$O_2$即所求.(连接 BD,AC 和 EC,AC,EC 分别与 BD 交于点 F,G,连接 EF 和 AG,此时根据对称性可得直线 EF,AG 是圆的对称轴,EF 和 AG 的交点即为圆心$O_2$)

11.如图是由小正方形构成的$6 × 6$网格,每个小正方形的顶点叫作格点.$\odot P$经过$A,B$两个格点,仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图.(画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示)
(1)在图1中,$\odot P$经过格点$C$,画弦$BD$,使$BD$平分$∠ ABC$,在劣弧$AC$上画点$E$,使得$∠ ECB = 45°$;
(2)在图2中,$\odot P$经过格点$E$,点$F$是$\odot P$与网格线的交点,画圆心$P$,并画弦$FG$,使$FG = FA$.

解:(1)如图 1,点 E,线段 BD 即所求.(取格点 T,连接 AT 交 BC 于点 P,连接 AC,取 AC 的中点 W,作射线 PW 交$\odot P$于点 D,线段 BD 即所求作;取格点 H,连接 CH 并延长交$\odot O$于点 E,则$∠ECB = 45°$,点 E 即所求作)
(2)如图 2,点 P,线段 FG 即所求.(取格点 J,连接 AB,AJ,延长 AJ 交$\odot P$于点 Q,连接 BQ 可得圆心 P;取格点 R,$\odot P$与格线的交点 D,连接 DR 并延长交$\odot P$于点 G,连接 FG,线段 FG 即所求)