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6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长的直角边长为$ a $，较短的直角边长为$ b $. 若$(a + b)^2 = 23$，大正方形的面积为17，则小正方形的面积为 （
A.5
B.7
C.9
D.11
D
）A.5
B.7
C.9
D.11
答案
6. D 解析:如图,由题意可知,$ED=a,AE=b. \because$大正方形的面积为 17,$\therefore AD^2=17. \because AD^2=ED^2+AE^2=a^2+b^2,\therefore a^2+b^2=17. \because (a+b)^2=23,\therefore (a-b)^2=2(a^2+b^2)-(a+b)^2=2×17-23=11$,即小正方形的面积为 11.
解析
【分析】
要解这道题，首先明确赵爽弦图中的数量关系：大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形的面积等于两条直角边的平方和，即$a^2+b^2$；小正方形的边长是较长直角边减较短直角边$a-b$，因此小正方形面积为$(a-b)^2$。接下来结合已知条件计算：先从大正方形面积得到$a^2+b^2$的值，再展开已知的$(a+b)^2$求出$2ab$的值，最后代入$(a-b)^2$的展开式即可得到小正方形的面积。
【解析】
解：由题意得，大正方形的边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形面积$S_{\mathrm{大}}=a^2+b^2$。
已知大正方形面积为17，因此$a^2+b^2=17$。
又已知$(a+b)^2=23$，根据完全平方公式展开得：$a^2+2ab+b^2=23$。
将$a^2+b^2=17$代入上式，可得$17+2ab=23$，解得$2ab=6$。
小正方形的边长为$a-b$，因此小正方形的面积为：
$S_{\mathrm{小}}=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
将$a^2+b^2=17$、$2ab=6$代入得：$S_{\mathrm{小}}=17-6=11$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；面积和差计算
【点评】
本题以我国古代经典的赵爽弦图为背景，将几何图形的面积关系与代数公式相结合，考查学生对图形和代数式对应关系的理解，是勾股定理相关的典型习题。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先明确赵爽弦图中的数量关系：大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形的面积等于两条直角边的平方和，即$a^2+b^2$；小正方形的边长是较长直角边减较短直角边$a-b$，因此小正方形面积为$(a-b)^2$。接下来结合已知条件计算：先从大正方形面积得到$a^2+b^2$的值，再展开已知的$(a+b)^2$求出$2ab$的值，最后代入$(a-b)^2$的展开式即可得到小正方形的面积。
【解析】
解：由题意得，大正方形的边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形面积$S_{\mathrm{大}}=a^2+b^2$。
已知大正方形面积为17，因此$a^2+b^2=17$。
又已知$(a+b)^2=23$，根据完全平方公式展开得：$a^2+2ab+b^2=23$。
将$a^2+b^2=17$代入上式，可得$17+2ab=23$，解得$2ab=6$。
小正方形的边长为$a-b$，因此小正方形的面积为：
$S_{\mathrm{小}}=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
将$a^2+b^2=17$、$2ab=6$代入得：$S_{\mathrm{小}}=17-6=11$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；面积和差计算
【点评】
本题以我国古代经典的赵爽弦图为背景，将几何图形的面积关系与代数公式相结合，考查学生对图形和代数式对应关系的理解，是勾股定理相关的典型习题。
【难度系数】
0.7
7. 我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成.若$a=4,b=5$,则该矩形的面积为（
A.50
B.40
C.30
D.20
B
）A.50
B.40
C.30
D.20
答案
7. B 解析:设小正方形的边长为 $x. \because a=4,b=5,\therefore AB=5+4=9$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AC^2+BC^2=AB^2$,即 $(4+x)^2+(x+5)^2=9^2$,整理,得 $x^2+9x-20=0,\therefore x^2+9x=20$,$\therefore$该矩形的面积为 $(x+4)(x+5)=x^2+9x+20=20+20=40$.
