6. 如图,在正方形ABCD中,AD=5,E,F是正方形ABCD内的两点,且AE=FC=4,BE=DF=3,则EF=.

$\sqrt{2}$

1. 由正方形ABCD中AD=5，可得AB=CD=5。
在△ABE中，AE=4，BE=3，满足$3^2+4^2=5^2$，根据勾股定理逆定理得$∠ AEB=90°$；
同理在△CDF中，FC=4，DF=3，满足$3^2+4^2=5^2$，得$∠ DFC=90°$。
2. 建立平面直角坐标系：设点B为坐标原点$(0,0)$，则$A(0,5)$，$C(5,0)$，$D(5,5)$。
设$E(x_1,y_1)$，由$BE=3$得$x_1^2+y_1^2=9$，由$AE=4$得$x_1^2+(y_1-5)^2=16$，两式相减解得$y_1=\frac{9}{5}$，代入得$x_1=\frac{12}{5}$，即$E(\frac{12}{5},\frac{9}{5})$。
设$F(x_2,y_2)$，由$FC=4$得$(x_2-5)^2+y_2^2=16$，由$DF=3$得$(x_2-5)^2+(y_2-5)^2=9$，两式相减解得$y_2=\frac{16}{5}$，代入得$x_2=\frac{13}{5}$，即$F(\frac{13}{5},\frac{16}{5})$。
3. 根据两点间距离公式计算：
$EF=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(\frac{1}{5})^2+(\frac{7}{5})^2}=\sqrt{2}$。

7. 如图，菱形ABCD的面积为120 $\mathrm{cm}^2$，正方形AECF的面积为50 $\mathrm{cm}^2$，则菱形ABCD的边长为________.

$13\ \mathrm{cm}$

1. 计算对角线AC的长度：
已知正方形AECF的面积为$50\ \mathrm{cm}^2$，正方形的面积等于对角线平方的一半，该正方形的对角线为AC，因此可得$\frac{1}{2}AC^2=50$，解得$AC=10\ \mathrm{cm}$。
2. 计算菱形另一条对角线BD的长度：
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，已知菱形ABCD面积为$120\ \mathrm{cm}^2$，将$AC=10\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{1}{2}× AC × BD=120$，即$\frac{1}{2}×10× BD=120$，解得$BD=24\ \mathrm{cm}$。
3. 结合性质用勾股定理求菱形边长：
菱形的对角线互相垂直且平分，因此两条对角线的半长分别为$\frac{AC}{2}=5\ \mathrm{cm}$、$\frac{BD}{2}=12\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得菱形边长为$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$。

三、解答题
8. 如图,在$□ ABCD$中,已知过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$,点$F$在边$CD$上,$DF=BE$,连接$AF$,$BF$.
(1) 求证:四边形$BFDE$是矩形.
(2) 若$CF=3$,$BF=4$,$DF=5$,求证:$AF$平分$∠ DAB$.

两个求证结论均得证，(1) 四边形BFDE是矩形成立；(2) AF平分∠DAB成立。

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD//AB，即DF//BE，
又∵ DF=BE，
∴ 四边形BFDE是平行四边形，
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEB=90°，
∴ 有一个内角为直角的平行四边形是矩形，因此四边形BFDE是矩形。
(2) 证明：
由(1)可知四边形BFDE是矩形，
∴ ∠BFC=90°，
在Rt△BFC中，CF=3，BF=4，根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt{CF^2+BF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC=5，
又∵ DF=5，
∴ AD=DF，△ADF为等腰三角形，可得∠DAF=∠DFA，
∵ CD//AB，
∴ ∠DFA=∠FAB（两直线平行，内错角相等），
通过等量代换得∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB。