5. 某中学在“助残日”举行了一次“手拉手、献爱心”的捐款活动，学校对已捐款学生人数及捐款金额情况进行了调查. 图1表示的是各年级捐款人数占总捐款人数的百分比；图2是学校对学生的捐款金额情况进行抽样调查并根据所得数据绘制的统计图.

(1)学校对多少名学生的捐款金额情况进行了抽样调查?（）
(2)这组捐款金额数据的平均数、中位数各是多少?（平均数，中位数）
(3)若该校九年级共有400名学生捐款，全校学生捐款总金额大约多少元?（）

【解析】：
(1)将图2中不同捐款金额对应的人数相加，即可得到抽样调查的学生人数。
(2)根据平均数和中位数的定义分别计算。
(3)先根据九年级学生人数及所占百分比求出全校捐款学生总数，再结合抽样调查的平均数计算全校学生捐款总金额。
(1) $4 + 8 + 10 + 18 + 12 = 52$（名），所以学校对$52$名学生的捐款金额情况进行了抽样调查。
(2) 平均数：$(5×4 + 10×8 + 15×10 + 20×18 + 25×12)÷52$
$=(20 + 80 + 150 + 360 + 300)÷52$
$=910÷52 = 17.5$（元）。
将$52$个数据从小到大排列，第$26$、$27$个数据都是$20$，所以中位数是$20$元。
(3) 全校捐款学生总数：$400÷(1 - 40\% - 35\%) = 400÷25\% = 1600$（名）。
全校学生捐款总金额大约：$17.5×1600 = 28000$（元）。
【答案】：
(1) $52$名
(2) 平均数$17.5$元，中位数$20$元
(3) $28000$元

6. 某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩相同(单位：环)，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图(表)，并计算了甲成绩的平均数和方差.

小宇的作业：
解：$\overline {x_{甲}}=\frac {1}{5}(9+4+7+4+6)=6,$
$S_{甲}^{2}=\frac {1}{5}[(9-6)^{2}+(4-6)^{2}+(7-6)^{2}+(4-6)^{2}+(6-6)^{2}]$
$=\frac {1}{5}(9+4+1+4+0)$
$=3.6.$
甲、乙两人射箭成绩统计表
(单位：环)
| | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 9 | 4 | 7 | 4 | 6 |
| 乙 | 7 | 5 | 7 | a | 7 |
(1)$a=$；$\overline {x_{乙}}=$；
(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
(3)①观察图，可看出的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”). 参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断. ②请你从平均数和方差的角度分析，将被选中.

【解析】：
### $(1)$计算$a$和$\overline{x_{乙}}$的值
已知两人总成绩相同，先算出甲的总成绩为$9 + 4 + 7 + 4 + 6 = 30$环。
乙的总成绩也为$30$环，即$7 + 5 + 7 + a + 7 = 30$，
$26 + a = 30$，解得$a = 4$。
$\overline{x_{乙}}=\frac{1}{5}(7 + 5 + 7 + 4 + 7)=\frac{1}{5}×30 = 6$。
### $(2)$绘制乙成绩变化情况的折线
根据乙的成绩$7$、$5$、$7$、$4$、$7$，在统计图中对应射箭次序$1 - 5$的位置描点，然后用线段依次连接这些点。
### $(3)$①判断谁的成绩更稳定并计算乙的方差
观察图，可看出乙的成绩波动较小，所以乙的成绩比较稳定。
计算乙成绩的方差：
$S_{乙}^{2}=\frac{1}{5}[(7 - 6)^{2}+(5 - 6)^{2}+(7 - 6)^{2}+(4 - 6)^{2}+(7 - 6)^{2}]$
$=\frac{1}{5}(1 + 1 + 1 + 4 + 1)$
$=\frac{1}{5}×8 = 1.6$。
因为$S_{乙}^{2}=1.6$，$S_{甲}^{2}=3.6$，$S_{乙}^{2}＜S_{甲}^{2}$，方差越小，成绩越稳定，所以乙的成绩更稳定。
②从平均数和方差角度分析谁被选中
两人平均数$\overline{x_{甲}}=\overline{x_{乙}} = 6$，说明两人平均水平相同；
又因为$S_{乙}^{2}＜S_{甲}^{2}$，乙的成绩更稳定，所以乙将被选中。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{6}$
$(3)$①**乙**；②**乙**