解析
【分析】
首先观察图形可知，该矩形由两个全等的勾股形拼成，矩形的长和宽对应大直角三角形的两条直角边，大直角三角形的斜边长度为a+b。我们可先设小正方形的边长为x，那么大直角三角形的两条直角边可表示为(4+x)和(5+x)，结合勾股定理列方程，整理后可得到x²+9x的值，再将矩形面积展开，发现刚好包含x²+9x这一部分，利用整体代入的思想就可以直接求出面积，不需要计算x的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：设小正方形的边长为$x$。
$\because a=4,b=5$，$\therefore$大直角三角形的斜边$AB=a+b=4+5=9$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理可得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入边长得：$(4+x)^2+(x+5)^2=9^2$，
展开整理得：$x^2+8x+16+x^2+10x+25=81$，
合并同类项移项得：$2x^2+18x=40$，即$x^2+9x=20$。
矩形的面积为长乘宽，即$(x+4)(x+5)$，
展开得：$(x+4)(x+5)=x^2+9x+20$，
将$x^2+9x=20$代入得：$20+20=40$。
【答案】
B
【知识点】
1.勾股定理 2.整式的乘法 3.整体代入求值
【点评】
本题结合我国古代数学成就创设情境，考查勾股定理的应用，解题时灵活运用整体代入思想，可避免求解一元二次方程，简化运算过程，能较好考查学生的数形结合能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
首先观察图形可知，该矩形由两个全等的勾股形拼成，矩形的长和宽对应大直角三角形的两条直角边，大直角三角形的斜边长度为a+b。我们可先设小正方形的边长为x，那么大直角三角形的两条直角边可表示为(4+x)和(5+x)，结合勾股定理列方程，整理后可得到x²+9x的值，再将矩形面积展开，发现刚好包含x²+9x这一部分，利用整体代入的思想就可以直接求出面积，不需要计算x的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：设小正方形的边长为$x$。
$\because a=4,b=5$，$\therefore$大直角三角形的斜边$AB=a+b=4+5=9$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理可得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入边长得：$(4+x)^2+(x+5)^2=9^2$，
展开整理得：$x^2+8x+16+x^2+10x+25=81$，
合并同类项移项得：$2x^2+18x=40$，即$x^2+9x=20$。
矩形的面积为长乘宽，即$(x+4)(x+5)$，
展开得：$(x+4)(x+5)=x^2+9x+20$，
将$x^2+9x=20$代入得：$20+20=40$。
【答案】
B
【知识点】
1.勾股定理 2.整式的乘法 3.整体代入求值
【点评】
本题结合我国古代数学成就创设情境，考查勾股定理的应用，解题时灵活运用整体代入思想，可避免求解一元二次方程，简化运算过程，能较好考查学生的数形结合能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
8. 如图，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为$ S_1 $、$ S_2 $、$ S_3 $。若$ S_1 + S_2 + S_3 = 10 $，则$ S_2 $的值是________。
答案
8. $\frac{10}{3}$ 解析:设四边形 MNKT 的面积为 $x$,每个直角三角形的面积为 $y$. 由题意,得 $S_1=8y+x,S_2=4y+x,S_3=x$,$\therefore S_1+S_2+S_3=12y+3x=10,\therefore 4y+x=\frac{10}{3}$,即 $S_2=\frac{10}{3}$.
