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2. 政府准备在一块长$a$ m,宽$b$ m的长方形空地上铺草地并修建小路,现有如图所示的三种方案.
(1)方案一与方案二中,小路的左边线向右平移1 m就得其右边线,设方案一和方案二中草地的面积分别为$S_1,S_2$,则$S_1=$
(2)方案三中,在这块草地上修纵横两条宽1 m的小路,求草地的面积.(用含$a,b$的式子表示)
(3)经讨论后决定选用方案三,若$a=30,b=20$,且铺草地平均每平方米需要花费50元,那么铺设该草地一共需要花费多少元?
(1)方案一与方案二中,小路的左边线向右平移1 m就得其右边线,设方案一和方案二中草地的面积分别为$S_1,S_2$,则$S_1=$
$b(a-1)$
$\mathrm{m}^2$(用含$a,b$的式子表示),$S_1$=
$S_2$(填“＞”“＜”或“=”).(2)方案三中,在这块草地上修纵横两条宽1 m的小路,求草地的面积.(用含$a,b$的式子表示)
(3)经讨论后决定选用方案三,若$a=30,b=20$,且铺草地平均每平方米需要花费50元,那么铺设该草地一共需要花费多少元?
答案
2.(1)$b(a-1)$ = (2)$(b-1)(a-1)\ \mathrm{m}^2$ (3)27 550
解析
【分析】
(1) 先计算整个长方形空地的总面积，再减去小路面积得到草地面积。方案一小路是宽1m的矩形，面积可直接计算；方案二的小路虽为折线，但水平宽度恒为1m，利用平移可将小路转化为和方案一面积相等的矩形，因此两块草地面积相等。
(2) 方案三的纵横小路，可通过平移将四块分散的草地拼接为规则长方形，新长方形的长和宽分别比原长方形少1m，据此计算面积即可。
(3) 将a、b的数值代入(2)得到的草地面积公式，算出面积后乘每平方米的花费，即可得到总花费。
【解析】
(1) 长方形空地总面积为$ab\ \mathrm{m}^2$，方案一中小路是宽1m、长$b$ m的矩形，小路面积为$1× b = b\ \mathrm{m}^2$，因此草地面积$S_1=ab - b = b(a-1)\ \mathrm{m}^2$。
方案二中，小路水平宽度处处为1m，将小路沿竖直方向分割平移后，可得小路面积仍为$b\ \mathrm{m}^2$，因此$S_2=ab - b = b(a-1)\ \mathrm{m}^2$，故$S_1=S_2$。
(2) 把方案三中的纵向小路向左平移、横向小路向上平移，剩余草地可拼接为长$(a-1)\ \mathrm{m}$、宽$(b-1)\ \mathrm{m}$的长方形，因此草地面积为$(a-1)(b-1)\ \mathrm{m}^2$。
(3) 当$a=30$，$b=20$时，草地面积为$(30-1)×(20-1)=29×19=551\ \mathrm{m}^2$。
每平方米花费50元，总花费为$551×50=27550$元。
【答案】
(1)$b(a-1)$；=
(2)$(a-1)(b-1)\ \mathrm{m}^2$
(3)27550元
【知识点】
平移的性质；长方形面积计算；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际考查图形面积的计算，核心是利用平移将不规则图形转化为规则图形简化运算，能有效提升学生的图形转化思维和应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 先计算整个长方形空地的总面积，再减去小路面积得到草地面积。方案一小路是宽1m的矩形，面积可直接计算；方案二的小路虽为折线，但水平宽度恒为1m，利用平移可将小路转化为和方案一面积相等的矩形，因此两块草地面积相等。
(2) 方案三的纵横小路，可通过平移将四块分散的草地拼接为规则长方形，新长方形的长和宽分别比原长方形少1m，据此计算面积即可。
(3) 将a、b的数值代入(2)得到的草地面积公式，算出面积后乘每平方米的花费，即可得到总花费。
【解析】
(1) 长方形空地总面积为$ab\ \mathrm{m}^2$，方案一中小路是宽1m、长$b$ m的矩形，小路面积为$1× b = b\ \mathrm{m}^2$，因此草地面积$S_1=ab - b = b(a-1)\ \mathrm{m}^2$。
方案二中，小路水平宽度处处为1m，将小路沿竖直方向分割平移后，可得小路面积仍为$b\ \mathrm{m}^2$，因此$S_2=ab - b = b(a-1)\ \mathrm{m}^2$，故$S_1=S_2$。
(2) 把方案三中的纵向小路向左平移、横向小路向上平移，剩余草地可拼接为长$(a-1)\ \mathrm{m}$、宽$(b-1)\ \mathrm{m}$的长方形，因此草地面积为$(a-1)(b-1)\ \mathrm{m}^2$。
(3) 当$a=30$，$b=20$时，草地面积为$(30-1)×(20-1)=29×19=551\ \mathrm{m}^2$。
每平方米花费50元，总花费为$551×50=27550$元。
【答案】
(1)$b(a-1)$；=
(2)$(a-1)(b-1)\ \mathrm{m}^2$
(3)27550元
【知识点】
平移的性质；长方形面积计算；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际考查图形面积的计算，核心是利用平移将不规则图形转化为规则图形简化运算，能有效提升学生的图形转化思维和应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图,是建有平面直角坐标系的正方形网格,请按下列要求操作:
(1)画$△ ABC$,使$A,B,C$三点的坐标分别为$(3,1),(4,-1),(2,-2)$;
(2)求$△ ABC$的面积;
(3)如果将$△ ABC$向左平移4个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到$△ A_1B_1C_1$.画出平移后的图形,并指出$A_1$、$B_1$、$C_1$的坐标.
