23.如图，点D,E,F分别是三角形ABC的边AB,AC,BC上的点，有下列三个条件：
①DE//BC；②DF//AC；③∠1=∠C.
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题；
(2)判断上面所写命题是否为真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明.

(1)可以组成三个命题，
(ⅰ)如果①$DE//BC$,②$DF//AC$,那么③$∠1=∠C$.
(ⅱ)如果①$DE//BC$,③$∠1=∠C$,那么②$DF//AC$.
(ⅲ)如果②$DF//AC$,③$∠1=∠C$,那么①$DE//BC$.
(2)上述的三个命题都是真命题,证明如下:
(ⅰ)
∵$DE//BC$,
∴$∠C+∠DEC=180°$.
又
∵$DF//AC$,
∴$∠1+∠DEC=180°$,
∴$∠1=∠C$.
(ⅱ)
∵$DE//BC$,
∴$∠C+∠DEC=180°$.
∵$∠1=∠C$,
∴$∠1+∠DEC=180°$,
∴$DF//AC$.
(ⅲ)
∵$DF//AC$,
∴$∠1+∠DEC=180°$.
∵$∠1=∠C$,
∴$∠C+∠DEC=180°$,
∴$DE//BC$.

【分析】
(1) 命题由题设和结论两部分组成，要写出所有符合要求的命题，只需从3个条件中任选2个作为题设，剩余1个作为结论，按“如果+题设，那么+结论”的格式组合即可。
(2) 判断命题真假并证明时，结合平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）和平行线的判定定理（同旁内角互补，两直线平行），通过角的等量代换即可推导结论是否成立。
【解析】
(1) 一共可以组成3个命题：
(ⅰ) 如果①$DE// BC$，②$DF// AC$，那么③$∠1=∠ C$；
(ⅱ) 如果①$DE// BC$，③$∠1=∠ C$，那么②$DF// AC$；
(ⅲ) 如果②$DF// AC$，③$∠1=∠ C$，那么①$DE// BC$。
(2) 上述三个命题都是真命题，以命题(ⅰ)为例证明：
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ C+∠ DEC=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because DF// AC$，
$\therefore ∠1+∠ DEC=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠1=∠ C$（同角的补角相等）。
（其余两个命题证明思路类似）
【答案】
(1) 可组成三个命题：
(ⅰ) 如果①$DE//BC$,②$DF//AC$,那么③$∠1=∠ C$；
(ⅱ) 如果①$DE//BC$,③$∠1=∠ C$,那么②$DF//AC$；
(ⅲ) 如果②$DF//AC$,③$∠1=∠ C$,那么①$DE//BC$。
(2) 三个命题均为真命题，以命题(ⅰ)为例证明：
$\because DE//BC$，
$\therefore ∠ C+∠ DEC=180°$，
又$\because DF//AC$，
$\therefore ∠1+∠ DEC=180°$，
$\therefore ∠1=∠ C$。
【知识点】
命题的组成；平行线的性质；平行线的判定
【点评】
本题考查命题的构造以及平行线性质与判定的综合运用，解题核心是熟练掌握平行线的性质和判定规则，能灵活转换直线位置关系和角的数量关系。
【难度系数】
0.8

24.某校决定组织学生开展校外拓展活动，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生。现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示。学校计划此次拓展活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师。

(1)参加此次拓展活动的老师有多少人？参加此次拓展活动的学生有多少人？
(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为多少辆？
(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由。

(1)设老师有$x$人,学生有$y$人,
依题意,得$\begin{cases} 17x=y-12, \\ 18x=y+4, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=16, \\ y=284, \end{cases}$
即参加此次拓展活动的老师有16人,学生有284人.
(2)
∵每辆客车上至少要有2名老师，
∴汽车总数不能超过8辆.
又要保证300名师生有车坐,汽车总数不能小于$\frac{300}{42}=\frac{50}{7}$(取整为8辆),
综合起来可知汽车总数为8辆.
(3)设租$a$辆甲种客车,由题意可得
$\begin{cases} 300a+400(8-a)≤3100, \\ 30a+42(8-a)≥300, \end{cases}$
解得$1≤a≤3$($a$为整数),
∴共有3种租车方案:
方案一:租用甲种客车3辆,乙种客车5辆,租车费用2900元;
方案二:租用甲种客车2辆,乙种客车6辆,租车费用3000元;
方案三:租用甲种客车1辆,乙种客车7辆,租车费用3100元.
∴最节省费用的租车方案是租用甲种客车3辆,乙种客车5辆.

【分析】
（1）第一问可通过寻找等量关系列二元一次方程组求解：两个等量关系分别为“老师人数×17 + 剩余12名学生=学生总人数”、“老师人数×18 - 少带的4名学生=学生总人数”，设老师、学生人数为未知数列方程组即可求解。
（2）第二问需要同时满足两个约束条件：一是每辆车至少2名老师，结合总老师数可求出租车总数的最大值；二是所有师生都有座位，用载客量最大的乙种客车可求出租车总数的最小值，两者结合即可确定租车总数。
（3）第三问设甲种客车租用数量为未知数，根据“总费用不超过3100元”、“总载客量不少于师生总人数”列一元一次不等式组，求出未知数的整数取值，即可得到所有租车方案，再分别计算各方案的费用，对比选出最省钱的方案即可。
【解析】
(1) 设参加此次拓展活动的老师有$x$人，学生有$y$人，依题意得：
$\begin{cases} 17x=y-12 \\ 18x=y+4 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$x=16$，将$x=16$代入$17x=y-12$，解得$y=284$。
(2) 师生总人数为$16+284=300$人。
因为每辆客车上至少要有2名老师，所以租车总数最多为$\frac{16}{2}=8$辆；
要保证所有师生有车坐，若全部使用载客量最大的乙种客车，最少需要$\frac{300}{42}=\frac{50}{7}\approx7.14$辆，车辆数为正整数，因此最少需要8辆。
综上可得租用客车总数为8辆。
(3) 设租用甲种客车$a$辆，则租用乙种客车$(8-a)$辆，依题意得：
$\begin{cases} 300a+400(8-a) ≤ 3100 \\ 30a+42(8-a) ≥ 300 \end{cases}$
解第一个不等式：$300a+3200-400a≤3100$，解得$a≥1$；
解第二个不等式：$30a+336-42a≥300$，解得$a≤3$。
所以$a$的取值范围为$1≤ a≤3$，且$a$为整数，因此$a$可取1、2、3，对应3种租车方案：
方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为$3×300+5×400=2900$元；
方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为$2×300+6×400=3000$元；
方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为$1×300+7×400=3100$元。
对比可知2900＜3000＜3100，因此租用甲种客车3辆、乙种客车5辆的方案最省钱。
【答案】
(1) 参加此次拓展活动的老师有16人，学生有284人；
(2) 租用客车总数为8辆；
(3) 共有3种租车方案：①租用甲种客车3辆，乙种客车5辆；②租用甲种客车2辆，乙种客车6辆；③租用甲种客车1辆，乙种客车7辆。最省钱的方案是租用甲种客车3辆，乙种客车5辆。
【知识点】
二元一次方程组应用；一元一次不等式组应用；最优方案选择
【点评】
本题结合实际租车场景，考查了方程与不等式的综合应用，解题核心是准确提取题目中的等量关系和不等关系，同时要注意实际问题中未知数的取值需为正整数，能够有效锻炼学生分析、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7