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1. 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数$a,b,c$（即满足$a^2+b^2=c^2$，其中$c$为斜边长），称为勾股数.例如:3、4、5,5、12、13,8、15、17都是勾股数.试写出与上面几组不同的一组勾股数________.
D
D
答案
1. 6,8,10(答案不唯一)
解析
【分析】
解决这道题首先要明确勾股数的两个必备条件：一是三个数都为正整数，二是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，且写出的数组要和题目给出的3、4、5，5、12、13，8、15、17不重复。我们可以通过两种思路构造：一是回忆自己积累的其他勾股数，二是利用“一组勾股数同时乘同一个大于1的正整数，得到的新数组仍然是勾股数”的规律构造，比如把3、4、5同时扩大2倍，再验证是否符合要求即可。
【解析】
勾股数需要满足两个条件：①三个数均为正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方。
我们将已知勾股数3、4、5的每个数都乘2，得到新数组6、8、10。
验证：$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，即$6^2+8^2=10^2$，且6、8、10都是正整数，和题目给出的几组勾股数均不同，符合要求。
【答案】
6,8,10(答案不唯一)
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题是基础的开放性题目，主要考查对勾股数概念的理解，只要掌握勾股数的判定条件，就能轻松写出符合要求的结果，合理即可。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确勾股数的两个必备条件：一是三个数都为正整数，二是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，且写出的数组要和题目给出的3、4、5，5、12、13，8、15、17不重复。我们可以通过两种思路构造：一是回忆自己积累的其他勾股数，二是利用“一组勾股数同时乘同一个大于1的正整数，得到的新数组仍然是勾股数”的规律构造，比如把3、4、5同时扩大2倍，再验证是否符合要求即可。
【解析】
勾股数需要满足两个条件：①三个数均为正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方。
我们将已知勾股数3、4、5的每个数都乘2，得到新数组6、8、10。
验证：$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，即$6^2+8^2=10^2$，且6、8、10都是正整数，和题目给出的几组勾股数均不同，符合要求。
【答案】
6,8,10(答案不唯一)
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题是基础的开放性题目，主要考查对勾股数概念的理解，只要掌握勾股数的判定条件，就能轻松写出符合要求的结果，合理即可。
【难度系数】
0.9
2. [2025·许昌模拟]如图,在$△ ABC$和$△ EDB$中,$∠ C = ∠ EBD = 90°$,点$E$在$AB$上,若$△ ABC ≌ △ EDB$,$AC = 4$,$BC = 3$,则$AE =$
1
.答案
2. 1
解析
【分析】
要求AE的长度，观察图形可知AE=AB-BE，因此只需分别求出AB和BE的长度即可。第一步，△ABC是直角三角形，已知两条直角边AC、BC的长度，可通过勾股定理计算斜边AB的长度；第二步，已知△ABC≌△EDB，根据全等三角形对应边相等的性质，可得到BE与已知边的等量关系，求出BE的长度；最后将AB和BE的长度相减，即可得到AE的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
根据勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$。
∵△ABC≌△EDB，
∴BE=AC=4（全等三角形对应边相等），
∴$AE=AB-BE=5-4=1$。
【答案】
1
【知识点】
勾股定理，全等三角形的性质
【点评】
本题解题的关键是准确找到全等三角形的对应边，结合勾股定理和线段和差关系计算即可，要注意全等三角形的对应顶点要对应准确，避免找错对应边。
【难度系数】
0.8
要求AE的长度，观察图形可知AE=AB-BE，因此只需分别求出AB和BE的长度即可。第一步，△ABC是直角三角形，已知两条直角边AC、BC的长度，可通过勾股定理计算斜边AB的长度；第二步，已知△ABC≌△EDB，根据全等三角形对应边相等的性质，可得到BE与已知边的等量关系，求出BE的长度；最后将AB和BE的长度相减，即可得到AE的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
根据勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$。
∵△ABC≌△EDB，
∴BE=AC=4（全等三角形对应边相等），
∴$AE=AB-BE=5-4=1$。
【答案】
1
【知识点】
勾股定理，全等三角形的性质
【点评】
本题解题的关键是准确找到全等三角形的对应边，结合勾股定理和线段和差关系计算即可，要注意全等三角形的对应顶点要对应准确，避免找错对应边。
【难度系数】
0.8
3. 一艘小船早晨8:00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船从同一出发地点以12海里/时的速度向南航行，上午10:00，两小船相距________海里.
