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7. 如图,直线 AB、CD 相交于点$O,OE⊥CD$,OF 平分$∠BOD,∠AOE=26^{\circ }$,则$∠COF$的度数为（
A.$135^{\circ }$
B.$138^{\circ }$
C.$146^{\circ }$
D.$148^{\circ }$
D
）A.$135^{\circ }$
B.$138^{\circ }$
C.$146^{\circ }$
D.$148^{\circ }$
答案
7. D 解析:因为 OE⊥CD,所以∠EOC=∠EOD=90°,因为∠AOE=26°,所以∠AOC=∠EOC-∠AOE=90°-26°=64°,∠AOD=∠AOE+∠DOE=26°+90°=116°,因为∠BOD=∠AOC,所以∠BOD=64°,因为 OF 平分∠BOD,所以∠BOF=1/2∠BOD=32°,因为∠BOC=∠AOD,所以∠BOC=116°,所以∠COF=∠BOC+∠BOF=116°+32°=148°.
8. 如图,$AB$、$CD$ 相交于点$O$,$OE ⊥ AB$,那么下列结论错误的是（
A.$∠ AOC$ 与$∠ BOD$ 是对顶角
B.$∠ AOC$ 与$∠ COE$ 互为余角
C.$∠ BOD$ 与$∠ COE$ 互为余角
D.$∠ COE$ 与$∠ BOE$ 互为补角
D
）A.$∠ AOC$ 与$∠ BOD$ 是对顶角
B.$∠ AOC$ 与$∠ COE$ 互为余角
C.$∠ BOD$ 与$∠ COE$ 互为余角
D.$∠ COE$ 与$∠ BOE$ 互为补角
答案
8. D 解析:因为 AB、CD 相交于点 O,所以∠AOC 与∠BOD 是对顶角,故 A 选项不符合题意;因为 OE⊥AB,所以∠AOE=90°,所以∠AOC 与∠COE 互为余角,故 B 选项不符合题意;因为∠AOC 与∠BOD 是对顶角,且∠AOC 与∠COE 互为余角,所以∠BOD 与∠COE 互为余角,故 C 选项不符合题意;因为∠COE+∠DOE=180°,所以∠COE 与∠DOE 互为补角,而∠DOE＞∠BOE,故 D 选项符合题意.
9. 如图,直线 $A B 、 C D$ 相交于点 $O$, 现给出下列条件: ①$∠ AOD=90°$; ②$∠ AOD=∠ AOC$;③$∠ AOC+∠ BOC=180°$; ④$∠ AOC+∠ BOD=180°$.其中能说明 $AB⊥ CD$ 的有 （
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
C
）A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
9. C 解析:两条直线相交所成的四个角中有一个是直角,那么这两条直线互相垂直,故 ① 能说明 AB⊥CD; 因为∠AOD=∠AOC,∠AOD+∠AOC=180°,所以∠AOD=∠AOC=1/2×180°=90°,故 ② 能说明 AB⊥CD; ∠AOC+∠BOC=180° 一定成立,故 ③ 不能说明 AB⊥CD; 因为∠AOC+∠BOD=180°,∠AOC=∠BOD,所以∠AOC=∠BOD=1/2×180°=90°,故 ④ 能说明 AB⊥CD.
10. 如图,已知$OA ⊥ OC$,$OB ⊥ OD$,且$∠ AOD=5 ∠ BOC$,则$∠ AOB$的度数为
60°
.答案
10. 60° 解析:因为 OB⊥OD,OA⊥OC,所以∠BOC+∠COD=90°,∠BOC+∠AOB=90°.因为∠AOD=∠BOC+∠AOB+∠COD=90°+90°-∠BOC=180°-∠BOC,∠AOD=5∠BOC,所以5∠BOC=180°-∠BOC,即6∠BOC=180°,所以∠BOC=30°,所以∠AOB=90°-∠BOC=90°-30°=60°.
11. 在直线 $MN$ 上取一点 $P$, 过点 $P$ 作射线 $PA$、$PB$. 若 $PA ⊥ PB$, 则当 $∠ MPA=55°$ 时,
$∠ NPB$ 的度数为
$∠ NPB$ 的度数为
35°或145°
.答案
11. 35°或145° 解析:如图1,当射线PA、PB在直线MN的同侧时,因为PA⊥PB,所以∠APB=90°,又因为∠MPA=55°,所以∠NPB=180°-∠APB-∠MPA=180°-90°-55°=35°;如图2,当射线PA、PB分别在直线MN的两侧时,因为PA⊥PB,所以∠APB=90°,又因为∠MPA=55°,所以∠MPB=∠APB-∠MPA=90°-∠MPA=90°-55°=35°,所以∠NPB=180°-∠MPB=180°-35°=145°.综上所述,∠NPB的度数为35°或145°.
12. 如图,直线 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $O, O E$ 平分 $∠ B O C, O F ⊥ O E, O G ⊥ O C$.
(1)试说明: $∠ COF = ∠ EOG$.
(2)若$∠ BOD=32°$,求$∠ EOG$ 的度数.
(1)试说明: $∠ COF = ∠ EOG$.
(2)若$∠ BOD=32°$,求$∠ EOG$ 的度数.
答案
12. (1)因为 OF⊥OE,OG⊥OC,所以∠FOE=∠COF+∠COE=90°,∠COG=∠EOG+∠COE=90°,所以∠COF=∠EOG. (2)因为∠BOD=32°,所以∠BOC=180°-∠BOD=180°-32°=148°.因为OE平分∠BOC,所以∠COE=1/2∠BOC=1/2×148°=74°.因为∠COG=90°,所以∠EOG=∠COG-∠COE=90°-74°=16°.
13. 如图,直线 A B 、 C D 相交于点 $O$,OE 平分$∠ BOD,OF⊥ CD$,垂足为 $O$.
(1)若$∠ EOF=54^{\circ }$,求$∠ AOC$的度数.
(2)①在$∠ AOD$的内部作射线$OG⊥ OE$;
②试探究$∠ AOG$与$∠ EOF$之间的数量关系,并说明理由.
(1)若$∠ EOF=54^{\circ }$,求$∠ AOC$的度数.
(2)①在$∠ AOD$的内部作射线$OG⊥ OE$;
②试探究$∠ AOG$与$∠ EOF$之间的数量关系,并说明理由.
答案
13. (1)因为 OF⊥CD,所以∠DOF=90°.又因为∠EOF=54°,所以∠DOE=∠DOF-∠EOF=90°-54°=36°.又因为OE平分∠BOD,所以∠BOD=2∠DOE=2×36°=72°,所以∠AOC=∠BOD=72°. (2)①如图所示. ②∠AOG=∠EOF.理由如下:因为OF⊥CD,OG⊥OE,所以∠EOF+∠DOE=90°,∠AOG+∠BOE=90°,即∠EOF=90°-∠DOE,∠AOG=90°-∠BOE.又因为OE平分∠BOD,所以∠BOE=∠DOE,所以∠EOF=∠AOG.
