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9. 如图,已知点 D 在$△ ABC$的边 BC 上,$DE// AC$交 AB 于点 E,$DF// AB$交 AC 于点 F.
(1) 求证:$AE=DF$.
(2) 若 AD 平分$∠ BAC$,试判断四边形 AEDF 的形状,并说明理由.
(1) 求证:$AE=DF$.
(2) 若 AD 平分$∠ BAC$,试判断四边形 AEDF 的形状,并说明理由.
答案
(1) 证明成立，$AE=DF$；(2) 四边形AEDF是菱形。
解析
(1) 证明：
∵ $DE// AC$，$DF// AB$，
∴ 四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
由平行四边形对边相等的性质，可得 $AE=DF$。
(2) 四边形AEDF是菱形，理由如下：
∵ AD平分$∠ BAC$，
∴ $∠ EAD = ∠ FAD$，
又∵ $DF// AB$，
∴ $∠ EAD = ∠ ADF$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ FAD = ∠ ADF$，
∴ $AF=DF$（等角对等边），
由(1)可知四边形AEDF是平行四边形，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可得四边形AEDF是菱形。
∵ $DE// AC$，$DF// AB$，
∴ 四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
由平行四边形对边相等的性质，可得 $AE=DF$。
(2) 四边形AEDF是菱形，理由如下：
∵ AD平分$∠ BAC$，
∴ $∠ EAD = ∠ FAD$，
又∵ $DF// AB$，
∴ $∠ EAD = ∠ ADF$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ FAD = ∠ ADF$，
∴ $AF=DF$（等角对等边），
由(1)可知四边形AEDF是平行四边形，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可得四边形AEDF是菱形。
10. 如图,在梯形 ABCD 中,$BC // AD$,延长 CB 到点 E,使 $BE = AD$,
$∠E = ∠ACE$.
(1) 求证:梯形 ABCD 是等腰梯形.
(2) 连接 BD,试判断 BD 与 AE 的关系,并说明理由.
$∠E = ∠ACE$.
(1) 求证:梯形 ABCD 是等腰梯形.
(2) 连接 BD,试判断 BD 与 AE 的关系,并说明理由.
答案
(1) 梯形ABCD是等腰梯形，证明过程如上；
(2) $BD$与$AE$平行且相等。
(2) $BD$与$AE$平行且相等。
解析
(1) 证明：
∵ $BC // AD$，即 $BE // AD$，
又 $\because BE = AD$，
∴ 四边形$AEBD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ $AE = BD$。
∵ $∠ E = ∠ ACE$，
∴ $AE = AC$（等角对等边），
∴ $AC = BD$。
又∵ 四边形$ABCD$是梯形，
∴ 梯形$ABCD$是等腰梯形（对角线相等的梯形是等腰梯形）。
(2) $BD$与$AE$的关系是平行且相等，理由如下：
由已知条件可得 $BE // AD$ 且 $BE = AD$，
∴ 四边形$AEBD$是平行四边形，
根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得 $AE // BD$，$AE = BD$。
∵ $BC // AD$，即 $BE // AD$，
又 $\because BE = AD$，
∴ 四边形$AEBD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ $AE = BD$。
∵ $∠ E = ∠ ACE$，
∴ $AE = AC$（等角对等边），
∴ $AC = BD$。
又∵ 四边形$ABCD$是梯形，
∴ 梯形$ABCD$是等腰梯形（对角线相等的梯形是等腰梯形）。
(2) $BD$与$AE$的关系是平行且相等，理由如下：
由已知条件可得 $BE // AD$ 且 $BE = AD$，
∴ 四边形$AEBD$是平行四边形，
根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得 $AE // BD$，$AE = BD$。
如图,已知四边形 $ABCD$ 为正方形,$AB=3\sqrt{2}$,$E$ 为对角线 $AC$ 上一动点,连接 $DE$,过点 $E$ 作 $EF ⊥ DE$,交 $BC$ 于点 $F$,以 $DE$,$EF$ 为邻边作矩形 $DEFG$,连接 $CG$.