解析
【分析】
解题时可利用全等三角形面积相等的性质，通过设参数的方法表示三个正方形的面积。首先设最小正方形MNKT的面积为x，每个全等直角三角形的面积为y，观察图形可知最大正方形ABCD的面积等于8个直角三角形的面积加最小正方形的面积，中间正方形EFGH的面积等于4个直角三角形的面积加最小正方形的面积，最小正方形面积就是x。将三个面积相加后可整理出与$S_2$相关的等式，代入已知条件即可求出$S_2$的值。
【解析】
设正方形MNKT的面积为$x$，每个全等直角三角形的面积为$y$。
根据图形的面积组成可得：
$S_1=8y+x$，$S_2=4y+x$，$S_3=x$，
已知$S_1+S_2+S_3=10$，代入上述表达式得：
$(8y+x)+(4y+x)+x=10$，
合并同类项得$12y+3x=10$，
等式两边同时除以3得$4y+x=\frac{10}{3}$，
即$S_2=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
全等图形的性质；正方形面积计算；整体代入求值
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查数形结合思想和整体代入的解题方法，解题关键是准确找出三个正方形面积之间的数量关系，不需要单独求解每个参数的值，通过整体化简即可得到结果，是勾股定理相关的典型基础题。
【难度系数】
0.6
解题时可利用全等三角形面积相等的性质，通过设参数的方法表示三个正方形的面积。首先设最小正方形MNKT的面积为x，每个全等直角三角形的面积为y，观察图形可知最大正方形ABCD的面积等于8个直角三角形的面积加最小正方形的面积，中间正方形EFGH的面积等于4个直角三角形的面积加最小正方形的面积，最小正方形面积就是x。将三个面积相加后可整理出与$S_2$相关的等式，代入已知条件即可求出$S_2$的值。
【解析】
设正方形MNKT的面积为$x$，每个全等直角三角形的面积为$y$。
根据图形的面积组成可得：
$S_1=8y+x$，$S_2=4y+x$，$S_3=x$，
已知$S_1+S_2+S_3=10$，代入上述表达式得：
$(8y+x)+(4y+x)+x=10$，
合并同类项得$12y+3x=10$，
等式两边同时除以3得$4y+x=\frac{10}{3}$，
即$S_2=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
全等图形的性质；正方形面积计算；整体代入求值
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查数形结合思想和整体代入的解题方法，解题关键是准确找出三个正方形面积之间的数量关系，不需要单独求解每个参数的值，通过整体化简即可得到结果，是勾股定理相关的典型基础题。
【难度系数】
0.6
9. 数学家发现:在一个直角三角形中,两条直角边边长的平方和等于斜边长的平方.如图1,设直角三角形的两条直角边的长度分别是$a$和$b(a＜b)$,斜边长度是$c$,那么可以用数学语言表达:$a^2 + b^2 = c^2$.
(1)如图2,将4个与图1完全相同的直角三角形拼成一个边长为$c$的正方形$ABCD$,则四边形$EFGH$是一个________(填“长方形”或“正方形”),其面积为________(用含$a、b$的代数式表示).
(2)观察图2,利用面积之间的恒等关系,试说明$a^2 + b^2 = c^2$.
(3)如图3,折叠长方形$ABCD$的一边$AD$,使点$D$落在边$BC$上的点$F$处,已知$AB=12$,$BC=20$,利用上面的结论求$EF$的长.
(1)如图2,将4个与图1完全相同的直角三角形拼成一个边长为$c$的正方形$ABCD$,则四边形$EFGH$是一个________(填“长方形”或“正方形”),其面积为________(用含$a、b$的代数式表示).
(2)观察图2,利用面积之间的恒等关系,试说明$a^2 + b^2 = c^2$.
(3)如图3,折叠长方形$ABCD$的一边$AD$,使点$D$落在边$BC$上的点$F$处,已知$AB=12$,$BC=20$,利用上面的结论求$EF$的长.
答案
9. (1)正方形 $(b-a)^2$
(2) $\because S_{\mathrm{正方形}ABCD}=4× S_{\mathrm{Rt}△ ABE}+S_{\mathrm{正方形}EFGH},\therefore c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$,整理,得 $a^2+b^2=c^2$.
(3)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是长方形,$△ AFE$ 是由 $△ ADE$ 折叠得到的,$\therefore AF=AD=BC=20,DC=AB=12,EF=DE$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中,$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16,\therefore CF=BC-BF=20-16=4$. 设 $EF=x$,则 $EC=DC-DE=12-x$. 在 $\mathrm{Rt}△ EFC$ 中,$EF^2=CF^2+EC^2$,即 $x^2=4^2+(12-x)^2$,解得 $x=\frac{20}{3}$,即 $EF$ 的长为 $\frac{20}{3}$.
