疑难点拨
已知点 P 为平面内一点,若点 P 到$\odot O$上的点的最长距离为5,最短距离为1,则$\odot O$的半径为.
点拨 思考问题不全面,出现漏解,可能在圆内,点P也可能在圆外.

【疑难点拨】 3或2

【分析】首先需明确点P与⊙O的位置关系有两种：点在圆内、点在圆外。当点P在圆内时，点到圆上点的最长距离与最短距离之和等于⊙O的直径；当点P在圆外时，点到圆上点的最长距离与最短距离之差等于⊙O的直径。结合直径与半径的关系（半径=直径÷2），分情况计算即可，需避免漏解。
【解析】分两种情况讨论：
1. 若点P在⊙O内，则⊙O的直径为最长距离与最短距离之和，即5+1=6，因此半径为6÷2=3；
2. 若点P在⊙O外，则⊙O的直径为最长距离与最短距离之差，即5-1=4，因此半径为4÷2=2；
综上，⊙O的半径为3或2。
【答案】3或2
【知识点】点与圆的位置关系、圆的直径与半径
【点评】本题考查点与圆的位置关系，核心是需全面考虑点在圆内、圆外两种位置情况，避免漏解，属于基础易错题，需注意分类讨论思想的应用。
【难度系数】0.5

1. 下列条件中,能确定圆的是 ()

A.以已知点O为圆心画圆
B.以1 cm为半径画圆
C.经过已知点A,且以2 cm为半径画圆
D.以已知点O为圆心,1 cm为半径画圆

1. D

【分析】
要确定一个唯一的圆，必须同时具备两个条件：一是确定圆心（决定圆的位置），二是确定半径（决定圆的大小），二者缺一不可。逐一分析选项：A仅确定圆心，半径未知；B仅确定半径，圆心未知；C仅确定半径，圆心不唯一；D同时确定圆心和半径，可确定唯一圆。
【解析】
根据圆的确定条件，圆心和半径都确定时才能确定唯一的圆。对各选项分析：
A选项：只有圆心O，半径不确定，无法确定唯一圆，排除；
B选项：只有半径1cm，圆心不确定，无法确定唯一圆，排除；
C选项：只有半径2cm，圆心为到点A距离2cm的所有点，无法确定唯一圆，排除；
D选项：圆心O确定，半径1cm确定，能确定唯一圆，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
圆的确定条件
【点评】
本题考查圆的确定的基础概念，核心是明确确定圆需圆心和半径两个要素，属于基础题，难度较低。
【难度系数】
0.8

2. 与已知点A的距离为3 cm的点所组成的平面图形是.

2. 以点A为圆心,3 cm为半径的圆

【分析】要解决本题，需依据平面几何中圆的定义来思考：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。题目中定点是点A，定长为3cm，因此所有满足到点A距离为3cm的点，就构成了对应的平面图形。
【解析】根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点称为圆心，定长称为半径。本题中，定点是点A，定长是3cm，所以与点A距离为3cm的点组成的平面图形是以点A为圆心，3cm为半径的圆。
【答案】以点A为圆心,3 cm为半径的圆
【知识点】圆的定义
【点评】本题直接考查圆的基础定义，属于几何概念类基础题，只要牢记圆的定义就能轻松解答，难度较低。
【难度系数】0.8

3. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ BCD$为钝角,$AE⊥ BC$,$AF⊥ CD$,垂足分别为E、F,连接BD.求证:A、E、C、F四点共圆.

证明：连接AC，取AC的中点O，连接OE、OF。
∵AE⊥BC，
∴△AEC是直角三角形。
∵O是AC的中点，
∴OE=OA=OC=$\frac{1}{2}$AC。
同理，∵AF⊥CD，△AFC是直角三角形，
∴OF=OA=OC=$\frac{1}{2}$AC。
∴OA=OE=OC=OF。
根据圆的定义，点A、E、C、F到定点O的距离都等于定长$\frac{1}{2}$AC，
∴A、E、C、F四点共圆。

【分析】要证明A、E、C、F四点共圆，可依据圆的定义，证明这四个点到同一个定点的距离相等。观察图形，AE⊥BC、AF⊥CD，可知△AEC和△AFC均为直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，取AC的中点，连接相关线段，即可得到四个点到该中点的距离相等，进而完成证明。
【解析】证明：连接AC，取AC的中点O，连接OE、OF。
∵AE⊥BC，
∴△AEC是直角三角形。
∵O是AC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，得OE = OA = OC = $\frac{1}{2}$AC。
同理，
∵AF⊥CD，
∴△AFC是直角三角形，O是AC的中点，得OF = OA = OC = $\frac{1}{2}$AC。
∴OA = OE = OC = OF，即点A、E、C、F到定点O的距离都等于定长$\frac{1}{2}$AC。
根据圆的定义，A、E、C、F四点共圆。
【答案】A、E、C、F四点共圆，证明如上。
【知识点】四点共圆的判定，直角三角形斜边中线性质
【点评】本题通过直角三角形斜边中线的性质，结合圆的定义证明四点共圆，核心是找到合适的定点转化几何关系，是几何证明中常用的思路，需要学生掌握直角三角形的性质和四点共圆的判定方法。
【难度系数】0.5

4. 如图,已知点P、Q,且$PQ=3$ cm.请在如图所示方格纸上画出图形,并用阴影部分将图形表示出来.(注:方格纸中每格长度代表1 cm,不要求写作法)
画图要求如下:到点P的距离小于或等于2 cm,且到点Q的距离小于或等于5 cm的点的集合.

4. 解:如图所示:(阴影部分含边界),

【分析】要画出满足条件的图形，需先明确平面内点的集合对应的几何图形：到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，距离小于或等于定长则是该圆及其内部。因此，所求点的集合是“到点P距离≤2cm”和“到点Q距离≤5cm”的两个区域的公共部分，也就是分别以P、Q为圆心，半径2cm、5cm的两个圆的重叠区域（包含边界），据此即可画出阴影部分。
【解析】1. 确定两个区域：以点P为圆心，2cm为半径作圆，圆及其内部就是到点P距离≤2cm的点的集合；以点Q为圆心，5cm为半径作圆，圆及其内部就是到点Q距离≤5cm的点的集合。2. 取两个区域的公共部分，即为满足条件的点的集合，用阴影表示该公共区域（包含边界）。
【答案】如图所示（阴影部分为两圆重叠区域，含边界），
【知识点】圆的轨迹、平面点的集合
【点评】本题考查圆的轨迹的概念应用，核心是理解“距离≤定长”对应的图形，找到两个区域的交集即可，属于基础几何作图题，难度适中。
【难度系数】0.5