登录
11.计算：
(1)$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{10} × \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{5}$；
(2)$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{3} + 1)^2$。
(1)$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{10} × \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{5}$；
(2)$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{3} + 1)^2$。
答案
11.解:
(1)$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{10} × \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{5} = \sqrt{\frac{27}{3}} + \sqrt{10×\frac{1}{2}} - \sqrt{5} = 3 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = 3$.
(2)$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{3} + 1)^2 = 5 - 4 + 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 5 + 2\sqrt{3}$.
(1)$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{10} × \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{5} = \sqrt{\frac{27}{3}} + \sqrt{10×\frac{1}{2}} - \sqrt{5} = 3 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = 3$.
(2)$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{3} + 1)^2 = 5 - 4 + 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 5 + 2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路如下：
(1) 先根据二次根式的乘除运算法则，分别计算除法和乘法部分：二次根式相除时，把被开方数相除，根指数不变；二次根式相乘时，把被开方数相乘，根指数不变。再将计算结果化简后合并同类二次根式即可。
(2) 观察式子结构，前半部分符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，后半部分符合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$的形式，先利用两个乘法公式分别展开计算，再合并同类项和同类二次根式即可。
【解析】
(1) 按照先乘除后加减的顺序计算：
$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{10} × \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{5}$
$= \sqrt{\frac{27}{3}} + \sqrt{10×\frac{1}{2}} - \sqrt{5}$
$= \sqrt{9} + \sqrt{5} - \sqrt{5}$
$= 3 + \sqrt{5} - \sqrt{5}$
$=3$
(2) 利用乘法公式简化计算：
$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{3} + 1)^2$
$= [(\sqrt{5})^2 - 2^2] + [(\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×1 + 1^2]$
$= (5 - 4) + (3 + 2\sqrt{3} + 1)$
$=1 + 4 + 2\sqrt{3}$
$=5 + 2\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{5 + 2\sqrt{3}}$
【知识点】
二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，核心是熟练掌握二次根式的运算法则，同时能灵活运用整式乘法公式简化计算，计算时注意遵循运算顺序，先算乘方、乘除，再算加减，合并同类项时注意区分同类二次根式和常数项。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的混合运算，解题思路如下：
(1) 先根据二次根式的乘除运算法则，分别计算除法和乘法部分：二次根式相除时，把被开方数相除，根指数不变；二次根式相乘时，把被开方数相乘，根指数不变。再将计算结果化简后合并同类二次根式即可。
(2) 观察式子结构，前半部分符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，后半部分符合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$的形式，先利用两个乘法公式分别展开计算，再合并同类项和同类二次根式即可。
【解析】
(1) 按照先乘除后加减的顺序计算：
$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} + \sqrt{10} × \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{5}$
$= \sqrt{\frac{27}{3}} + \sqrt{10×\frac{1}{2}} - \sqrt{5}$
$= \sqrt{9} + \sqrt{5} - \sqrt{5}$
$= 3 + \sqrt{5} - \sqrt{5}$
$=3$
(2) 利用乘法公式简化计算：
$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{3} + 1)^2$
$= [(\sqrt{5})^2 - 2^2] + [(\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×1 + 1^2]$
$= (5 - 4) + (3 + 2\sqrt{3} + 1)$
$=1 + 4 + 2\sqrt{3}$
$=5 + 2\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{5 + 2\sqrt{3}}$
【知识点】
二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，核心是熟练掌握二次根式的运算法则，同时能灵活运用整式乘法公式简化计算，计算时注意遵循运算顺序，先算乘方、乘除，再算加减，合并同类项时注意区分同类二次根式和常数项。
【难度系数】
0.8
12.图(1)是某品牌婴儿车，图(2)为其简化结构示意图.根据安全标准需满足$BC⊥ CD$，现测得$AB=CD=6\ \mathrm{dm}$，$BC=3\ \mathrm{dm}$，$AD=9\ \mathrm{dm}$，其中$AB$与$BD$之间由一个固定为$90°$的零件连接(即$∠ ABD=90°$)，通过计算说明该车是否符合安全标准.
答案
12.解: 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$BD^2 = AD^2 - AB^2 = 9^2 - 6^2 = 45$,
在$△ BCD$中，$BC^2 + CD^2 = 3^2 + 6^2 = 45$,
$\therefore BC^2 + CD^2 = BD^2$.
$\therefore ∠ BCD = 90°$.
$\therefore BC⊥ CD$.
故该车符合安全标准.
在$△ BCD$中，$BC^2 + CD^2 = 3^2 + 6^2 = 45$,
$\therefore BC^2 + CD^2 = BD^2$.
$\therefore ∠ BCD = 90°$.
$\therefore BC⊥ CD$.
故该车符合安全标准.
