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1. (2024 南京市联合体期中)下列是关于 $x$ 的一元二次方程的是（
A.$x-y=3$
B.$x=\dfrac{1}{x}+1$
C.$x^{2}+3x-7=0$
D.$ax^{2}+bx+c=0$
C
）A.$x-y=3$
B.$x=\dfrac{1}{x}+1$
C.$x^{2}+3x-7=0$
D.$ax^{2}+bx+c=0$
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个是一元二次方程，需先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，需满足四个条件：①整式方程；②只含1个未知数；③未知数最高次数为2；④二次项系数不为0。接下来逐一分析选项是否符合这些条件。
【解析】
选项A：方程含x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合一元二次方程定义；
选项B：方程中$\frac{1}{x}$是分式，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义；
选项C：方程仅含未知数x，x的最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的所有条件；
选项D：未说明$a≠0$，若$a=0$，方程退化为一次方程，不一定是一元二次方程，不符合定义。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的核心定义，需准确把握定义的四个关键要素，避开分式方程、多未知数、二次项系数不确定等干扰项，属于基础概念题。
【难度系数】
0.7
要判断哪个是一元二次方程，需先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，需满足四个条件：①整式方程；②只含1个未知数；③未知数最高次数为2；④二次项系数不为0。接下来逐一分析选项是否符合这些条件。
【解析】
选项A：方程含x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合一元二次方程定义；
选项B：方程中$\frac{1}{x}$是分式，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义；
选项C：方程仅含未知数x，x的最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的所有条件；
选项D：未说明$a≠0$，若$a=0$，方程退化为一次方程，不一定是一元二次方程，不符合定义。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的核心定义，需准确把握定义的四个关键要素，避开分式方程、多未知数、二次项系数不确定等干扰项，属于基础概念题。
【难度系数】
0.7
2. 若方程 $ax^{2}+bx+c=0(a≠ 0)$ 中，$a,b,c$ 满足 $a-b+c=0$ 和 $16a+4b+c=0$，则方程的根是（
A.$0,4$
B.$0,-4$
C.$-1,4$
D.$1,4$
C
）A.$0,4$
B.$0,-4$
C.$-1,4$
D.$1,4$
答案
C
解析
【分析】
要确定方程的根，需利用一元二次方程根的定义：若$x$是方程$ax^2+bx+c=0$的根，则将$x$代入方程后等式成立。观察已知条件$a-b+c=0$和$16a+4b+c=0$，将其与方程形式对比，找到对应的$x$值，即可得到方程的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义：
1. 对等式$a - b + c = 0$，变形为$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 0$，符合方程$ax^2+bx+c=0$的形式，因此$x=-1$是方程的根；
2. 对等式$16a + 4b + c = 0$，变形为$a×4^2 + b×4 + c = 0$，符合方程形式，因此$x=4$是方程的根；
综上，方程的根是$-1$和$4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的根的定义，代数式代入求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义，无需求解系数$a,b,c$，直接利用根的定义代入已知等式即可快速得出结果，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】
0.6
要确定方程的根，需利用一元二次方程根的定义：若$x$是方程$ax^2+bx+c=0$的根，则将$x$代入方程后等式成立。观察已知条件$a-b+c=0$和$16a+4b+c=0$，将其与方程形式对比，找到对应的$x$值，即可得到方程的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义：
1. 对等式$a - b + c = 0$，变形为$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 0$，符合方程$ax^2+bx+c=0$的形式，因此$x=-1$是方程的根；
2. 对等式$16a + 4b + c = 0$，变形为$a×4^2 + b×4 + c = 0$，符合方程形式，因此$x=4$是方程的根；