答案
3. 20
解析
【分析】
解题时首先要先明确两艘小船到上午10:00各自的航行时长，再结合速度通过路程公式算出两艘船分别距离出发点的路程；因为向东和向南的航行方向互相垂直，所以两艘船的位置与出发点恰好构成直角三角形，两艘船的距离就是该直角三角形的斜边，最后用勾股定理即可求出最终距离。
【解析】
第一步：计算两艘船的航行路程
第一艘小船8:00出发，到10:00共航行2小时，向东行驶的路程为：$8×2=16$（海里）
第二艘小船9:00出发，到10:00共航行1小时，向南行驶的路程为：$12×1=12$（海里）
第二步：利用勾股定理计算两船距离
东、南方向互相垂直，因此两船距离为直角三角形的斜边，两条直角边长度分别为16海里、12海里。
根据勾股定理可得两船距离为：$\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20$（海里）
【答案】
20
【知识点】
路程计算，勾股定理
【点评】
本题结合了基础行程问题和勾股定理的应用，解题的核心是先准确算出两艘船的行驶路程，再结合方向垂直的特点构造直角三角形求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要先明确两艘小船到上午10:00各自的航行时长，再结合速度通过路程公式算出两艘船分别距离出发点的路程；因为向东和向南的航行方向互相垂直，所以两艘船的位置与出发点恰好构成直角三角形，两艘船的距离就是该直角三角形的斜边，最后用勾股定理即可求出最终距离。
【解析】
第一步：计算两艘船的航行路程
第一艘小船8:00出发，到10:00共航行2小时，向东行驶的路程为：$8×2=16$（海里）
第二艘小船9:00出发，到10:00共航行1小时，向南行驶的路程为：$12×1=12$（海里）
第二步：利用勾股定理计算两船距离
东、南方向互相垂直，因此两船距离为直角三角形的斜边，两条直角边长度分别为16海里、12海里。
根据勾股定理可得两船距离为：$\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20$（海里）
【答案】
20
【知识点】
路程计算，勾股定理
【点评】
本题结合了基础行程问题和勾股定理的应用，解题的核心是先准确算出两艘船的行驶路程，再结合方向垂直的特点构造直角三角形求解。
【难度系数】
0.7
1. 如图,在$△ ABC$中,$AB=5$,$AC=4$,$∠ A=60°$,若边$AC$的垂直平分线$DE$交$AB$于点$D$,交$AC$于点$E$,连接$CD$,求:
(1)$BC$的长.
(2)$△ BDC$的周长.
(1)$BC$的长.
(2)$△ BDC$的周长.
答案
解:(1)如图,过点 C 作 $CM⊥AB$,垂足为 M.
