14. 用$2$辆 A 型车和$3$辆 B 型车载满货物一次可运货$18$t；用$1$辆 A 型车和$2$辆 B 型车载满货物一次可运货$11$t。某物流公司现有$27$t 货物，计划两种车型都要租，其中 A 型车$a$辆，B 型车$b$辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物。
(1) 用$1$辆 A 型车和$1$辆车 B 型车都载满货物，一次可分别运货多少吨？
(2) 若 A 型车每辆需租金$100$元/次，B 型车每辆需租金$120$元/次，请你帮物流公司设计一种租车方案，并求出此时的租车费用。

14. (1)设1辆A型车载满货物一次可运货xt,1辆B型车载满货物一次可运货yt.根据题意,得$\{\begin{array}{l} 2x+3y=18,\\ x+2y=11,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=4.\end{array} $答:1辆A型车载满货物一次可运货3t,1辆B型车载满货物一次可运货4t. (2)根据题意,得$3a+4b=27$,整理,得$a=9-\frac {4}{3}b.\because a$、b均为正整数,$\therefore \{\begin{array}{l} a=5,\\ b=3\end{array} $或$\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=6,\end{array} $$\therefore $当$a=5,b=3$时,租车费用为$100×5+120×3=860$(元);当$a=1,b=6$时,租车费用为$100×1+120×6=820$(元).$\because 860＞820,\therefore $公司租用1辆A型车,6辆B型车时,租车费用最少,为820元,$\therefore $给物流公司设计的租车方案为:租用1辆A型车、6辆B型车,此时租车费用为820元.

1. (2025·宜宾)我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊各直金几何？”大意是：已知$5$头牛、$2$只羊共值金$10$两；$2$头牛、$5$只羊共值金$8$两，问：每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金$x$两和$y$两，列出方程组应为()

A.$\begin{cases}5x + 2y = 10,\\2x + 5y = 8\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x + 2y = 8,\\2x + 5y = 10\end{cases}$
C.$\begin{cases}5x - 2y = 10,\\2x + 5y = 8\end{cases}$
D.$\begin{cases}5x + 2y = 10,\\2x - 5y = 8\end{cases}$

1. A

2. (2025·齐齐哈尔)神舟二十号发射时间恰逢第十个“中国航天日”。为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织$900$名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用$45$座和$60$座两种客车(两种客车都要租)。若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有()

A.$3$种
B.$4$种
C.$5$种
D.$6$种

2. B 解析:设租用45座客车x辆,60座客车y辆.根据题意,得$45x+60y=900$,整理,得$x=20-\frac {4}{3}y.\because x$、y均为正整数,$\therefore \{\begin{array}{l} x=16,\\ y=3\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=12,\\ y=6\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=8,\\ y=9\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=4,\\ y=12,\end{array} $$\therefore $租车方案有4种.

3. (2025·自贡)某小区人行道地砖铺设图案如图所示。用$10$块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形，若大平行四边形短边长$40$cm，则小地砖短边长为()


A.$7$cm
B.$8$cm
C.$9$cm
D.$10$cm

3. B 解析:设小地砖的长边长为xcm,短边长为ycm.根据题意,得$\{\begin{array}{l} x+y=40,\\ 2x=x+4y,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=32,\\ y=8,\end{array} $即小地砖短边长为8cm.

4. (2025·泸州)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，其中“方程”章记载了求不定方程(组)解的问题，例如：方程$x + 2y = 3$恰有一组正整数解$\begin{cases}x = 1,\\y = 1.\end{cases}$与之相类似，方程$2x + 3y = 21$的正整数解有( )

A.$1$组
B.$2$组
C.$3$组
D.$4$组

4. C 解析:方程$2x+3y=21$的正整数解有$\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=5,\end{array} $$\{\begin{array}{l} x=6,\\ y=3,\end{array} $$\{\begin{array}{l} x=9,\\ y=1,\end{array} $共3组.

5. (2025·河北)甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为$a$、$b$。如图，将甲纸条的$\dfrac{1}{3}$与乙纸条的$\dfrac{2}{5}$叠合在一起，形成长为$81$的纸条，则$a + b =$。

5. 99 解析:根据题意,得$\{\begin{array}{l} \frac {1}{3}a=\frac {2}{5}b,\\ (1-\frac {1}{3})a+b=81,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=54,\\ b=45,\end{array} $$\therefore a+b=99$.