5. (1) 一个直角三角形的三个顶点在同一个圆上吗?

如图1,在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$∠ BAD=90°$,$O$为$BD$的中点,求证:A、B、D三点在以点O为圆心的同一个圆上.
(2) 拥有公共斜边的两个直角三角形所有的顶点在同一个圆上吗?
如图2,在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$O$为$BD$的中点,求证:点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.

5. (1)证明略 (2)证明略

【分析】要证明点在同一个圆上，核心是证明这些点到同一个定点的距离相等。对于（1），利用直角三角形斜边中线定理，可得直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等；对于（2），分别对两个直角三角形应用斜边中线定理，得到公共斜边的中点到四个顶点的距离都相等，从而证明四点共圆。
【解析】
（1）证明：在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD=90°$，$O$为$BD$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：
$OA=\frac{1}{2}BD$，$OB=\frac{1}{2}BD$，$OD=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore OA=OB=OD$，
$\therefore$ A、B、D三点在以点O为圆心，$\frac{1}{2}BD$为半径的同一个圆上。
（2）证明：在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD=90°$，$O$为$BD$的中点，同理得：
$OA=OB=OD=\frac{1}{2}BD$；
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，$O$为$BD$的中点，同理得：
$OC=OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore OA=OB=OC=OD$，
$\therefore$ 点A、B、C、D在以点O为圆心，$\frac{1}{2}BD$为半径的同一个圆上。
【答案】
（1）A、B、D三点在以O为圆心的同一个圆上；（2）点A、B、C、D在以O为圆心的同一个圆上。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，圆的定义
【点评】
本题通过直角三角形的性质和圆的定义证明点共圆，属于基础几何证明题，关键是掌握直角三角形斜边中线的性质，理解“到定点距离相等的点在同一个圆上”这一圆的判定逻辑。
【难度系数】
0.6

6. 如图,A是半径为3的$\odot O$上的一个动点,点O到直线MN的距离为4,P是MN上一个动点.在运动过程中,若$∠ POA=90°$,则线段PA长的最小值是.

6. 5

【分析】
要解决这个问题，首先根据∠POA=90°，OA是⊙O的半径，可知△POA为直角三角形，利用勾股定理可建立PA与OP的关系，即PA=√(OA² + OP²)。要使PA最小，需找到OP的最小值，而P是直线MN上的动点，根据“垂线段最短”，OP的最小值等于点O到直线MN的距离，代入计算即可得到PA的最小值。
【解析】
∵ ∠POA=90°，OA=3（⊙O的半径），
∴ 在Rt△POA中，由勾股定理得：
PA = √(OA² + OP²) = √(3² + OP²) = √(9 + OP²)。
∵ P是MN上的动点，根据“垂线段最短”，点O到直线MN的距离为4，
∴ OP的最小值为4。
当OP=4时，PA取得最小值，此时：
PA = √(9 + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理、垂线段最短、点到直线的距离
【点评】
本题结合直角三角形的勾股定理与点到直线的距离的性质，将求PA的最小值转化为求OP的最小值，属于基础几何最值问题，思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5

7. 如图,OA是$\odot O$的半径,B为OA上一点(且不与点O、A重合),过点B作OA的垂线交$\odot O$于点C,以OB、BC为邻边作矩形OBCD,连接BD.若$BD=10$,$BC=8$,则AB的长为.

7. 4

【分析】
首先利用矩形对角线相等的性质，得到圆的半径长度；再结合勾股定理求出OB的长度；最后用半径OA减去OB，即可算出AB的长。
【解析】
1. 因为四边形OBCD是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得BD=OC。已知BD=10，所以OC=10。
2. 由于OA是⊙O的半径，因此OA=OC=10。
3. 在Rt△OBC中，∠OBC=90°，BC=8，OC=10，根据勾股定理：$OB^2 + BC^2 = OC^2$，代入数值计算：$OB^2 + 8^2 = 10^2$，即$OB^2 = 100 - 64 = 36$，解得OB=6（线段长度为正）。
4. 因为OA=10，OB=6，所以AB=OA - OB=10 - 6=4。
【答案】
4
【知识点】
矩形性质、勾股定理、圆的半径
【点评】
本题结合矩形性质、勾股定理与圆的半径概念，解题核心是利用矩形对角线相等得到圆的半径，再通过勾股定理计算线段长度，属于基础几何综合题，难度适中。
【难度系数】
0.4

8. 如图,点A,B,C都在$\odot O$上,且$AB// OC$,$BC// OA$.