(2) $\because S_{\mathrm{正方形}ABCD}=4× S_{\mathrm{Rt}△ ABE}+S_{\mathrm{正方形}EFGH},\therefore c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$,整理,得 $a^2+b^2=c^2$.
(3)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是长方形,$△ AFE$ 是由 $△ ADE$ 折叠得到的,$\therefore AF=AD=BC=20,DC=AB=12,EF=DE$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中,$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16,\therefore CF=BC-BF=20-16=4$. 设 $EF=x$,则 $EC=DC-DE=12-x$. 在 $\mathrm{Rt}△ EFC$ 中,$EF^2=CF^2+EC^2$,即 $x^2=4^2+(12-x)^2$,解得 $x=\frac{20}{3}$,即 $EF$ 的长为 $\frac{20}{3}$.
解析
【分析】
（1）先观察4个全等直角三角形的边长，可得四边形EFGH的四条边长度均为$b-a$，边长相等；再判断内角：每个内角为平角减去直角三角形的两个锐角，和为$90°$，因此四边形EFGH是正方形，面积为边长的平方即可。
（2）利用面积法推导：大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，将各部分面积用含$a、b、c$的代数式表示，化简后即可推导出勾股定理。
（3）折叠问题的核心是折叠前后对应边、对应角相等，因此可得$AF=AD=20$，$EF=DE$。首先在$\mathrm{Rt}△ABF$中用勾股定理求出BF的长度，进而得到CF的长度；再设$EF=x$，将EC用含x的代数式表示，在$\mathrm{Rt}△EFC$中利用勾股定理列方程求解即可得到EF的长。
【解析】
(1) 四个全等直角三角形的长直角边为$b$，短直角边为$a$，因此四边形EFGH的边长均为$b-a$，且每个内角均为$90°$，所以是正方形，面积为$(b-a)^2$。
(2) 大正方形$ABCD$的面积为$c^2$，同时它的面积等于4个直角三角形的面积加中间小正方形$EFGH$的面积：
$\because S_{\mathrm{正方形}ABCD}=4× S_{\mathrm{Rt}△ ABE}+S_{\mathrm{正方形}EFGH}$
$\therefore c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$
展开右侧化简后可得：$a^2+b^2=c^2$。
(3) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是长方形，$△ AFE$ 是由$△ ADE$折叠得到的，
$\therefore AF=AD=BC=20,DC=AB=12,EF=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$，
$\therefore CF=BC-BF=20-16=4$。
设 $EF=x$，则 $EC=DC-DE=12-x$。
在$\mathrm{Rt}△ EFC$中，由勾股定理得$EF^2=CF^2+EC^2$，
即 $x^2=4^2+(12-x)^2$，
解得 $x=\frac{20}{3}$。
【答案】
(1) 正方形；$(b-a)^2$
(2) 推导如上，可证$a^2+b^2=c^2$
(3) $EF$的长为$\frac{20}{3}$
【知识点】
勾股定理；折叠的性质；面积法
【点评】
本题围绕勾股定理展开，从定理的推导证明到实际应用，兼顾基础与能力，既考查了对几何图形面积关系的理解，又考查了利用方程思想结合勾股定理解决折叠问题的能力，是勾股定理相关的典型习题。
【难度系数】
0.7
（1）先观察4个全等直角三角形的边长，可得四边形EFGH的四条边长度均为$b-a$，边长相等；再判断内角：每个内角为平角减去直角三角形的两个锐角，和为$90°$，因此四边形EFGH是正方形，面积为边长的平方即可。
（2）利用面积法推导：大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，将各部分面积用含$a、b、c$的代数式表示，化简后即可推导出勾股定理。
（3）折叠问题的核心是折叠前后对应边、对应角相等，因此可得$AF=AD=20$，$EF=DE$。首先在$\mathrm{Rt}△ABF$中用勾股定理求出BF的长度，进而得到CF的长度；再设$EF=x$，将EC用含x的代数式表示，在$\mathrm{Rt}△EFC$中利用勾股定理列方程求解即可得到EF的长。