解析
【分析】
要判断该车是否符合安全标准，本质是验证$∠ BCD$是否为$90°$，也就是$BC⊥ CD$。首先已知$△ ABD$是直角三角形，$∠ ABD=90°$，且给出了$AB$、$AD$的长度，我们可以先借助勾股定理求出$BD^2$的值；再在$△ BCD$中，计算$BC^2$与$CD^2$的和，将其与$BD^2$对比，若二者相等，根据勾股定理的逆定理就能判定$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD$为直角，即可得到最终结论。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，根据勾股定理：
$BD^2 = AD^2 - AB^2 = 9^2 - 6^2 = 81-36=45$
在$△ BCD$中，计算两边平方和：
$BC^2 + CD^2 = 3^2 + 6^2 =9+36= 45$
$\therefore BC^2 + CD^2 = BD^2$
根据勾股定理的逆定理，$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD = 90°$，即$BC⊥ CD$。
【答案】
该车符合安全标准
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；垂直的判定
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的应用，解题的核心是将实际安全标准转化为几何中垂直的判定问题，只要熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，就能顺利完成计算和判断。
【难度系数】
0.7
要判断该车是否符合安全标准，本质是验证$∠ BCD$是否为$90°$，也就是$BC⊥ CD$。首先已知$△ ABD$是直角三角形，$∠ ABD=90°$，且给出了$AB$、$AD$的长度，我们可以先借助勾股定理求出$BD^2$的值；再在$△ BCD$中，计算$BC^2$与$CD^2$的和，将其与$BD^2$对比，若二者相等，根据勾股定理的逆定理就能判定$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD$为直角，即可得到最终结论。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，根据勾股定理：
$BD^2 = AD^2 - AB^2 = 9^2 - 6^2 = 81-36=45$
在$△ BCD$中，计算两边平方和：
$BC^2 + CD^2 = 3^2 + 6^2 =9+36= 45$
$\therefore BC^2 + CD^2 = BD^2$
根据勾股定理的逆定理，$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD = 90°$，即$BC⊥ CD$。
【答案】
该车符合安全标准
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；垂直的判定
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的应用，解题的核心是将实际安全标准转化为几何中垂直的判定问题，只要熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，就能顺利完成计算和判断。
【难度系数】
0.7
13.一个三角形的三边长分别为 $7a\sqrt{8a}$，$4a^2\sqrt{\dfrac{1}{8a}}$，$4a\sqrt{2a}$。
(1)求该三角形的周长；
(2)请你给一个适当的$a$值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值。
(1)求该三角形的周长；
(2)请你给一个适当的$a$值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值。
答案
13.解: (1)由题意，得周长$=7a\sqrt{8a} + 4a^2\sqrt{\frac{1}{8a}} + 4a\sqrt{2a} = 14a\sqrt{2a} + a\sqrt{2a} + 4a\sqrt{2a} = 19a\sqrt{2a}$.
(2)由题意，得当$a=2$时，周长$=38×\sqrt{4}=76$(答案不唯一).
(2)由题意，得当$a=2$时，周长$=38×\sqrt{4}=76$(答案不唯一).
解析
【分析】
(1)三角形周长等于三边长之和，解题时先将三个含二次根式的边长分别化为最简二次根式，再合并同类二次根式就能得到周长的表达式；
(2)要让周长为整数，需使根号部分$\sqrt{2a}$化简后不含根号，即2a为完全平方数，同时注意二次根式有意义的条件是$a＞0$，选取符合要求的$a$值代入计算即可。
【解析】
(1)根据三角形周长公式列式：
周长$=7a\sqrt{8a} + 4a^2\sqrt{\dfrac{1}{8a}} + 4a\sqrt{2a}$
分别化简各项：
$7a\sqrt{8a}=7a×2\sqrt{2a}=14a\sqrt{2a}$
$4a^2\sqrt{\dfrac{1}{8a}}=4a^2×\dfrac{\sqrt{2a}}{4a}=a\sqrt{2a}$
$4a\sqrt{2a}$为最简形式，合并同类二次根式：
周长$=14a\sqrt{2a} + a\sqrt{2a} + 4a\sqrt{2a}=19a\sqrt{2a}$
(2)取$a=2$（$a＞0$且$2a=4$为完全平方数，答案不唯一），代入周长表达式：
周长$=19×2×\sqrt{2×2}=38×2=76$
【答案】
(1)该三角形的周长为$\boldsymbol{19a\sqrt{2a}}$；
(2)当$a=2$时，周长为$\boldsymbol{76}$（答案不唯一）。
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并、三角形周长计算
【点评】
本题是二次根式的基础应用题，重点考察二次根式的化简规则和同类二次根式的合并方法，第二问为开放性问题，取值时只要满足二次根式有意义且周长为整数即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.7
(1)三角形周长等于三边长之和，解题时先将三个含二次根式的边长分别化为最简二次根式，再合并同类二次根式就能得到周长的表达式；
(2)要让周长为整数，需使根号部分$\sqrt{2a}$化简后不含根号，即2a为完全平方数，同时注意二次根式有意义的条件是$a＞0$，选取符合要求的$a$值代入计算即可。
【解析】
(1)根据三角形周长公式列式：
周长$=7a\sqrt{8a} + 4a^2\sqrt{\dfrac{1}{8a}} + 4a\sqrt{2a}$
分别化简各项：
$7a\sqrt{8a}=7a×2\sqrt{2a}=14a\sqrt{2a}$
$4a^2\sqrt{\dfrac{1}{8a}}=4a^2×\dfrac{\sqrt{2a}}{4a}=a\sqrt{2a}$
$4a\sqrt{2a}$为最简形式，合并同类二次根式：
周长$=14a\sqrt{2a} + a\sqrt{2a} + 4a\sqrt{2a}=19a\sqrt{2a}$
(2)取$a=2$（$a＞0$且$2a=4$为完全平方数，答案不唯一），代入周长表达式：
周长$=19×2×\sqrt{2×2}=38×2=76$
【答案】
(1)该三角形的周长为$\boldsymbol{19a\sqrt{2a}}$；
(2)当$a=2$时，周长为$\boldsymbol{76}$（答案不唯一）。
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并、三角形周长计算
【点评】
本题是二次根式的基础应用题，重点考察二次根式的化简规则和同类二次根式的合并方法，第二问为开放性问题，取值时只要满足二次根式有意义且周长为整数即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.7
