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一、选择题
1. 下列各式：$\frac{x}{3x+1}$，$\frac{x}{2}$，$\frac{x}{3}+y$，$\frac{2x-y}{x+2}$，$\frac{x}{π}$，其中分式共有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1. 下列各式：$\frac{x}{3x+1}$，$\frac{x}{2}$，$\frac{x}{3}+y$，$\frac{2x-y}{x+2}$，$\frac{x}{π}$，其中分式共有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
根据分式定义，分母含字母的式子为分式。逐个分析：$\frac{x}{3x+1}$是分式，$\frac{x}{2}$不是，$\frac{x}{3}+y$不是，$\frac{2x-y}{x+2}$是分式，$\frac{x}{π}$不是，共2个分式，选B。
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是 （）
A.$\sqrt{0.2}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{18}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
A.$\sqrt{0.2}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{18}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
答案
B
解析
最简二次根式需满足被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式。A选项√0.2=√(1/5)，被开方数含分母；C选项√18=√(9×2)=3√2，被开方数含能开得尽方的因数；D选项√(1/2)被开方数含分母；只有B选项√13符合最简二次根式定义。
3. 下列调查中，适合采用普查的是 （）
A.了解长江中现有鱼的种类
B.了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量
C.了解一批灯泡使用寿命
D.了解全班每位同学所穿鞋子的尺码
A.了解长江中现有鱼的种类
B.了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量
C.了解一批灯泡使用寿命
D.了解全班每位同学所穿鞋子的尺码
答案
D
解析
普查是对考察对象全体进行调查，适合范围小、易操作、无破坏性的调查。A选项长江现有鱼种类多，适合抽样；B选项冰淇淋质量调查具有破坏性，适合抽样；C选项灯泡使用寿命调查具有破坏性，适合抽样；D选项全班同学人数少，易操作，适合普查。
4. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球. 已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个. 如果设每个足球的价格为$ x $元，那么可列方程为 （）
A.$\frac{1800}{x+30} - \frac{900}{x} = 4$
B.$\frac{1800}{x-30} - \frac{900}{x} = 4$
C.$\frac{900}{x} - \frac{1800}{x+30} = 4$
D.$\frac{900}{x} - \frac{1800}{x-30} = 4$
A.$\frac{1800}{x+30} - \frac{900}{x} = 4$
B.$\frac{1800}{x-30} - \frac{900}{x} = 4$
C.$\frac{900}{x} - \frac{1800}{x+30} = 4$
D.$\frac{900}{x} - \frac{1800}{x-30} = 4$
答案
A
解析
设每个足球价格为$x$元，则每个篮球价格为$(x+30)$元。用1800元购进篮球的数量为$\frac{1800}{x+30}$，用900元购进足球的数量为$\frac{900}{x}$。根据“购进篮球的数量比购进足球的数量多4个”，可列方程$\frac{1800}{x+30} - \frac{900}{x}=4$，对应选项A。
5. 如图所示，在矩形ABCD中，$AD = 3AB$，点G，H分别在AD，BC上，连接BG，DH，且$BG // DH$，当$\frac{AG}{AD} = (\quad)$时，四边形BHDG为菱形.
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{3}{8}$
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{3}{8}$
答案
C
解析
设AB=a，则AD=3a，设AG=x。因为四边形BHDG为菱形，所以BG=GD，又GD=AD-AG=3a -x。在Rt△ABG中，由勾股定理得：AB² + AG² = BG²，即a² + x²=(3a -x)²，展开化简得8a²=6ax，解得x=4a/3。因此AG/AD=(4a/3)/(3a)=4/9。
6. 如果关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{mx}{1-x} + \frac{x}{x-1} = 2 $ 无解，那么实数 $ m $ 的值是（）
A.$ m=1 $
B.$ m=-1 $
C.$ m=1 $ 或 $ m=-1 $
D.$ m ≠ 1 $ 且 $ m ≠ -1 $
A.$ m=1 $
B.$ m=-1 $
C.$ m=1 $ 或 $ m=-1 $
D.$ m ≠ 1 $ 且 $ m ≠ -1 $
答案
C
解析
先将分式方程变形，利用分母互为相反数统一分母，去分母得整式方程：$x(m+1)=2$。分式方程无解分两种情况：①整式方程无解，即$m+1=0$，得$m=-1$；②整式方程的解为原方程增根$x=1$，代入得$1×(m+1)=2$，得$m=1$。综上$m=1$或$m=-1$。
7. 已知$6^8 - 1$能被30～40之间的两个整数整除，这两个整数是（）
A.31，33
B.33，35
C.35，37
D.37，39
A.31，33
B.33，35
C.35，37
D.37，39
答案
C
解析
利用平方差公式因式分解：$6^8 -1=(6^4)^2 -1^2=(6^4 -1)(6^4 +1)=(6^2 -1)(6^2 +1)(6^4 +1)=(6-1)(6+1)(36+1)(6^4 +1)=5×7×37×(6^4 +1)=35×37×(6^4 +1)$，可知$6^8 -1$能被35、37整除，均在30~40之间。
8. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G.∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为
（）
A.$\frac{5}{8}$
B.$\frac{5}{4}$
C.$\frac{5\sqrt{5}}{8}$
D.$\frac{5\sqrt{5}}{4}$
（）
A.$\frac{5}{8}$
B.$\frac{5}{4}$
C.$\frac{5\sqrt{5}}{8}$
D.$\frac{5\sqrt{5}}{4}$
答案
A
解析
设AG=x，正方形ABCD边长为2，E为BC中点，故BE=CE=1。翻折△DCE得△DFE，故DF=DC=2，EF=EC=1，∠DFE=90°。连接GE，证Rt△GBE≌Rt△GFE（HL），得GB=GF=2-x，故DG=DF+GF=2+(2-x)=4-x。在Rt△ADG中，由勾股定理：x²+2²=(4-x)²，解得x=3/2，故DG=5/2。△ADG为直角三角形，H为角平分线交点（内心），内切半径r=(AG+AD-DG)/2=(3/2+2-5/2)/2=1/2。△DGH面积=1/2×DG×r=1/2×(5/2)×(1/2)=5/8。
