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23. 如图，已知长方形内两个相邻正方形的面积分别为$9\ \mathrm{cm}^2$和$3\ \mathrm{cm}^2$.
（1）求长方形的周长.
（2）求图中两个阴影部分的面积和.
（1）求长方形的周长.
（2）求图中两个阴影部分的面积和.
答案
(1) 两个相邻正方形中,大正方形的边长为$\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm},$小正方形的边长为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}.$$\therefore$长方形的长为$(3+\sqrt{3})\mathrm{cm},$宽为$3\ \mathrm{cm}.$$\therefore$长方形的周长为 $2×(3+\sqrt{3}+3)= 2×(6+\sqrt{3})=(12+2\sqrt{3})\mathrm{cm}.$
(2) 阴影部分的面积和为$(3-\sqrt{3})×\sqrt{3}=(3\sqrt{3}-3)\mathrm{cm}^2.$
(2) 阴影部分的面积和为$(3-\sqrt{3})×\sqrt{3}=(3\sqrt{3}-3)\mathrm{cm}^2.$
24. 下面是小李同学探索$\sqrt{107}$的近似值的过程：
∵面积为107的正方形的边长是$\sqrt{107}$，且$10＜\sqrt{107}＜11$，∴设$\sqrt{107}=10+x$，其中$0＜x＜1$.画出如图所示的示意图，令图中$S_{大正方形}=10^2 + 2×10x + x^2$，$S_{大正方形}=107$，∴$10^2 + 2×10x + x^2=107$.当$x^2$较小时，省略$x^2$，得$20x + 100≈107$，解得$x≈0.35$.
∴$\sqrt{107}≈10.35$.
（1）$\sqrt{76}$的整数部分是________.
（2）仿照上述方法，探究$\sqrt{76}$的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）.
∵面积为107的正方形的边长是$\sqrt{107}$，且$10＜\sqrt{107}＜11$，∴设$\sqrt{107}=10+x$，其中$0＜x＜1$.画出如图所示的示意图，令图中$S_{大正方形}=10^2 + 2×10x + x^2$，$S_{大正方形}=107$，∴$10^2 + 2×10x + x^2=107$.当$x^2$较小时，省略$x^2$，得$20x + 100≈107$，解得$x≈0.35$.
∴$\sqrt{107}≈10.35$.
（1）$\sqrt{76}$的整数部分是________.
（2）仿照上述方法，探究$\sqrt{76}$的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）.
答案
(1) 8
(2) $\because$面积为76的正方形的边长是$\sqrt{76},$且$8＜\sqrt{76}＜9,$$\therefore$设$\sqrt{76}=8+x,$其中$0＜x＜1.$画出如图所示的示意图,令图中$S_{\mathrm{大正方形}}=8^2+2×8x+x^2$,$S_{\mathrm{大正方形}}=76,$$\therefore 8^2+2×8x+x^2=76.$当$x^2$较小时,省略$x^2,$得$16x+64\approx76.$解得$x\approx0.75.$$\therefore \sqrt{76}\approx8.75.$