综上，方程的根是$-1$和$4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的根的定义，代数式代入求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义，无需求解系数$a,b,c$，直接利用根的定义代入已知等式即可快速得出结果，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】
0.6
3. 将方程 $2x^{2}=-3x+5$ 化为一元二次方程的一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是（
A.$2,3,-5$
B.$-2,3,5$
C.$2,-3,5$
D.$2,3,5$
A
）A.$2,3,-5$
B.$-2,3,5$
C.$2,-3,5$
D.$2,3,5$
答案
A
解析
【分析】首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），解题思路是将给定方程通过移项变形为一般形式，再对应确定二次项系数、一次项系数和常数项。具体步骤：把方程右边的项移到左边，移项时需改变符号，整理为标准形式后提取各项系数即可。
【解析】将方程$2x^{2}=-3x+5$移项，根据移项变号规则，把右边的$-3x$和$5$移到左边，得到一元二次方程的一般形式：$2x^{2}+3x -5=0$。其中二次项为$2x^2$，系数是$2$；一次项为$3x$，系数是$3$；常数项是$-5$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程一般形式、系数识别
【点评】本题考查一元二次方程的一般形式及各项系数的识别，核心是掌握移项变号的基本规则，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】将方程$2x^{2}=-3x+5$移项，根据移项变号规则，把右边的$-3x$和$5$移到左边，得到一元二次方程的一般形式：$2x^{2}+3x -5=0$。其中二次项为$2x^2$，系数是$2$；一次项为$3x$，系数是$3$；常数项是$-5$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程一般形式、系数识别
【点评】本题考查一元二次方程的一般形式及各项系数的识别，核心是掌握移项变号的基本规则，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
4. 把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长$x$. 据此问题,列出关于$x$的方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式,正确的是（
A.$x^{2}+x-1=0$
B.$x^{2}-x+1=0$
C.$x^{2}-3x+1=0$
D.$x^{2}+3x-1=0$
C
）A.$x^{2}+x-1=0$
B.$x^{2}-x+1=0$
C.$x^{2}-3x+1=0$
D.$x^{2}+3x-1=0$
答案
C 提示:较短一段的长为x,则较长一段的长为1−x,根据题意,得x×1=(1−x)²,整理,得x²−3x+1=0.
解析
【分析】
首先明确解题思路：先设较短一段的长为$ x $，结合木条全长为1，得出较长一段的长为$ 1 - x $；再根据题目给出的等量关系“较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方”列出方程，最后将方程整理为一元二次方程的一般形式，匹配对应选项即可。
【解析】
设较短一段的长为$ x $，因为木条全长为1，所以较长一段的长为$ 1 - x $。
根据题意，“较短一段的长与全长的积”为$ x × 1 $，“较长一段的长的平方”为$ (1 - x)^2 $，据此列方程：
$ x × 1 = (1 - x)^2 $
展开右边的平方项：$ (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 $
将方程整理为一元二次方程的一般形式（$ ax^2 + bx + c = 0 $，$ a ≠ 0 $）：
移项得：$ x^2 - 3x + 1 = 0 $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用；一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，核心是找准题目中的等量关系，正确表示各段木条的长度，再通过代数运算整理为标准的一元二次方程形式，属于难度适中的基础题，适合巩固一元二次方程的列写方法。
【难度系数】
0.6
首先明确解题思路：先设较短一段的长为$ x $，结合木条全长为1，得出较长一段的长为$ 1 - x $；再根据题目给出的等量关系“较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方”列出方程，最后将方程整理为一元二次方程的一般形式，匹配对应选项即可。
【解析】
设较短一段的长为$ x $，因为木条全长为1，所以较长一段的长为$ 1 - x $。
根据题意，“较短一段的长与全长的积”为$ x × 1 $，“较长一段的长的平方”为$ (1 - x)^2 $，据此列方程：
$ x × 1 = (1 - x)^2 $
展开右边的平方项：$ (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 $