在 $Rt△AMC$ 中,$\because ∠A=60^{\circ },AC=4$,
$\therefore AM=2,MC= \sqrt {4^{2}-2^{2}}=2\sqrt {3}.$
$\therefore BM=AB-AM=5-2=3.$
在 $Rt△BMC$ 中,
$BC=\sqrt{B{M}^{2}+C{M}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+(2\sqrt{3}\space {)}^{2}}=\sqrt{21}.$
(2)$\because DE$ 是线段 $AC$ 的垂直平分线,
$\therefore AD=DC.$ 又$\because ∠A=60^{\circ },$
$\therefore △ADC$ 是等边三角形 . $\therefore CD=AD=AC=4.$
$\therefore △BDC$ 的周长为 $DB+DC+BC=AD+DB+BC=AB+BC=5+\sqrt {21}.$ 即 $△BDC$ 的周长是 $5+\sqrt {21}.$
解析
【分析】
(1) 求BC的长度时，已知△ABC的两边AB、AC的长度和夹角∠A的度数，可通过作高构造直角三角形求解：过点C作CM⊥AB于点M，将△ABC拆分为两个直角三角形。首先在Rt△AMC中，利用∠A=60°和AC=4，结合含30°角的直角三角形的性质求出AM、CM的长度，再计算BM的长度，最后在Rt△BMC中运用勾股定理即可算出BC的长。
(2) 求△BDC的周长，周长为BD+DC+BC，BC已经在第一问求出，只需化简BD+DC即可。由DE是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=DC，因此BD+DC=BD+AD=AB，即可快速求出周长，也可结合∠A=60°先判定△ADC为等边三角形，验证DC的长度后再计算周长。
【解析】
(1) 如图，过点C作$CM⊥AB$，垂足为M。
在$Rt△AMC$中，$\because ∠A=60^{\circ },AC=4$，
$\therefore AM=\frac{1}{2}AC=2$，
由勾股定理得：$MC= \sqrt {AC^2-AM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
$\therefore BM=AB-AM=5-2=3$。
在$Rt△BMC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BM^2+CM^2}=\sqrt{3^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{21}$。
(2) $\because DE$是线段$AC$的垂直平分线，
$\therefore AD=DC$，
又$\because ∠A=60^{\circ }$，
$\therefore △ADC$是等边三角形，
$\therefore CD=AD=AC=4$。
$\therefore △BDC$的周长为：$DB+DC+BC=DB+AD+BC=AB+BC=5+\sqrt{21}$。
【答案】
(1) $BC$的长为$\sqrt{21}$；
(2) $△BDC$的周长为$5+\sqrt{21}$。
【知识点】
勾股定理；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是中等难度的几何综合计算题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形求解未知边长，同时利用线段垂直平分线的性质转化线段，简化周长的计算，能够很好地检验学生对几何基础性质的应用能力和转化思想的掌握情况。
【难度系数】
0.6
(1) 求BC的长度时，已知△ABC的两边AB、AC的长度和夹角∠A的度数，可通过作高构造直角三角形求解：过点C作CM⊥AB于点M，将△ABC拆分为两个直角三角形。首先在Rt△AMC中，利用∠A=60°和AC=4，结合含30°角的直角三角形的性质求出AM、CM的长度，再计算BM的长度，最后在Rt△BMC中运用勾股定理即可算出BC的长。
(2) 求△BDC的周长，周长为BD+DC+BC，BC已经在第一问求出，只需化简BD+DC即可。由DE是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=DC，因此BD+DC=BD+AD=AB，即可快速求出周长，也可结合∠A=60°先判定△ADC为等边三角形，验证DC的长度后再计算周长。
【解析】
(1) 如图，过点C作$CM⊥AB$，垂足为M。
在$Rt△AMC$中，$\because ∠A=60^{\circ },AC=4$，
$\therefore AM=\frac{1}{2}AC=2$，
由勾股定理得：$MC= \sqrt {AC^2-AM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
$\therefore BM=AB-AM=5-2=3$。
在$Rt△BMC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BM^2+CM^2}=\sqrt{3^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{21}$。
(2) $\because DE$是线段$AC$的垂直平分线，
$\therefore AD=DC$，
又$\because ∠A=60^{\circ }$，
$\therefore △ADC$是等边三角形，
$\therefore CD=AD=AC=4$。
$\therefore △BDC$的周长为：$DB+DC+BC=DB+AD+BC=AB+BC=5+\sqrt{21}$。
【答案】
(1) $BC$的长为$\sqrt{21}$；
(2) $△BDC$的周长为$5+\sqrt{21}$。
【知识点】
勾股定理；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是中等难度的几何综合计算题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形求解未知边长，同时利用线段垂直平分线的性质转化线段，简化周长的计算，能够很好地检验学生对几何基础性质的应用能力和转化思想的掌握情况。
【难度系数】
0.6
2. 如图,为修铁路需凿通隧道 $ AC $,量出 $ ∠ A=53° $, $ ∠ B=37° $, $ AB=5 \ \mathrm{km} $, $ BC=4 \ \mathrm{km} $. 若每天凿隧道 $ 0.3 \ \mathrm{km} $,多少天才能把隧道 $ AC $ 凿通?