(1) 求证:四边形ABCO是菱形;
(2) 求$∠ AOC$的度数.

8. (1)证明:
∵AB//OC,BC//OA,
∴四边形OABC是平行四边形.又
∵点A,B,C都在⊙O上,
∴四边形OABC是菱形;
(2)解:连接OB,
∵四边形OABC是菱形,
∴易得△OBC是等边三角形,
∴∠BOC=60°,
∴∠AOC=120°.

【分析】
(1) 要证明四边形ABCO是菱形，先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，结合已知AB//OC、BC//OA，判定四边形ABCO为平行四边形；再利用“同圆的半径相等”得OA=OC，依据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明。
(2) 求∠AOC的度数，连接OB，利用菱形的性质得OC=BC，结合圆的半径相等（OB=OC），推出△OBC是等边三角形，得到∠BOC=60°；同理可得△OAB是等边三角形，∠AOB=60°，进而计算出∠AOC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB//OC，BC//OA，
∴ 四边形ABCO是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
又
∵ 点A、B、C都在⊙O上，
∴ OA=OC（同圆的半径相等），
∴ 平行四边形ABCO是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
(2) 解：连接OB，
∵ 四边形ABCO是菱形，
∴ OC=BC（菱形的四条边相等）。
又
∵ OB是⊙O的半径，
∴ OB=OC，
∴ OB=OC=BC，
∴ △OBC是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），
∴ ∠BOC=60°。
同理，OA=AB=OB，△OAB是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°，
∴ ∠AOC=∠AOB + ∠BOC=60°+60°=120°。
【答案】
(1) 四边形ABCO是菱形；(2) ∠AOC=120°
【知识点】
菱形的判定，等边三角形的判定，圆的半径性质
【点评】
本题结合平行四边形、菱形、等边三角形的判定与圆的基本性质，考查几何证明与角度计算，需熟练掌握相关定理，通过逻辑推导即可完成，属于基础几何题。
【难度系数】
0.6

9. 如图,AC是$\odot O$的直径,点B在$\odot O$上(不与点A、C重合),点D在AC的延长线上,连接BD交$\odot O$于点E,$∠ AOB=3∠ D$.求证:$DE=OB$.

证明：
连接OE，
∵ OB、OE是$\odot O$的半径，
∴ OB=OE，
∴ ∠OBE=∠OEB。
∵ ∠AOB是△BOD的外角，
∴ ∠AOB=∠OBE+∠D，
又∵ ∠AOB=3∠D，
∴ 3∠D=∠OBE+∠D，
∴ ∠OBE=2∠D。
∵ ∠OEB是△DOE的外角，
∴ ∠OEB=∠D+∠DOE，
又∵ ∠OEB=∠OBE=2∠D，
∴ 2∠D=∠D+∠DOE，
∴ ∠DOE=∠D，
∴ DE=OE。
∵ OE=OB，
∴ DE=OB。

【分析】
要证明$DE=OB$，已知$OB$是$\odot O$的半径，因此连接同圆半径$OE$，可得$OE=OB$，只需证明$DE=OE$，转化为证明$∠ DOE=∠ D$。利用三角形外角的性质，结合已知$∠ AOB=3∠ D$，逐步推导角度关系，即可完成证明。
【解析】
连接$OE$，
$\because OB$、$OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore OB=OE$，
$\therefore ∠ OBE=∠ OEB$。
$\because ∠ AOB$是$△ BOD$的外角，根据三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
$\therefore ∠ AOB=∠ OBE+∠ D$，
又$\because ∠ AOB=3∠ D$，
$\therefore 3∠ D=∠ OBE+∠ D$，
整理得$∠ OBE=2∠ D$。
$\because ∠ OEB$是$△ DOE$的外角，同理可得：
$∠ OEB=∠ D+∠ DOE$，
又$\because ∠ OEB=∠ OBE=2∠ D$，
$\therefore 2∠ D=∠ D+∠ DOE$，
解得$∠ DOE=∠ D$，
根据等腰三角形“等角对等边”的判定，可得$DE=OE$，
又$\because OE=OB$，
$\therefore DE=OB$。
【答案】
$DE=OB$
【知识点】
圆的半径性质、三角形外角性质、等腰三角形判定
【点评】
本题通过连接同圆半径构造等腰三角形，利用外角性质转化角度关系，是圆中证明线段相等的典型题型，核心是合理添加辅助线，将待证线段转化为易证的等线段。
【难度系数】
0.6