1.[2026深圳期中]一个面积为20 m²的长方形场地一边利用现有的墙(墙长6 m),另三边用13 m的铁丝网围成,则这个长方形场地的周长是 ()

A.21 m
B.18 m
C.21 m或18 m
D.不能确定

1.B 【点拨】如图,设与墙垂直的边长为x m,则与墙平行的边长为(13-2x)m,由题意得,x(13-2x)=20,解得x₁=4,x₂=2.5.当x=4时,13-2x=13-2×4=5;当x=2.5时,13-2x=13-2×2.5=8＞6,不合题意舍去.所以周长为(5+4)×2=18(m).所以这个长方形场地的周长为18 m.

2. 如图所示的是一张长12 cm、宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm²的有盖的长方体铁盒. 则剪去的正方形的边长为 cm.

2.2

3. 如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段$a$的长度为$\sqrt{10}-2$，则这块地砖的面积为。

3.40 【点拨】如图,连接小正方形的两条对角线,设FH与EG交于点O.根据题意易知,点O为正方形ABCD、正方形EFGH的中心,
∴$S_{△ EOF}=\frac{1}{4}S_{正方形EFGH}$,即$S_{正方形EFGH}=4S_{△ EOF}$.
∵$S_{五边形AMFEP}=S_{正方形EFGH}$,
∴$S_{五边形AMFEP}=4S_{△ EOF}$.
∵$S_{五边形AMFEP}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}-S_{△ EOF}$,
∴$\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=5S_{△ EOF}$.设正方形ABCD的边长为2x,则$OF=OE=x-a$,
∴$\frac{1}{4}·2x·2x=5×\frac{1}{2}(x-a)^2$,解得$x=\frac{(5±\sqrt{10})a}{3}$.
∵$a=\sqrt{10}-2$,
∴$x=\sqrt{10}$或$\frac{7\sqrt{10}-20}{3}$.
∵$\frac{7\sqrt{10}-20}{3}＜a=\sqrt{10}-2$,
∴$x=\sqrt{10}$,
∴$S_{正方形ABCD}=2\sqrt{10}×2\sqrt{10}=40$.

4. 某科研单位准备将院内一块长 30 m、宽 20 m的矩形空地 ABCD，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草。
(1)如图①，要使种植花草的面积为 532 $\mathrm{m}^2$，求小道进出口的宽度。
(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图②所示，$△ AEQ$，$△ BGF$，$△ CMH$，$△ DPN$ 均为全等的直角三角形，其中 $AE=BF=CM=DN$，设 $EF=HG=MN=PQ=a$ m，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为 2 m，且竖向道路出口位于 $MN$ 和 $EF$ 之间，横向弯折道路出口位于 $PQ$ 和 $HG$ 之间。
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有 $a$ 的代数式表示）；
②若种植花草区域的建造成本是 100 元/$\mathrm{m}^2$，建造花草区域的总成本为 42 000 元，求 $a$ 的值。

4.【解】(1)设小道进出口的宽度为 x m，依题意，得$(30-2x)(20-x)=532$，整理，得$x^2-35x+34=0$,解得$x_1=1$,$x_2=34$.
∵$34＞20$,
∴$x=34$不符合题意,舍去,
∴$x=1$.故小道进出口的宽度应为 1 m.
(2)①剩余的种植花草区域的面积=$(30-2×2)×(20-2)-4×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}(30-a)×\frac{1}{2}(20-a)=(-\frac{1}{2}a^2+25a+168)\mathrm{m}^2$.
②根据题意,得$(-\frac{1}{2}a^2+25a+168)×100=42000$,解得$a_1=14$,$a_2=36$(不符合题意,舍去).故 a 的值为 14.
点方法 平移法是列一元二次方程解面积类应用题常用的方法,其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则的图形,通过面积关系列一元二次方程求解.

5. 甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5 m，乙的速度为每秒1 m，乙一直向东走，甲先向南走10 m，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 m.

5.24 【点拨】设两人走了 x s,则乙走了 x m,甲在北偏东某个方向走了$(1.5x-10)\mathrm{m}$,由题意,得$(1.5x-10)^2=10^2+x^2$,解得$x=24$或$x=0$(舍去).
∴乙走了 24 m.

6.数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程$l$(cm)与时间$t$(s)满足关系：$l=\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t(t≥0)$，乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm.甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了s.

6.10 【点拨】根据题意得$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t+4t=21×2×2+21$,整理得$t^2+11t-210=0$,解得$t_1=10$,$t_2=-21$(不符合题意,舍去),故答案为 10.