1.（教材练习变式）下列四组数中，是勾股数的是（）

A.0.3、0.4、0.5
B.$3^2$、$4^2$、$5^2$
C.3、4、5
D.$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{5}$

1. C

【分析】
要判断是否为勾股数，首先需明确勾股数的两个判定条件：①三个数均为正整数；②满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时先根据第一个条件排除不符合的选项，再对剩余选项用第二个条件验证即可得出答案。
【解析】
勾股数的定义为：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数，称为勾股数，据此逐一分析选项：
选项A：0.3、0.4、0.5均为小数，不是正整数，不符合勾股数的定义，排除；
选项B：$3^2=9$，$4^2=16$，$5^2=25$，计算得$9^2+16^2=81+256=337$，$25^2=625$，$337≠625$，不满足勾股定理逆定理，排除；
选项C：3、4、5均为正整数，且$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，符合勾股数的定义，当选；
选项D：$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{5}$均为分数，不是正整数，不符合勾股数的定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是牢记勾股数的两个判定条件，易错点是容易忽略“勾股数必须为正整数”这一前提，误选含有小数、分数的选项。
【难度系数】
0.9

2. 在$△ ABC$中,若$AC^{2}-BC^{2}=AB^{2}$,则 （）

A.$∠ A=90°$
B.$∠ B=90°$
C.$∠ C=90°$
D.$∠ A=45°$

2. B 解析:$\because AC^{2}-BC^{2}=AB^{2},\therefore AC^{2}=BC^{2}+AB^{2},\therefore∠ B=90°.$

【分析】
看到题目给出三角形三边的平方关系，首先联想到勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角为直角。解题时先对已知等式进行移项变形，整理成两边平方和等于第三边平方的形式，再找到第三边对应的内角，即可判断出直角的位置。
【解析】
已知$AC^{2}-BC^{2}=AB^{2}$，移项可得$AC^{2}=BC^{2}+AB^{2}$，根据勾股定理的逆定理可知$△ ABC$是直角三角形，且$AC$为斜边，斜边所对的角为直角，边$AC$对应的内角是$∠ B$，因此$∠ B=90°$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形边角对应
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查勾股定理逆定理的直接应用，解题关键是准确匹配边与它所对的角，避免因边和角对应错误失分。
【难度系数】
0.9

3. 满足下列条件的$△ ABC$中,不是直角三角形的是 （）

A.$∠ A: ∠ B: ∠ C=3:4:5$
B.$a=1,b=2,c=\sqrt{5}$
C.$∠ C=∠ A-∠ B$
D.$(b+c)(b-c)=a^2$

3. A 解析: $\because ∠ A: ∠ B: ∠ C=3: 4: 5$,$\therefore$设$∠ A=3x,∠ B=4x,∠ C=5x,\therefore 3x+4x+5x=180°$,$\therefore x=15°$,$\therefore ∠ A=3x=45°,∠ B=4x=60°,∠ C=5x=75°$,$\therefore△ ABC$不是直角三角形,故 A 选项符合题意; $\because a=1,b=2,c=\sqrt{5}$,$\therefore 1^2+2^2=(\sqrt{5})^2$,$\therefore△ ABC$为直角三角形,故 B 选项不符合题意; $\because ∠ C=∠ A-∠ B$,$\therefore ∠ A=∠ B+∠ C$,$\because ∠ A+∠ B+∠ C=180°$,$\therefore 2∠ A=180°$,$\therefore ∠ A=90°$,$\therefore△ ABC$为直角三角形,故 C 选项不符合题意; $\because (b+c)(b-c)=a^2$,$\therefore b^2-c^2=a^2$,$\therefore b^2=a^2+c^2$,$\therefore△ ABC$为直角三角形,故 D 选项不符合题意.