将方程整理为一元二次方程的一般形式（$ ax^2 + bx + c = 0 $，$ a ≠ 0 $）：
移项得：$ x^2 - 3x + 1 = 0 $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用；一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，核心是找准题目中的等量关系，正确表示各段木条的长度，再通过代数运算整理为标准的一元二次方程形式，属于难度适中的基础题，适合巩固一元二次方程的列写方法。
【难度系数】
0.6
5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1)x^2-$ $2x+m^2-m=0$ 有一个根为 0 , 则 $m$ 的值是（
A.0
B.1
C.0 或 1
D.0 或 $-1$
A
）A.0
B.1
C.0 或 1
D.0 或 $-1$
答案
A 提示:将x=0代入(m−1)x²−2x+m²−m=0,得m²−m=0,解得m=0或m=1.因为原方程为关于x的一元二次方程,所以m−1≠0,即m≠1,所以m=0.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的根的性质与一元二次方程的定义。解题思路：先利用“方程的根满足方程”，将根x=0代入原方程求出m的可能值，再根据一元二次方程的定义（二次项系数不为0）排除不符合的m值，最终确定m的取值。
【解析】
1. 代入根求m的可能值：因为x=0是方程$(m-1)x^2 -2x +m^2 -m=0$的根，将x=0代入方程得：
$(m-1)×0^2 -2×0 +m^2 -m=0$，化简得$m^2 -m=0$；
2. 解一元二次方程：对$m^2 -m=0$因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$；
3. 利用一元二次方程定义排除：原方程是关于x的一元二次方程，因此二次项系数$m-1≠0$，即$m≠1$；
4. 确定m的值：结合上述结果，m只能取0。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根
【点评】
本题为基础题型，核心考查一元二次方程根的性质和定义，易错点是忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的条件，需注意细节。
【难度系数】
0.6
本题考查一元二次方程的根的性质与一元二次方程的定义。解题思路：先利用“方程的根满足方程”，将根x=0代入原方程求出m的可能值，再根据一元二次方程的定义（二次项系数不为0）排除不符合的m值，最终确定m的取值。
【解析】
1. 代入根求m的可能值：因为x=0是方程$(m-1)x^2 -2x +m^2 -m=0$的根，将x=0代入方程得：
$(m-1)×0^2 -2×0 +m^2 -m=0$，化简得$m^2 -m=0$；
2. 解一元二次方程：对$m^2 -m=0$因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$；
3. 利用一元二次方程定义排除：原方程是关于x的一元二次方程，因此二次项系数$m-1≠0$，即$m≠1$；
4. 确定m的值：结合上述结果，m只能取0。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根
【点评】
本题为基础题型，核心考查一元二次方程根的性质和定义，易错点是忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的条件，需注意细节。
【难度系数】
0.6
6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+kx-3=$ 0 有一个根为 1 , 则 $k$ 的值是
2
.答案
2
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是利用一元二次方程根的定义：若某数是方程的根，将其代入方程后等式成立。因此只需把已知根$x=1$代入给定的一元二次方程，就能得到关于$k$的一元一次方程，进而求解$k$的值。
【解析】
已知$x=1$是方程$x^2 + kx - 3 = 0$的根，将$x=1$代入方程得：
$1^2 + k×1 - 3 = 0$
化简得：$1 + k - 3 = 0$
整理得：$k - 2 = 0$
解得：$k = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的根；代入法求参数值
【点评】
本题考查一元二次方程根的基础应用，难度较低，只需掌握方程根的定义，通过代入计算即可快速得出结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，核心是利用一元二次方程根的定义：若某数是方程的根，将其代入方程后等式成立。因此只需把已知根$x=1$代入给定的一元二次方程，就能得到关于$k$的一元一次方程，进而求解$k$的值。
【解析】
已知$x=1$是方程$x^2 + kx - 3 = 0$的根，将$x=1$代入方程得：
$1^2 + k×1 - 3 = 0$
化简得：$1 + k - 3 = 0$
整理得：$k - 2 = 0$
解得：$k = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的根；代入法求参数值
【点评】