【解析】
(1) 四个全等直角三角形的长直角边为$b$，短直角边为$a$，因此四边形EFGH的边长均为$b-a$，且每个内角均为$90°$，所以是正方形，面积为$(b-a)^2$。
(2) 大正方形$ABCD$的面积为$c^2$，同时它的面积等于4个直角三角形的面积加中间小正方形$EFGH$的面积：
$\because S_{\mathrm{正方形}ABCD}=4× S_{\mathrm{Rt}△ ABE}+S_{\mathrm{正方形}EFGH}$
$\therefore c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$
展开右侧化简后可得：$a^2+b^2=c^2$。
(3) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是长方形，$△ AFE$ 是由$△ ADE$折叠得到的，
$\therefore AF=AD=BC=20,DC=AB=12,EF=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$，
$\therefore CF=BC-BF=20-16=4$。
设 $EF=x$，则 $EC=DC-DE=12-x$。
在$\mathrm{Rt}△ EFC$中，由勾股定理得$EF^2=CF^2+EC^2$，
即 $x^2=4^2+(12-x)^2$，
解得 $x=\frac{20}{3}$。
【答案】
(1) 正方形；$(b-a)^2$
(2) 推导如上，可证$a^2+b^2=c^2$
(3) $EF$的长为$\frac{20}{3}$
【知识点】
勾股定理；折叠的性质；面积法
【点评】
本题围绕勾股定理展开，从定理的推导证明到实际应用，兼顾基础与能力，既考查了对几何图形面积关系的理解，又考查了利用方程思想结合勾股定理解决折叠问题的能力，是勾股定理相关的典型习题。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$AB⊥ BC,DC⊥ BC$，垂足分别为$B、C$，$DE$交$BC$于点$E$，$AB=EC,AC=DE$。
(1)求证：$AC⊥ DE$。
(2)连接$AD$，若$AB=a,BC=b,AC=c$，通过用不同方法计算四边形$ABCD$的面积，验证勾股定理。
(1)求证：$AC⊥ DE$。
(2)连接$AD$，若$AB=a,BC=b,AC=c$，通过用不同方法计算四边形$ABCD$的面积，验证勾股定理。
答案
10. (1)证明:如图,设 $DE$ 与 $AC$ 的交点为 $F. \because AB⊥ BC,DC⊥ BC,\therefore ∠ ABC=∠ ECD=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ ECD$ 中,$\begin{cases}AC=ED,\\AB=EC,\end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ ECD$（HL）,$\therefore ∠ DEC=∠ CAB$. 又 $\because ∠ ABC=90°$,$\therefore ∠ CAB+∠ BCA=90°$,$\therefore ∠ DEC+∠ BCA=90°$,$\therefore ∠ EFC=90°$,即 $AC⊥ DE$.
(2)如图,连接 $AD、AE$. 由(1),得 $△ ABC≌△ ECD$,$\therefore EC=AB=a,DC=BC=b,DE=AC=c$,$\therefore BE=b-a$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\frac{1}{2}(AB+DC)· BC=\frac{1}{2}b(a+b)=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2$. 又 $\because AC⊥ DE$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{\mathrm{四边形}AECD}+S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AC· DE+\frac{1}{2}AB· BE=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2$. $\therefore \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2$,化简得 $a^2+b^2=c^2$.