【分析】
要判断三角形是否为直角三角形，可从两个维度验证：一是利用三角形内角和为180°，判断是否存在90°的内角；二是利用勾股定理的逆定理，判断三边是否满足较短两边的平方和等于最长边的平方。解题时逐一分析每个选项，排除是直角三角形的选项，即可得到符合题意的答案。
【解析】
A选项：已知∠A:∠B:∠C=3:4:5，设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，根据三角形内角和为180°，可得$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，因此$∠A=45°$，$∠B=60°$，$∠C=75°$，无90°内角，故$△ ABC$不是直角三角形，符合题意；
B选项：已知$a=1,b=2,c=\sqrt{5}$，计算得$1^2+2^2=1+4=5=(\sqrt{5})^2$，即$a^2+b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
C选项：已知$∠C=∠A-∠B$，移项得$∠A=∠B+∠C$，结合三角形内角和$∠A+∠B+∠C=180°$，代入得$2∠A=180°$，解得$∠A=90°$，故$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
D选项：已知$(b+c)(b-c)=a^2$，展开左边得$b^2 - c^2 = a^2$，整理得$b^2=a^2+c^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，直角三角形的判定
【点评】
本题围绕直角三角形的判定设置选项，分别从角的数量关系和边的数量关系两个维度考查，属于基础题型，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.85

4. 在$△ ABC$中,若$AC=5\ \mathrm{cm}$,$BC=12\ \mathrm{cm}$,$AB=13\ \mathrm{cm}$,则边$AB$上的中线长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.

4. 6.5 解析: $\because AC=5\ \mathrm{cm}$,$BC=12\ \mathrm{cm}$,$AB=13\ \mathrm{cm}$,$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$,$\therefore ∠ C=90°$,$\therefore$斜边$AB$上的中线长为$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×13=6.5(\mathrm{cm})$.

【分析】
解题时首先观察给出的三角形三边长度，5、12、13是常见的勾股数，我们可以先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状：计算两条较短边的平方和，再和最长边的平方比较，若相等则该三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。判断出是直角三角形后，要求斜边AB上的中线长，直接运用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质即可求解。
【解析】
解：已知$AC=5\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，$AB=13\ \mathrm{cm}$，
计算可得：$AC^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，
$AB^2 = 13^2 = 169$，
$\therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$，$AB$为斜边。
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
$\therefore AB$边上的中线长 $=\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×13 = 6.5\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
6.5
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是先通过勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形的性质快速得出结果，熟练掌握常见勾股数能提升解题效率。
【难度系数】
0.9

5. 给定一个三角形的两边长分别为 2、3，当第三边的平方为时，这个三角形是直角三角形。

5. 13 或 5 解析:设第三边长为 $x$,则 $x^2=2^2+3^2$ 或 $x^2=3^2-2^2$,$\therefore x^2=13$ 或 $x^2=5$.

【分析】
题目未明确直角三角形的斜边，因此需要结合“斜边是直角三角形最长边”的性质分类讨论：第一种情况是第三边为斜边，第二种情况是已知边中较长的3为斜边，再分别根据勾股定理计算第三边的平方，最后验证结果满足三角形三边关系即可。
【解析】
设第三边长为$ x $，分两种情况讨论：
1. 若第三边$ x $为斜边，根据勾股定理：
$ x^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 $
2. 若长度为3的边为斜边，第三边$ x $为直角边，根据勾股定理：
$ x^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5 $
两种情况均符合三角形三边关系，均成立。
【答案】
13或5
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；三角形三边关系
【点评】
本题是勾股定理应用的基础易错题，解题核心是注意直角三角形斜边未明确时需要分类讨论，避免漏解，计算后可通过三角形三边关系验证结果是否合理。
【难度系数】
0.6

6. 若$△ ABC$的三边$a$、$b$、$c$满足$(a-b)^2 + (a^2 + b^2 - c^2)^2 = 0$，则$△ ABC$是________三角形。

6. 等腰直角 解析:由题意,得 $a-b=0$ 且 $a^2+b^2-c^2=0$,则 $a=b$ 且 $a^2+b^2=c^2$,$\therefore△ ABC$ 是等腰直角三角形.

【分析】
解题时首先回忆平方的非负性：任意实数的平方都大于等于0，两个非负数的和为0时，说明每个非负数都等于0。据此可得到两个关于三角形三边的等式，再分别结合等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可。
【解析】
解：
∵ 任何实数的平方都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数均为0，
∴ 由$(a-b)^2 + (a^2 + b^2 - c^2)^2 = 0$可得：
$a - b = 0$，且$a^2 + b^2 - c^2 = 0$，
由$a - b = 0$得$a = b$，说明$△ ABC$有两条边相等，是等腰三角形；
由$a^2 + b^2 - c^2 = 0$得$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
综上，$△ ABC$既是等腰三角形又是直角三角形，因此是等腰直角三角形。
【答案】
等腰直角
【知识点】
平方的非负性；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础的三角形形状判定题，将代数非负性质和几何判定结合考查，解题关键是熟练掌握平方的非负性以及勾股定理逆定理的应用。
【难度系数】
0.8

7. 如图,在$△ ABC$中,$CD\bot AB$,$AB=5$,$BC=\sqrt{5}$,$CD=2$.
(1)求$DB$的长.
(2)求证:$AC\bot BC$.