本题考查一元二次方程根的基础应用，难度较低，只需掌握方程根的定义，通过代入计算即可快速得出结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
7. 若将一元二次方程 $(x+2)^2=3(x-1)$ 化为
$ax^2+bx+c=0$ 的形式, 则 $a:b:$
$c=$
$ax^2+bx+c=0$ 的形式, 则 $a:b:$
$c=$
1:1:7
.答案
1:1:7
解析
【分析】要将给定的一元二次方程化为$ax^2+bx+c=0$的形式，需先利用完全平方公式展开左边，再展开右边的整式，通过移项将所有项移到左边，合并同类项后得到标准形式，进而确定$a$、$b$、$c$的值，最后计算三者的比值。具体步骤为：1. 展开完全平方项；2. 展开右边的整式；3. 移项整理到左边；4. 合并同类项得到一般式；5. 确定$a$、$b$、$c$并求比值。
【解析】解：将原方程化为一元二次方程的一般形式：
第一步，展开左边：$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$；
第二步，展开右边：$3(x-1) = 3x - 3$；
第三步，移项并合并同类项：
$x^2 + 4x + 4 - 3x + 3 = 0$
$x^2 + (4x - 3x) + (4 + 3) = 0$
即 $x^2 + x + 7 = 0$；
对比一般式$ax^2 + bx + c = 0$，得$a=1$，$b=1$，$c=7$，因此$a:b:c = 1:1:7$。
【答案】1:1:7
【知识点】一元二次方程的一般形式，完全平方公式，合并同类项
【点评】本题考查一元二次方程一般形式的转化，核心是正确运用公式展开、去括号及合并同类项，属于基础运算题，需注意移项时的符号处理。
【难度系数】0.8
【解析】解：将原方程化为一元二次方程的一般形式：
第一步，展开左边：$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$；
第二步，展开右边：$3(x-1) = 3x - 3$；
第三步，移项并合并同类项：
$x^2 + 4x + 4 - 3x + 3 = 0$
$x^2 + (4x - 3x) + (4 + 3) = 0$
即 $x^2 + x + 7 = 0$；
对比一般式$ax^2 + bx + c = 0$，得$a=1$，$b=1$，$c=7$，因此$a:b:c = 1:1:7$。
【答案】1:1:7
【知识点】一元二次方程的一般形式，完全平方公式，合并同类项
【点评】本题考查一元二次方程一般形式的转化，核心是正确运用公式展开、去括号及合并同类项，属于基础运算题，需注意移项时的符号处理。
【难度系数】0.8
8.（2024 盐城市盐都区期中）若 $m$ 是方程
$2x^{2}-3x-1=0$ 的一个根,则 $4m^{2}-6m+$
2024 的值为
$2x^{2}-3x-1=0$ 的一个根,则 $4m^{2}-6m+$
2024 的值为
2 026
.答案
2 026 提示:因为m是方程2x²−3x−1=0的一个根,所以2m²−3m=1,所以4m²−6m=2,所以4m²−6m+2 024=2 026.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用一元二次方程根的定义：若一个数是方程的根，将其代入方程等式成立。本题中m是方程的根，代入后可得到关于m的等式，再观察所求代数式的结构，通过变形将其转化为能利用已知等式的形式，采用整体代入法计算，无需求解m的具体值，简化运算。
【解析】
解：因为m是方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$的一个根，
所以将$x=m$代入方程得：$2m^2 - 3m - 1 = 0$，
移项得：$2m^2 - 3m = 1$，
对所求代数式变形：$4m^2 - 6m + 2024 = 2(2m^2 - 3m) + 2024$，
将$2m^2 - 3m = 1$代入上式：$2×1 + 2024 = 2026$。
【答案】
2026
【知识点】
一元二次方程的根、代数式求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义及整体代入思想的应用，属于基础题型，通过整体代入避免求解方程的根，简化计算过程，是代数求值的常用方法。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，首先利用一元二次方程根的定义：若一个数是方程的根，将其代入方程等式成立。本题中m是方程的根，代入后可得到关于m的等式，再观察所求代数式的结构，通过变形将其转化为能利用已知等式的形式，采用整体代入法计算，无需求解m的具体值，简化运算。
【解析】
解：因为m是方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$的一个根，
所以将$x=m$代入方程得：$2m^2 - 3m - 1 = 0$，
移项得：$2m^2 - 3m = 1$，
对所求代数式变形：$4m^2 - 6m + 2024 = 2(2m^2 - 3m) + 2024$，
将$2m^2 - 3m = 1$代入上式：$2×1 + 2024 = 2026$。
【答案】
2026
【知识点】
一元二次方程的根、代数式求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义及整体代入思想的应用，属于基础题型，通过整体代入避免求解方程的根，简化计算过程，是代数求值的常用方法。
【难度系数】
0.4
9. 根据题意,列出方程.