答案
解:$\because ∠A=53^{\circ },∠B=37^{\circ },$
$\therefore ∠C=180^{\circ }-53^{\circ }-37^{\circ }=90^{\circ }.$
在 $Rt△ABC$ 中,$AB=5\ \mathrm{km},BC=4\ \mathrm{km},$
$\therefore AC=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3(\mathrm{k}\mathrm{m}).$
$3÷0.3=10(\mathrm{天}),$
$\therefore 10$ 天才能把隧道 $AC$ 凿通 .
$\therefore ∠C=180^{\circ }-53^{\circ }-37^{\circ }=90^{\circ }.$
在 $Rt△ABC$ 中,$AB=5\ \mathrm{km},BC=4\ \mathrm{km},$
$\therefore AC=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3(\mathrm{k}\mathrm{m}).$
$3÷0.3=10(\mathrm{天}),$
$\therefore 10$ 天才能把隧道 $AC$ 凿通 .
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内角和为180°的性质，结合已知的∠A和∠B的度数求出∠C的度数，判断出△ABC为直角三角形；再根据勾股定理，结合已知的斜边AB和直角边BC的长度，计算出AC的总长度；最后用AC的总长度除以每天开凿的长度，即可得到凿通隧道需要的天数。
【解析】
$\because ∠A=53^{\circ },∠B=37^{\circ },$
$\therefore ∠C=180^{\circ }-∠A-∠B=180^{\circ }-53^{\circ }-37^{\circ }=90^{\circ }$，即$△ ABC$为直角三角形。
在$Rt△ ABC$中，$AB=5\ \mathrm{km}$，$BC=4\ \mathrm{km}$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=\sqrt{25-16}=3(\mathrm{k}\mathrm{m})$
已知每天凿隧道$0.3\ \mathrm{km}$，则需要的天数为：
$3÷0.3=10(\mathrm{天})$
【答案】
10天
【知识点】
三角形内角和、勾股定理、工程问题计算
【点评】
本题是几何知识和实际应用相结合的基础题，解题核心是先判定三角形为直角三角形，再通过勾股定理求出待求边长度，最后结合简单的除法运算解决实际问题，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用三角形内角和为180°的性质，结合已知的∠A和∠B的度数求出∠C的度数，判断出△ABC为直角三角形；再根据勾股定理，结合已知的斜边AB和直角边BC的长度，计算出AC的总长度；最后用AC的总长度除以每天开凿的长度，即可得到凿通隧道需要的天数。
【解析】
$\because ∠A=53^{\circ },∠B=37^{\circ },$
$\therefore ∠C=180^{\circ }-∠A-∠B=180^{\circ }-53^{\circ }-37^{\circ }=90^{\circ }$，即$△ ABC$为直角三角形。
在$Rt△ ABC$中，$AB=5\ \mathrm{km}$，$BC=4\ \mathrm{km}$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=\sqrt{25-16}=3(\mathrm{k}\mathrm{m})$
已知每天凿隧道$0.3\ \mathrm{km}$，则需要的天数为：
$3÷0.3=10(\mathrm{天})$
【答案】
10天
【知识点】
三角形内角和、勾股定理、工程问题计算
【点评】
本题是几何知识和实际应用相结合的基础题，解题核心是先判定三角形为直角三角形，再通过勾股定理求出待求边长度，最后结合简单的除法运算解决实际问题，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