7. (1)$\because CD\bot AB$,$\therefore ∠ CDA=∠ CDB=90°$,在$\mathrm{Rt}△ CDB$ 中,$BC=\sqrt{5}$,$CD=2$,$\therefore BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$.
(2)证明:$\because AB=5$,$BD=1$,$\therefore AD=AB-BD=5-1=4$,在$\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$,$\therefore AC^2+BC^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=25$,而 $AB^2=5^2=25$,$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$,$\therefore△ ABC$ 是直角三角形,$\therefore ∠ ACB=90°$,即 $AC\bot BC$.

【分析】
(1) 要求DB的长度，由已知CD⊥AB可得△CDB是直角三角形，已知该直角三角形的斜边BC和直角边CD的长度，直接运用勾股定理即可求出BD的长。
(2) 要证明AC⊥BC，即要证∠ACB=90°，可利用勾股定理的逆定理：若三角形中两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。首先先求出AD的长度，再在Rt△ACD中用勾股定理求出AC的长度，最后验证AC²+BC²是否等于AB²，即可完成证明。
【解析】
(1)
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，△CDB为直角三角形。
在Rt△CDB中，BC=√5，CD=2，根据勾股定理：
$BD = \sqrt{BC^2 - CD^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{5 - 4} = 1$。
(2) 证明：
∵ AB=5，BD=1，
∴ $AD = AB - BD = 5 - 1 = 4$。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDA=90°，△ACD为直角三角形。
在Rt△ACD中，根据勾股定理：
$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
计算得：$AC^2 + BC^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 20 + 5 = 25$，$AB^2 = 5^2 = 25$，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，即AC⊥BC。
【答案】
(1) DB的长为1；
(2) AC⊥BC，证明成立。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于勾股定理相关的基础题型，重点考查勾股定理求直角三角形边长、勾股定理逆定理判定直角三角形的应用，解题时注意理清两个定理的适用场景，计算过程中注意平方、开方运算的准确性即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

8. 如图,在四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°.求四边形ABCD的面积.

8. 如图,连接 $AC$. $\because ∠ B=90°$,$\therefore AC^2=AB^2+BC^2=20^2+15^2=625$. 又 $\because AD^2+CD^2=24^2+7^2=625$,$\therefore AC^2=AD^2+CD^2$,$\therefore△ ADC$是直角三角形,$∠ D=90°$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AB· BC+\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}×20×15+\frac{1}{2}×24×7=234$.

【分析】
要求不规则四边形ABCD的面积，可通过添加辅助线将其转化为熟悉的三角形面积之和。观察到∠B=90°，因此连接AC，将四边形分为△ABC和△ADC两个三角形：第一步先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度；第二步观察△ADC的三边长，利用勾股定理的逆定理判断△ADC是否为直角三角形；若为直角三角形，分别计算两个直角三角形的面积，相加即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：如图，连接$AC$。
$\because ∠ B=90°$，
$\therefore$ 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=20^2+15^2=400+225=625$。
在$△ ADC$中，$AD^2+CD^2=24^2+7^2=576+49=625$，
$\therefore AC^2=AD^2+CD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ADC$是直角三角形，且$∠ D=90°$。
$\therefore$ 四边形ABCD的面积为两个直角三角形的面积和：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AB· BC+\frac{1}{2}AD· CD$
$=\frac{1}{2}×20×15+\frac{1}{2}×24×7=150+84=234$。
【答案】
8. 如图,连接 $AC$. $\because ∠ B=90°$,$\therefore AC^2=AB^2+BC^2=20^2+15^2=625$. 又 $\because AD^2+CD^2=24^2+7^2=625$,$\therefore AC^2=AD^2+CD^2$,$\therefore△ ADC$是直角三角形,$∠ D=90°$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AB· BC+\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}×20×15+\frac{1}{2}×24×7=234$.
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，四边形面积计算
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的综合应用题型，解题核心是通过连接对角线将不规则四边形转化为两个直角三角形求解，既考查了直角三角形的边长计算，也考查了直角三角形的判定，是几何中不规则图形面积计算的典型考法。
【难度系数】
0.7