12. 如图，$▱ABCD$的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF.
(1)根据题意，补全图形；
(2)求证：$BE=DF$.

(1) 解: 如图所示.

(2) 证明: $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore OA = OC$, $OB = OD$.
$\because E$, $F$ 分别是 $OA$, $OC$ 的中点,
$\therefore OE=\frac{1}{2}OA$, $OF=\frac{1}{2}OC$. $\therefore OE = OF$.
在 $\triangle BOE$ 和 $\triangle DOF$ 中,
$OB = OD$, $\angle BOE=\angle DOF$, $OE = OF$,
$\therefore \triangle BOE\cong \triangle DOF(SAS)$. $\therefore BE = DF$.

13. 工人师傅现在需要把一块三角形的铁板(如图)，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形，你能帮助他设计一种可行的方案吗？请在图中画出焊接线，并说明你的理由.

解: 设计的方案如图所示, 可分别取 $AB$, $AC$ 边的中点 $D$, $E$, 连接 $DE$, 过点 $C$ 作 $CF// AB$, 交 $DE$ 的延长线于 $F$, 把 $\triangle ADE$ 切割下来, 补在 $\triangle CFE$ 的位置上, 就可焊接成 $□ BCFD$. 理由如下:
因为 $E$ 是 $AC$ 的中点,
所以 $AE = CE$.
因为 $CF// AB$, 所以 $\angle ADF=\angle F$.
又因为 $\angle AED=\angle CEF$,
所以 $\triangle ADE\cong \triangle CFE$,
所以 $AD = CF$.
因为 $D$ 是 $AB$ 的中点,
所以 $AD = BD$, 故 $BD = CF$,
又因为 $CF// AB$,
所以四边形 $BCFD$ 是平行四边形.

某村有一方四边形的池塘，在它的四个角A，B，C，D处各栽有一棵大核桃树(如图). 村里准备开挖池塘建鱼池，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持核桃树的位置不动，并要求扩建后的池塘为平行四边形的形状.
同学们，请问该村能否实现这一设想？若能，请你帮他们设计并画出图形；若不能，请说明理由.

解: 可以. 连接 $AC$, $BD$ 相交于点 $O$, 分别过 $A$, $C$ 作 $EH// BD$, $FG// BD$, 再过 $B$, $D$ 分别作 $AC$ 的平行线, 几条平行线分别相交于 $E$, $F$, $G$, $H$ 四点, 则四边形 $EFGH$ 即为所求.
理由如下:
$\because EF// AC$, $GH// AC$, $\therefore EF// GH$.
同理, $EH// FG$,
$\therefore$ 四边形 $EFGH$ 是平行四边形.
又四边形 $OAHD$ 与四边形 $ODGC$, 四边形 $OBFC$, 四边形 $OAEB$ 均为平行四边形,
$\therefore S_{\triangle HAD}=S_{\triangle AOD}$, $S_{\triangle DGC}=S_{\triangle DOC}$,
$S_{\triangle AEB}=S_{\triangle AOB}$, $S_{\triangle BFC}=S_{\triangle BOC}$.
$\therefore S_{□ HEFG}=2S_{四边形ABCD}$.