(1)画$△ ABC$,使$A,B,C$三点的坐标分别为$(3,1),(4,-1),(2,-2)$;
(2)求$△ ABC$的面积;
(3)如果将$△ ABC$向左平移4个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到$△ A_1B_1C_1$.画出平移后的图形,并指出$A_1$、$B_1$、$C_1$的坐标.
答案
3.(2) $△ ABC$ 的面积为$\frac{5}{2}$ (3)$A_1(-1,4),B_1(0,2),C_1(-2,1)$
解析
【分析】
1. 第(1)问描点画图：根据坐标定义，横坐标对应x轴数值，纵坐标对应y轴数值，依次找到A、B、C三点的位置，顺次连接即可得到△ABC。
2. 第(2)问求三角形面积：网格中不规则三角形面积常用割补法求解，先找到能包围△ABC的最小矩形，用矩形面积减去矩形内△ABC周围3个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
3. 第(3)问图形平移：平面直角坐标系中点的平移规律为“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”，将A、B、C三点横坐标都减4、纵坐标都加3，即可得到平移后对应点的坐标，再描点顺次连接得到平移后的图形。
【解析】
(1) 描点操作：在坐标系中找到x=3且y=1的点为A，x=4且y=-1的点为B，x=2且y=-2的点为C，顺次连接A、B、C，即得到△ABC（画图略）。
(2) 面积计算：
包围△ABC的最小矩形横向范围为x=2到x=4，纵向范围为y=-2到y=1，矩形长为$4-2=2$，宽为$1-(-2)=3$，矩形面积$S_{\mathrm{矩形}}=2×3=6$。
矩形内三个多余直角三角形的面积分别为：
① 以A、B、$(4,1)$为顶点的三角形：$S_1=\frac{1}{2}×1×2=1$；
② 以B、C、$(4,-2)$为顶点的三角形：$S_2=\frac{1}{2}×2×1=1$；
③ 以A、C、$(2,1)$为顶点的三角形：$S_3=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$；
因此$S_{△ ABC}=S_{\mathrm{矩形}}-S_1-S_2-S_3=6-1-1-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。
(3) 平移操作：
根据平移规则，左移4个单位横坐标减4，上移3个单位纵坐标加3，计算得：
$A_1$横坐标：$3-4=-1$，纵坐标：$1+3=4$，即$A_1(-1,4)$；
$B_1$横坐标：$4-4=0$，纵坐标：$-1+3=2$，即$B_1(0,2)$；
$C_1$横坐标：$2-4=-2$，纵坐标：$-2+3=1$，即$C_1(-2,1)$；
描出$A_1、B_1、C_1$三点，顺次连接得到$△ A_1B_1C_1$（画图略）。
【答案】
(1) 画图见解析；
(2) $△ ABC$的面积为$\frac{5}{2}$；
(3) 画图见解析，$A_1(-1,4)$，$B_1(0,2)$，$C_1(-2,1)$。
【知识点】
坐标系描点、割补法求面积、点的平移规律
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，涵盖描点、面积计算、图形平移三类常见考点，解题关键是熟练掌握点的平移规则和网格图形面积的计算方法，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问描点画图：根据坐标定义，横坐标对应x轴数值，纵坐标对应y轴数值，依次找到A、B、C三点的位置，顺次连接即可得到△ABC。
2. 第(2)问求三角形面积：网格中不规则三角形面积常用割补法求解，先找到能包围△ABC的最小矩形，用矩形面积减去矩形内△ABC周围3个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
3. 第(3)问图形平移：平面直角坐标系中点的平移规律为“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”，将A、B、C三点横坐标都减4、纵坐标都加3，即可得到平移后对应点的坐标，再描点顺次连接得到平移后的图形。
【解析】
(1) 描点操作：在坐标系中找到x=3且y=1的点为A，x=4且y=-1的点为B，x=2且y=-2的点为C，顺次连接A、B、C，即得到△ABC（画图略）。
(2) 面积计算：
包围△ABC的最小矩形横向范围为x=2到x=4，纵向范围为y=-2到y=1，矩形长为$4-2=2$，宽为$1-(-2)=3$，矩形面积$S_{\mathrm{矩形}}=2×3=6$。
矩形内三个多余直角三角形的面积分别为：
① 以A、B、$(4,1)$为顶点的三角形：$S_1=\frac{1}{2}×1×2=1$；
② 以B、C、$(4,-2)$为顶点的三角形：$S_2=\frac{1}{2}×2×1=1$；
③ 以A、C、$(2,1)$为顶点的三角形：$S_3=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$；
因此$S_{△ ABC}=S_{\mathrm{矩形}}-S_1-S_2-S_3=6-1-1-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。
(3) 平移操作：
根据平移规则，左移4个单位横坐标减4，上移3个单位纵坐标加3，计算得：
$A_1$横坐标：$3-4=-1$，纵坐标：$1+3=4$，即$A_1(-1,4)$；
$B_1$横坐标：$4-4=0$，纵坐标：$-1+3=2$，即$B_1(0,2)$；
$C_1$横坐标：$2-4=-2$，纵坐标：$-2+3=1$，即$C_1(-2,1)$；
描出$A_1、B_1、C_1$三点，顺次连接得到$△ A_1B_1C_1$（画图略）。
【答案】
(1) 画图见解析；
(2) $△ ABC$的面积为$\frac{5}{2}$；
(3) 画图见解析，$A_1(-1,4)$，$B_1(0,2)$，$C_1(-2,1)$。
【知识点】
坐标系描点、割补法求面积、点的平移规律
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，涵盖描点、面积计算、图形平移三类常见考点，解题关键是熟练掌握点的平移规则和网格图形面积的计算方法，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
