23. 超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克.
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市将两批干果按相同的标价销售，最后的500千克按标价的八折优惠售出，如果两批干果全部售出后，利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么超市销售这批干果的标价至少是多少元？

（1）5元；（2）7.5元

（1）设该种干果第一次进价为每千克$ x $元，则第二次进价为每千克$ 1.2x $元。根据题意，第二次购进数量是第一次的2倍还多300千克，列方程：$\frac{9000}{1.2x} = 2×\frac{3000}{x} + 300$。化简方程得$\frac{7500}{x} = \frac{6000}{x} + 300$，移项解得$x=5$，经检验$x=5$是原方程的解且符合题意，故第一次进价为每千克5元。（2）计算两批干果总数量：第一次购进$\frac{3000}{5}=600$千克，第二次购进$\frac{9000}{1.2×5}=1500$千克，总数量$600+1500=2100$千克。设标价为每千克$y$元，总销售额为$(2100-500)y + 500×0.8y = 2000y$。总成本为$3000+9000=12000$元，根据利润率不低于25%，得总销售额≥$12000×(1+25\%)=15000$元，即$2000y≥15000$，解得$y≥7.5$，故标价至少为每千克7.5元。

24. 如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作$DE // AC$且$DE=\frac{1}{2}AC$，连接CE，OE，连接AE交OD于点F.
（1）求证：$OE = CD$；
（2）若菱形ABCD的边长为2，$∠ ABC=60°$，求AE的长.

（1）证明成立；（2）$\sqrt{7}$

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC=$\frac{1}{2}$AC（菱形的对角线互相垂直且平分）。又∵DE//AC，且DE=$\frac{1}{2}$AC，∴DE=OC，DE//OC，∴四边形OCED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。∵AC⊥BD，∴∠COD=90°，∴平行四边形OCED是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），∴OE=CD（矩形的对角线相等）。（2）解：∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2，∴OC=$\frac{1}{2}$AC=1。在Rt△COD中，CD=2，OC=1，由勾股定理得OD=$\sqrt{CD^2 - OC^2}$=$\sqrt{2^2 -1^2}$=$\sqrt{3}$。由（1）知四边形OCED是矩形，∴CE=OD=$\sqrt{3}$，且AC⊥CE。在Rt△ACE中，AC=2，CE=$\sqrt{3}$，由勾股定理得AE=$\sqrt{AC^2 + CE^2}$=$\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}$=$\sqrt{7}$。