【例1】计算:(1)$\frac{ax^2}{by} · \frac{b^2y}{ax}$的结果是________;(2)$(a+b) · \frac{1}{a^2 - b^2} = \_\_\_\_\_\_$

(1)$bx$
(2)$\frac{1}{a-b}$

【分析】
本题考查分式的乘法运算，解题思路如下：（1）对于单项式类的分式乘法，先依据分式乘法法则，将分子相乘的积作为新分子、分母相乘的积作为新分母，再约去分子分母的公因式，即可得到最简结果；（2）对于含多项式的分式乘法，先利用因式分解将多项式转化为整式乘积的形式，再找公因式约分，最终得到最简分式。
【解析】
(1) 根据分式乘法法则计算：
原式=$\frac{ax^2 · b^2y}{by · ax}$
分子分母的公因式为$axy$，约去公因式后得：$\frac{bx}{1}=bx$
(2) 先对分母因式分解，再约分：
由平方差公式得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入原式得：
原式=$(a+b) · \frac{1}{(a+b)(a-b)}$
约去公因式$(a+b)$（$a+b≠0$），得：$\frac{1}{a-b}$
【答案】
(1)$bx$；(2)$\frac{1}{a-b}$
【知识点】
分式的乘法运算；平方差公式；约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握分式乘法的运算流程，遇到多项式时优先考虑因式分解再约分，约分要注意找全公因式，确保最终结果为最简整式或分式。
【难度系数】
0.9

练习.计算:
(1)$\dfrac{3x^2 y}{4ab^2} · \dfrac{6a^2 b}{9xy}$；
(2)$\dfrac{7c}{15ab} · \dfrac{-5ab}{14c^2}$；
(3)$\dfrac{x}{x - y} · \dfrac{x^2 - y^2}{x^2}$；
(4)$\dfrac{x + 2}{x - 3} · \dfrac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 4}$。

解:(1)原式=$\frac{ax}{2b}$；
(2)原式=$-\frac{1}{6c}$；
(3)原式=$\frac{x}{x-y} · \frac{(x+y)(x-y)}{x^2}=\frac{x+y}{x}$；
(4)原式=$\frac{x+2}{x-3} · \frac{(x-3)^2}{(x+2)(x-2)}=\frac{x-3}{x-2}$。

【分析】
进行分式乘法运算时可按以下思路解题：① 先观察分子、分母中的代数式，若含有多项式，优先利用因式分解的方法对多项式变形；② 根据分式乘法法则：分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，写出乘积形式；③ 找出分子和分母的所有公因式，约分后将结果化为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 系数与字母分别相乘后约分：
原式=$\dfrac{3x^2 y · 6a^2 b}{4ab^2 · 9xy}=\dfrac{18a^2b x^2 y}{36ab^2 xy}=\dfrac{ax}{2b}$
(2) 先确定符号，再约分计算：
原式=$\dfrac{7c · (-5ab)}{15ab · 14c^2}=-\dfrac{35abc}{210ab c^2}=-\dfrac{1}{6c}$
(3) 先对分子的多项式因式分解，再约分：
原式=$\dfrac{x}{x - y} · \dfrac{(x+y)(x-y)}{x^2}=\dfrac{x · (x+y)(x-y)}{(x-y) · x^2}=\dfrac{x+y}{x}$
(4) 分别对分子、分母的多项式因式分解，再约分：
原式=$\dfrac{x+2}{x-3} · \dfrac{(x-3)^2}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{(x+2) · (x-3)^2}{(x-3) · (x+2)(x-2)}=\dfrac{x-3}{x-2}$
【答案】
(1)$\dfrac{ax}{2b}$；(2)$-\dfrac{1}{6c}$；(3)$\dfrac{x+y}{x}$；(4)$\dfrac{x-3}{x-2}$
【知识点】
分式的乘法；因式分解；约分
【点评】
本题属于分式乘除的基础运算题，解题核心是先将多项式因式分解再约分计算，运算时要注意符号的处理，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8

【例2】计算：
(1)$\frac{ab^2}{2cd} ÷ \frac{-3ab}{4cd} =$ ；
练习.(1)$\frac{x^2 +1}{6 -x} ÷ \frac{x^3 +x}{x^2 -36}$；