(1) 求证:矩形 $DEFG$ 是正方形.
(2) 探究:$CE+CG$ 的值是否为定值? 若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
(1) 求证:矩形 $DEFG$ 是正方形.
(2) 探究:$CE+CG$ 的值是否为定值? 若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
答案
(1) 矩形DEFG是正方形，证明如上；(2) $CE+CG$是定值，该定值为$\boldsymbol{6}$。
解析
(1) 证明矩形DEFG是正方形：
过点E作$EM⊥ BC$于M，$EN⊥ CD$于N。
∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴ $∠ BCD=90°$，$∠ ECN=45°$，
∴ 四边形EMCN是矩形，且$EN=CN$，因此四边形EMCN是正方形，可得$EM=EN$，$∠ MEN=90°$。
∵ $EF⊥ DE$，$\therefore ∠ DEF=90°$，
$\therefore ∠ DEN + ∠ NEF = 90°$，$∠ FEM + ∠ NEF = 90°$，
$\therefore ∠ DEN=∠ FEM$。
在$△ DEN$和$△ FEM$中：
$\begin{cases}∠ DNE=∠ FME=90° \\EN=EM \\∠ DEN=∠ FEM\end{cases}$
$\therefore △ DEN ≌ △ FEM \ (\mathrm{ASA})$，得$DE=EF$。
又∵ 四边形DEFG是矩形，邻边$DE=EF$，
∴ 矩形DEFG是正方形。
(2) 探究$CE+CG$的值：
∵ 四边形DEFG、四边形ABCD都是正方形，
∴ $DE=DG$，$AD=DC$，$∠ ADC=∠ EDG=90°$，
$\therefore ∠ ADC - ∠ EDC = ∠ EDG - ∠ EDC$，即$∠ ADE=∠ CDG$。
在$△ ADE$和$△ CDG$中：
$\begin{cases}AD=CD \\∠ ADE=∠ CDG \\DE=DG\end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ CDG \ (\mathrm{SAS})$，得$AE=CG$。
$\therefore CE + CG = CE + AE = AC$。
已知正方形边长$AB=3\sqrt{2}$，由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=6$，
因此$CE+CG$的值为定值6。
过点E作$EM⊥ BC$于M，$EN⊥ CD$于N。
∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴ $∠ BCD=90°$，$∠ ECN=45°$，
∴ 四边形EMCN是矩形，且$EN=CN$，因此四边形EMCN是正方形，可得$EM=EN$，$∠ MEN=90°$。
∵ $EF⊥ DE$，$\therefore ∠ DEF=90°$，
$\therefore ∠ DEN + ∠ NEF = 90°$，$∠ FEM + ∠ NEF = 90°$，
$\therefore ∠ DEN=∠ FEM$。
在$△ DEN$和$△ FEM$中：
$\begin{cases}∠ DNE=∠ FME=90° \\EN=EM \\∠ DEN=∠ FEM\end{cases}$
$\therefore △ DEN ≌ △ FEM \ (\mathrm{ASA})$，得$DE=EF$。
又∵ 四边形DEFG是矩形，邻边$DE=EF$，
∴ 矩形DEFG是正方形。
(2) 探究$CE+CG$的值：
∵ 四边形DEFG、四边形ABCD都是正方形，
∴ $DE=DG$，$AD=DC$，$∠ ADC=∠ EDG=90°$，
$\therefore ∠ ADC - ∠ EDC = ∠ EDG - ∠ EDC$，即$∠ ADE=∠ CDG$。
在$△ ADE$和$△ CDG$中：
$\begin{cases}AD=CD \\∠ ADE=∠ CDG \\DE=DG\end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ CDG \ (\mathrm{SAS})$，得$AE=CG$。
$\therefore CE + CG = CE + AE = AC$。
已知正方形边长$AB=3\sqrt{2}$，由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=6$，
因此$CE+CG$的值为定值6。