解析
【分析】
(1) 要证$AC⊥DE$，需证二者夹角为$90°$。首先根据已知的垂直条件可得两个直角，结合给出的边相等的条件，可先通过HL判定证明$Rt△ ABC$和$Rt△ ECD$全等，得到对应角相等，再利用直角三角形两锐角互余的性质做角的等量代换，即可推出夹角为$90°$，得到垂直关系。
(2) 验证勾股定理即推出$a^2+b^2=c^2$，可通过两种不同方法计算同一个四边形$ABCD$的面积，令两个面积表达式相等化简即可。首先$ABCD$是直角梯形，可直接用梯形面积公式列第一个表达式；再结合第一问得到的$AC⊥DE$，将四边形拆分为$△ ABE$和四边形$AECD$，利用对角线垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半计算$AECD$的面积，加上$△ ABE$的面积得到第二个表达式，联立化简即可得到勾股定理。
【解析】
(1) 证明：设$DE$与$AC$的交点为$F$。
$\because AB⊥BC,DC⊥BC$，$\therefore ∠ABC=∠ECD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△ECD$中，
$\begin{cases}AC=ED\\AB=EC\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△ECD$（HL），$\therefore ∠DEC=∠CAB$。
又$\because ∠ABC=90°$，$\therefore ∠CAB+∠BCA=90°$，
等量代换得$∠DEC+∠BCA=90°$，
$\therefore ∠EFC=180°-(∠DEC+∠BCA)=90°$，即$AC⊥DE$。
(2) 连接$AD、AE$。
由(1)得$△ABC≌△ECD$，$\therefore EC=AB=a,DC=BC=b,DE=AC=c$，
$\therefore BE=BC-EC=b-a$。
方法一：四边形$ABCD$是直角梯形，根据梯形面积公式：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\frac{1}{2}(AB+DC)· BC=\frac{1}{2}(a+b)b=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2$。
方法二：将四边形$ABCD$拆分为$△ ABE$和四边形$AECD$，
$\because AC⊥DE$，$\therefore S_{\mathrm{四边形}AECD}=\frac{1}{2}AC·DE$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABE}+S_{\mathrm{四边形}AECD}=\frac{1}{2}AB·BE+\frac{1}{2}AC·DE$
代入得$=\frac{1}{2}a(b-a)+\frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$。
联立两个面积表达式：
$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$，
两边同时减去$\frac{1}{2}ab$，再同乘2，化简得$a^2+b^2=c^2$，即验证了勾股定理。
【答案】
(1)证明:如图,设 $DE$ 与 $AC$ 的交点为 $F. \because AB⊥ BC,DC⊥ BC,\therefore ∠ ABC=∠ ECD=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ ECD$ 中,$\begin{cases}AC=ED,\\AB=EC,\end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ ECD$（HL）,$\therefore ∠ DEC=∠ CAB$. 又 $\because ∠ ABC=90°$,$\therefore ∠ CAB+∠ BCA=90°$,$\therefore ∠ DEC+∠ BCA=90°$,$\therefore ∠ EFC=90°$,即 $AC⊥ DE$.
(2)如图,连接 $AD、AE$. 由(1),得 $△ ABC≌△ ECD$,$\therefore EC=AB=a,DC=BC=b,DE=AC=c$,$\therefore BE=b-a$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\frac{1}{2}(AB+DC)· BC=\frac{1}{2}b(a+b)=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2$. 又 $\because AC⊥ DE$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{\mathrm{四边形}AECD}+S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AC· DE+\frac{1}{2}AB· BE=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2$. $\therefore \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2$,化简得 $a^2+b^2=c^2$.