(1) 剪出一张面积是$240\ \mathrm{cm^{2}}$的矩形彩纸,使它的长比宽多1 cm,求这张彩纸的长.
(2) 某纪念品原价为168元,连续两次降价$a\%$后售价为128元,求$a$的值.
(3) 两个连续偶数的积为80,求这两个偶数.
(4) 某超市销售一种水果,每月可售出500 kg,每千克盈利10元.经市场分析,该水果售价每千克每涨1元,月销售量将减少10 kg.如果该超市销售这种水果每月盈利8 000元,求该水果售价每千克涨的钱数.
(5) 如图,长为5 m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端与墙的距离是3 m.如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等,求梯子滑动的距离.
(1) 剪出一张面积是$240\ \mathrm{cm^{2}}$的矩形彩纸,使它的长比宽多1 cm,求这张彩纸的长.
(2) 某纪念品原价为168元,连续两次降价$a\%$后售价为128元,求$a$的值.
(3) 两个连续偶数的积为80,求这两个偶数.
(4) 某超市销售一种水果,每月可售出500 kg,每千克盈利10元.经市场分析,该水果售价每千克每涨1元,月销售量将减少10 kg.如果该超市销售这种水果每月盈利8 000元,求该水果售价每千克涨的钱数.
(5) 如图,长为5 m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端与墙的距离是3 m.如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等,求梯子滑动的距离.
答案
解:(1) 设这张矩形彩纸的长是 $x$ cm,则宽是 $(x-1)$ cm. 根据题意, 可列方程 $x(x-1)=240$.
(2) 根据题意, 可列方程 $168(1-a\%)^2=128$.
(3) 设较小的偶数为 $x$, 则较大的偶数为 $x+2$. 根据题意, 可列方程 $x(x+2)=80$.
(4) 设该水果售价每千克涨了 $x$ 元. 根据题意, 可列方程 $(x+10)(500-10x)=8\ 000$.
(5) 设梯子滑动的距离为 $x$ m. 根据题意, 可列方程 $(4-x)^2+(3+x)^2=25$.
(2) 根据题意, 可列方程 $168(1-a\%)^2=128$.
(3) 设较小的偶数为 $x$, 则较大的偶数为 $x+2$. 根据题意, 可列方程 $x(x+2)=80$.
(4) 设该水果售价每千克涨了 $x$ 元. 根据题意, 可列方程 $(x+10)(500-10x)=8\ 000$.
(5) 设梯子滑动的距离为 $x$ m. 根据题意, 可列方程 $(4-x)^2+(3+x)^2=25$.
