8. 下列关于代数式 $4x+2y$ 的意义,叙述正确的是.(填序号)
①$x$ 的 4 倍与 $y$ 的 2 倍的和是 $4x+2y$; ②小明以 $x$ 米/分的速度跑了 4 分钟,再以 $y$ 米/分的速度步行了 2 分钟,小明一共走了 $(4x+2y)$ 米; ③苹果每千克 $x$ 元,橘子每千克 $y$ 元,买 4 千克苹果,2 千克橘子一共花费 $(4x+2y)$ 元.

8.①②③

【分析】
要判断关于代数式$4x + 2y$的意义叙述是否正确，需逐个分析每个选项的实际情境，验证其是否能对应代数式“4倍的$x$与2倍的$y$的和”的结构，结合具体数量关系判断叙述的合理性。
【解析】
1. 对于①：$x$的4倍可表示为$4x$，$y$的2倍可表示为$2y$，两者的和即为$4x + 2y$，该叙述正确；
2. 对于②：根据“路程=速度×时间”，小明跑的路程为$4 × x = 4x$米，步行的路程为$2 × y = 2y$米，总路程为$4x + 2y$米，该叙述正确；
3. 对于③：根据“总价=单价×数量”，买4千克苹果花费$4 × x = 4x$元，买2千克橘子花费$2 × y = 2y$元，总花费为$4x + 2y$元，该叙述正确；
综上，三个叙述均正确。
【答案】
①②③
【知识点】
代数式的意义、列代数式
【点评】
本题考查代数式的实际意义，要求学生结合具体情境理解代数式对应的数量关系，属于基础概念题，侧重对代数式基本含义的掌握。
【难度系数】
0.8

9. 某件商品八折降价销售后，每件商品的售价为$a$元，则该商品每件的原价为元.

9.$1.25a$

【分析】首先明确“八折”的含义是按原价的80%（即0.8）销售，已知打折后的售价为a元，根据“原价×折扣=售价”的数量关系，通过售价除以折扣即可求出原价，据此建立等式求解。
【解析】设该商品每件的原价为$x$元，八折对应原价的80%，可列方程：$0.8x = a$，解得$x = a÷0.8 = 1.25a$。
【答案】$1.25a$
【知识点】一元一次方程应用、折扣问题
【点评】本题为基础折扣应用题，核心是掌握原价、售价与折扣的数量关系，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8

10. (1)一个长方形的周长为 30,一边长为 $a$,则这个长方形的面积为;
(2)如图是一块长为 30 m,宽为 20 m 的长方形草地,中间有两条宽度都为 $x$ m 的小路,则草地(阴影部分)的面积为 $\mathrm{m}^2$.

10.(1)$a(15-a)$ (2)$(30-x)(20-x)$

【分析】
第(1)问：根据长方形周长公式先求出未知边长，再结合长方形面积公式计算面积；第(2)问：利用平移法将分散的阴影部分拼接成新的长方形，通过新长方形的长和宽计算草地面积。
【解析】
(1) 长方形周长公式为：周长$=2×(长+宽)$，已知周长为30，一边长为$a$，则另一边长为$\frac{30}{2}-a=15-a$，因此长方形面积为$长×宽=a(15-a)$。
(2) 将阴影部分向中间平移，可拼接成一个新长方形，新长方形的长为原长减去小路宽度，即$(30-x)\ \mathrm{m}$，宽为原宽减去小路宽度，即$(20-x)\ \mathrm{m}$，因此草地面积为$(30-x)(20-x)\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1)$a(15-a)$；(2)$(30-x)(20-x)$
【知识点】
长方形周长公式、长方形面积公式、平移法求面积
【点评】
本题是基础应用题，考查长方形周长与面积的应用，第(2)问通过平移法简化计算，避免了复杂的面积拆分运算，需掌握图形变换的解题技巧。
【难度系数】
0.6

11. 观察:第1个等式为$1× 3=2^{2}-1$,第2个等式为$3× 5=4^{2}-1$,第3个等式为$5× 7=6^{2}-1$,第4个等式为$7× 9=8^{2}-1$,$···$,猜想:第$n$个等式是.

11.$(2n-1)(2n+1)=(2n)^2-1$

【分析】首先观察给出的前4个等式，分别梳理等式左右两边的数与序号n的对应关系：第1个等式对应n=1，左边两个因数为1和3，可表示为2×1-1和2×1+1；右边为2²-1，2是2×1。同理，第2个等式对应n=2，左边因数为2×2-1=3和2×2+1=5，右边为(2×2)²-1=4²-1。以此类推，可归纳出第n个等式的左右两边表达式。
【解析】解：对已知等式逐一分析：
当n=1时，左边=(2×1-1)(2×1+1)=1×3，右边=(2×1)²-1=2²-1，符合已知等式；
当n=2时，左边=(2×2-1)(2×2+1)=3×5，右边=(2×2)²-1=4²-1，符合已知等式；
当n=3时，左边=(2×3-1)(2×3+1)=5×7，右边=(2×3)²-1=6²-1，符合已知等式；
当n=4时，左边=(2×4-1)(2×4+1)=7×9，右边=(2×4)²-1=8²-1，符合已知等式；
因此，第n个等式为(2n-1)(2n+1)=(2n)²-1。
【答案】(2n-1)(2n+1)=(2n)²-1
【知识点】代数式规律探究
【点评】本题是典型的代数规律探究题，通过观察已知等式的数字特征，对应序号n总结表达式，考查学生的观察归纳能力，难度适中。
【难度系数】0.6

12. (1)如图①是长为$a$,宽为$b$的长方形地块,求阴影部分的面积;
(2)有长为$l$的篱笆,利用它和房屋的一面墙(墙足够长)围成如图②所示的长方形园子,园子的宽为$t$,求所围成园子的面积.