【知识点】
1. HL证直角三角形全等
2. 垂直的判定
3. 面积法证勾股定理
【点评】
本题综合考查全等三角形的判定与性质、垂直的证明以及勾股定理的验证，解题的核心是先通过全等得到角与边的等量关系，再利用“同一图形面积不同表达式相等”的思路建立等式推导，能有效锻炼几何逻辑推理能力和转化思想。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$AC⊥DE$，需证二者夹角为$90°$。首先根据已知的垂直条件可得两个直角，结合给出的边相等的条件，可先通过HL判定证明$Rt△ ABC$和$Rt△ ECD$全等，得到对应角相等，再利用直角三角形两锐角互余的性质做角的等量代换，即可推出夹角为$90°$，得到垂直关系。
(2) 验证勾股定理即推出$a^2+b^2=c^2$，可通过两种不同方法计算同一个四边形$ABCD$的面积，令两个面积表达式相等化简即可。首先$ABCD$是直角梯形，可直接用梯形面积公式列第一个表达式；再结合第一问得到的$AC⊥DE$，将四边形拆分为$△ ABE$和四边形$AECD$，利用对角线垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半计算$AECD$的面积，加上$△ ABE$的面积得到第二个表达式，联立化简即可得到勾股定理。
【解析】
(1) 证明：设$DE$与$AC$的交点为$F$。
$\because AB⊥BC,DC⊥BC$，$\therefore ∠ABC=∠ECD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△ECD$中，
$\begin{cases}AC=ED\\AB=EC\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△ECD$（HL），$\therefore ∠DEC=∠CAB$。
又$\because ∠ABC=90°$，$\therefore ∠CAB+∠BCA=90°$，
等量代换得$∠DEC+∠BCA=90°$，
$\therefore ∠EFC=180°-(∠DEC+∠BCA)=90°$，即$AC⊥DE$。
(2) 连接$AD、AE$。
由(1)得$△ABC≌△ECD$，$\therefore EC=AB=a,DC=BC=b,DE=AC=c$，
$\therefore BE=BC-EC=b-a$。
方法一：四边形$ABCD$是直角梯形，根据梯形面积公式：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\frac{1}{2}(AB+DC)· BC=\frac{1}{2}(a+b)b=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2$。
方法二：将四边形$ABCD$拆分为$△ ABE$和四边形$AECD$，
$\because AC⊥DE$，$\therefore S_{\mathrm{四边形}AECD}=\frac{1}{2}AC·DE$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABE}+S_{\mathrm{四边形}AECD}=\frac{1}{2}AB·BE+\frac{1}{2}AC·DE$
代入得$=\frac{1}{2}a(b-a)+\frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$。
联立两个面积表达式：
$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$，
两边同时减去$\frac{1}{2}ab$，再同乘2，化简得$a^2+b^2=c^2$，即验证了勾股定理。
【答案】
(1)证明:如图,设 $DE$ 与 $AC$ 的交点为 $F. \because AB⊥ BC,DC⊥ BC,\therefore ∠ ABC=∠ ECD=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ ECD$ 中,$\begin{cases}AC=ED,\\AB=EC,\end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ ECD$（HL）,$\therefore ∠ DEC=∠ CAB$. 又 $\because ∠ ABC=90°$,$\therefore ∠ CAB+∠ BCA=90°$,$\therefore ∠ DEC+∠ BCA=90°$,$\therefore ∠ EFC=90°$,即 $AC⊥ DE$.
(2)如图,连接 $AD、AE$. 由(1),得 $△ ABC≌△ ECD$,$\therefore EC=AB=a,DC=BC=b,DE=AC=c$,$\therefore BE=b-a$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\frac{1}{2}(AB+DC)· BC=\frac{1}{2}b(a+b)=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2$. 又 $\because AC⊥ DE$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{\mathrm{四边形}AECD}+S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AC· DE+\frac{1}{2}AB· BE=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2$. $\therefore \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^2$,化简得 $a^2+b^2=c^2$.
【知识点】
1. HL证直角三角形全等
2. 垂直的判定
3. 面积法证勾股定理
【点评】
本题综合考查全等三角形的判定与性质、垂直的证明以及勾股定理的验证，解题的核心是先通过全等得到角与边的等量关系，再利用“同一图形面积不同表达式相等”的思路建立等式推导，能有效锻炼几何逻辑推理能力和转化思想。
【难度系数】
0.7