(1)$-\frac{2b}{3}$
(2)$a$
练习.解:(1)原式=$\frac{x^2+1}{6-x} · \frac{(x+6)(x-6)}{x(x^2+1)}=-\frac{x+6}{x}$；
(2)原式=$b(a-b) · \frac{a+b}{(a+b)(a-b)}=b$。

【分析】
解决分式乘除运算问题，思路可分为三步：①转化：根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；②分解：对分子、分母中能因式分解的多项式，通过提公因式、公式法（平方差）分解因式；③约分：约掉分子分母的公因式，注意互为相反数的因式约分后要添加负号，最后化简得到最简结果。
【解析】
例2
(1) 首先将除法转化为乘法：
原式$=\frac{ab^2}{2cd} × \frac{4cd}{-3ab}$
约掉分子分母的公因式$a、b、2cd$，可得：
原式$=\frac{b × 2}{-3}=-\frac{2b}{3}$
(2) 将除法转化为乘法：
原式$=\frac{a-1}{a} × \frac{a^2}{a-1}$
约掉公因式$(a-1)、a$，可得：
原式$=a$
练习
(1) 第一步转化为乘法，再对多项式因式分解：
原式$=\frac{x^2+1}{6-x} × \frac{x^2-36}{x^3+x}$
其中$x^2-36=(x+6)(x-6)$，$x^3+x=x(x^2+1)$，且$6-x=-(x-6)$，代入得：
原式$=\frac{x^2+1}{-(x-6)} × \frac{(x+6)(x-6)}{x(x^2+1)}$
约掉公因式$(x^2+1)、(x-6)$，可得：
原式$=-\frac{x+6}{x}$
(2) 转化为乘法后因式分解：
原式$=(ab-b^2) × \frac{a+b}{a^2-b^2}$
其中$ab-b^2=b(a-b)$，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入得：
原式$=b(a-b) × \frac{a+b}{(a+b)(a-b)}$
约掉公因式$(a-b)、(a+b)$，可得：
原式$=b$
【答案】
例2(1) $\boldsymbol{-\frac{2b}{3}}$；(2) $\boldsymbol{a}$；
练习(1) $\boldsymbol{-\frac{x+6}{x}}$；(2) $\boldsymbol{b}$
【知识点】
分式乘除法则，因式分解，分式约分
【点评】
这类题是分式运算的常规基础题，掌握“除化乘、先分解、再约分”的步骤即可解决，计算时需重点注意互为相反数的因式约分后的符号问题，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7

【例3】如图1是边长为$(a-b)$的正方形，图2是长为$4a$，宽为$b$的长方形，图3是长为$4(a+b)$的长方形，其面积为前两图的面积和，求图3的宽。

解:$S_1=(a-b)^2$,$S_2=4ab$,
$\therefore (a-b)^2+4ab=x · 4(a+b)$,
$x=\frac{(a-b)^2+4ab}{4(a+b)}=\frac{a+b}{4}$。

【分析】
解题时首先明确核心等量关系：图3的面积等于图1与图2的面积之和。第一步根据正方形、长方形的面积公式分别计算$S_1$、$S_2$的面积；第二步结合面积和的关系列出关于$x$的等式；第三步先化简整式部分，再通过分式约分求出$x$的值，注意边长为正数，$a+b≠0$可直接约分。
【解析】
1. 计算图1、图2的面积：
图1是边长为$(a-b)$的正方形，因此$S_1=(a-b)^2$；
图2是长为$4a$、宽为$b$的长方形，因此$S_2=4a· b=4ab$。
2. 根据题意列等式：
图3的面积等于$S_1+S_2$，且图3长为$4(a+b)$、宽为$x$，因此：
$4(a+b)· x=(a-b)^2+4ab$
3. 化简求解$x$：
先展开并化简右侧整式：
$(a-b)^2+4ab=a^2-2ab+b^2+4ab=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
结合$a+b＞0$的隐含条件，将分式约分可得：
$x=\frac{(a+b)^2}{4(a+b)}=\frac{a+b}{4}$
【答案】
$\frac{a+b}{4}$
【知识点】
面积公式应用；完全平方公式；分式约分
【点评】
本题结合几何面积计算和代数运算，综合考查了整式化简、分式运算的能力，解题时需注意正确运用完全平方公式，结合图形边长为正的隐含条件合理约分。
【难度系数】
0.7