12.解:(1)$ab-\dfrac{1}{4}π b^2$.(2)$t(l-2t)$.

【分析】
第(1)问：观察图①，阴影部分是长为a、宽为b的长方形减去两个直径为b的半圆，两个半圆可拼成一个完整的圆，因此只需计算长方形面积与该圆面积的差，即可得到阴影部分面积。
第(2)问：图②中利用墙作为长方形的一边，篱笆仅围长方形的另外三边（两个宽和一个长），已知篱笆总长为l、宽为t，先求出长方形的长，再根据长方形面积公式计算园子面积。
【解析】
(1) 长方形面积为：$a×b = ab$；
两个半圆的直径均为b，故半径为$\frac{b}{2}$，两个半圆合起来的面积等于整圆面积：$π×(\frac{b}{2})^2 = \frac{1}{4}πb^2$；
因此阴影部分面积为：$ab - \frac{1}{4}πb^2$。
(2) 由图②可知，篱笆围的是长方形的2个宽和1个长，篱笆总长为l，宽为t，故长方形的长为：$l - 2t$；
根据长方形面积公式，园子面积为：$t×(l - 2t) = t(l - 2t)$。
【答案】
(1) $ab - \frac{1}{4}πb^2$；(2) $t(l - 2t)$
【知识点】
长方形面积、圆的面积、整式运算
【点评】
本题考查组合图形面积的计算，核心是将不规则图形转化为规则图形的面积和差，同时结合实际场景分析边长关系，难度适中。
【难度系数】
0.3

13. (2024·南京期中)观察下列等式：
①$3× (1× 2+2× 3+3× 4)=3× 4× 5$；
②$3× (1× 2+2× 3+3× 4+4× 5)=4× 5× 6$；
③$3× (1× 2+2× 3+3× 4+4× 5+5× 6)=5× 6× 7······$
(1)$3× (1× 2+2× 3+3× 4+4× 5+5× 6+···+99× 100)=$；
(2)写出第$n$个等式：；
(3)下列与计算$(11× 12+12× 13+···+18× 19+19× 20)× 3$的结果相等的算式是（）
A.$19× 20× 21-9× 10× 11$
B.$19× 20× 21-10× 11× 12$
C.$18× 19× 20-9× 10× 11$
D.$18× 19× 20-10× 11× 12$

13.(1)$99×100×101$
(2)$3×[1×2+2×3+3×4+…+(n+1)(n+2)+(n+2)·(n+3)]=(n+2)(n+3)(n+4)$
(3)B

【分析】
首先观察给出的3个等式，寻找规律：等式左边是3乘以从1×2开始的连续相邻两数乘积的和，等式右边是最后一项中两个乘数分别加1、加2后的三个连续数的乘积。具体规律为：若括号内最后一项为$m(m+1)$，则$3×[1×2 + 2×3 + ... + m(m+1)] = m(m+1)(m+2)$。利用该规律可解决三个问题：(1)直接找到对应$m$值计算；(2)根据序号与$m$的关系写出第$n$个等式；(3)将所求式子转化为符合规律的形式，通过拆分求和计算结果，匹配选项。
【解析】
(1) 由等式规律可知：当括号内最后一项为$m(m+1)$时，$3×[1×2 + 2×3 + ... + m(m+1)] = m(m+1)(m+2)$。本题括号内最后一项为$99×100$，即$m=99$，代入得结果为$99×100×101$。
(2) 第$n$个等式中，对应$m = n+2$（验证：$n=1$时$m=3$，符合①；$n=2$时$m=4$，符合②），因此等式为$3×[1×2 + 2×3 + ... + (n+2)(n+3)] = (n+2)(n+3)(n+4)$。
(3) 所求式子为$3×(11×12 +12×13 +...+19×20)$，根据规律，$3×(1×2 + ... +19×20)=19×20×21$，$3×(1×2 + ... +10×11)=10×11×12$，因此原式$=3×[(1×2+...+19×20)-(1×2+...+10×11)] =19×20×21 -10×11×12$，对应选项B。
【答案】
(1)$99×100×101$；(2)$3×[1×2+2×3+3×4+…+(n+2)(n+3)]=(n+2)(n+3)(n+4)$；(3)B
【知识点】
规律探索、整式运算
【点评】
本题通过观察等式的数字规律总结通用公式，再利用公式解决具体问题，关键在于准确发现等式左右两边的对应关系，第(3)问需将所求和拆分为两个符合规律的和的差，简化计算。
【难度系数】
0.5