解析
【分析】
本题是根据实际问题列一元二次方程的题目，核心思路是：先明确每个问题的未知量，设出合适的未知数，再提取题目中的等量关系，最后将等量关系转化为对应的数学方程。各小问对应不同实际场景：(1)是矩形面积的等量关系；(2)是连续降价的售价等量关系；(3)是连续偶数乘积的等量关系；(4)是销售利润的等量关系；(5)是结合勾股定理的几何等量关系，需分析滑动后边长的变化。
【解析】
(1) 设矩形彩纸的长为$ x \, \mathrm{cm} $，则宽为$ (x-1) \, \mathrm{cm} $。根据矩形面积公式（面积=长×宽），结合面积为$ 240 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程：$ x(x-1)=240 $。
(2) 原价168元，每次降价$ a\% $，第一次降价后价格为$ 168(1-a\%) $，第二次降价后售价为$ 168(1-a\%)^2 $，结合售价128元，列方程：$ 168(1-a\%)^2=128 $。
(3) 设较小的偶数为$ x $，则较大的连续偶数为$ x+2 $，根据两数积为80，列方程：$ x(x+2)=80 $。
(4) 设售价每千克涨了$ x $元，每千克盈利变为$ (10+x) $元，月销售量变为$ (500-10x) \, \mathrm{kg} $，总盈利=每千克盈利×销售量，结合月盈利8000元，列方程：$ (x+10)(500-10x)=8000 $。
(5) 先由勾股定理得原梯子顶端高度为$ \sqrt{5^2-3^2}=4 \, \mathrm{m} $，设滑动距离为$ x \, \mathrm{m} $，滑动后顶端高度为$ (4-x) \, \mathrm{m} $，底端距墙$ (3+x) \, \mathrm{m} $，滑动后梯子仍为斜边5m，根据勾股定理列方程：$ (4-x)^2+(3+x)^2=25 $。
【答案】
(1) $ x(x-1)=240 $；
(2) $ 168(1-a\%)^2=128 $；
(3) $ x(x+2)=80 $；
(4) $ (x+10)(500-10x)=8000 $；
(5) $ (4-x)^2+(3+x)^2=25 $
【知识点】
一元二次方程应用，勾股定理
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础典型题，涵盖面积、增长率、数字、利润、几何等常见实际场景，重点考查学生从实际问题中提取等量关系并转化为方程的能力，是初中方程应用的核心基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.3
本题是根据实际问题列一元二次方程的题目，核心思路是：先明确每个问题的未知量，设出合适的未知数，再提取题目中的等量关系，最后将等量关系转化为对应的数学方程。各小问对应不同实际场景：(1)是矩形面积的等量关系；(2)是连续降价的售价等量关系；(3)是连续偶数乘积的等量关系；(4)是销售利润的等量关系；(5)是结合勾股定理的几何等量关系，需分析滑动后边长的变化。
【解析】
(1) 设矩形彩纸的长为$ x \, \mathrm{cm} $，则宽为$ (x-1) \, \mathrm{cm} $。根据矩形面积公式（面积=长×宽），结合面积为$ 240 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程：$ x(x-1)=240 $。
(2) 原价168元，每次降价$ a\% $，第一次降价后价格为$ 168(1-a\%) $，第二次降价后售价为$ 168(1-a\%)^2 $，结合售价128元，列方程：$ 168(1-a\%)^2=128 $。
(3) 设较小的偶数为$ x $，则较大的连续偶数为$ x+2 $，根据两数积为80，列方程：$ x(x+2)=80 $。
(4) 设售价每千克涨了$ x $元，每千克盈利变为$ (10+x) $元，月销售量变为$ (500-10x) \, \mathrm{kg} $，总盈利=每千克盈利×销售量，结合月盈利8000元，列方程：$ (x+10)(500-10x)=8000 $。
(5) 先由勾股定理得原梯子顶端高度为$ \sqrt{5^2-3^2}=4 \, \mathrm{m} $，设滑动距离为$ x \, \mathrm{m} $，滑动后顶端高度为$ (4-x) \, \mathrm{m} $，底端距墙$ (3+x) \, \mathrm{m} $，滑动后梯子仍为斜边5m，根据勾股定理列方程：$ (4-x)^2+(3+x)^2=25 $。
【答案】
(1) $ x(x-1)=240 $；
(2) $ 168(1-a\%)^2=128 $；
(3) $ x(x+2)=80 $；
(4) $ (x+10)(500-10x)=8000 $；
(5) $ (4-x)^2+(3+x)^2=25 $
【知识点】
一元二次方程应用，勾股定理
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础典型题，涵盖面积、增长率、数字、利润、几何等常见实际场景，重点考查学生从实际问题中提取等量关系并转化为方程的能力，是初中方程应用的核心基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.3
