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1.下列式子中，一定是二次根式的是 （
A.$\sqrt{-5}$
B.$\sqrt[3]{2}$
C.$\sqrt{a}$
D.$\sqrt{3}$
D
）A.$\sqrt{-5}$
B.$\sqrt[3]{2}$
C.$\sqrt{a}$
D.$\sqrt{3}$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个式子是二次根式，首先需要明确二次根式的判定标准：一是根指数为2（即开平方，根号左上角的数字2通常省略）；二是被开方数（根号内的数或代数式）必须是非负数，两个条件同时满足才是二次根式。接下来我们用这两个标准逐一分析每个选项即可选出正确答案。
【解析】
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，需同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，对各选项分析如下：
选项A：$\sqrt{-5}$的被开方数是$-5$，$-5＜0$，式子无意义，不符合二次根式要求，排除；
选项B：$\sqrt[3]{2}$的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式，排除；
选项C：$\sqrt{a}$的被开方数$a$取值范围不确定，当$a＜0$时式子无意义，因此不一定是二次根式，排除；
选项D：$\sqrt{3}$的根指数为2，被开方数$3＞0$，完全符合二次根式的定义，一定是二次根式。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次根式定义的理解，解题关键是牢记二次根式需要满足的两个判定条件，尤其注意被开方数必须是非负的这一隐含要求。
【难度系数】
0.8
要判断哪个式子是二次根式，首先需要明确二次根式的判定标准：一是根指数为2（即开平方，根号左上角的数字2通常省略）；二是被开方数（根号内的数或代数式）必须是非负数，两个条件同时满足才是二次根式。接下来我们用这两个标准逐一分析每个选项即可选出正确答案。
【解析】
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，需同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，对各选项分析如下：
选项A：$\sqrt{-5}$的被开方数是$-5$，$-5＜0$，式子无意义，不符合二次根式要求，排除；
选项B：$\sqrt[3]{2}$的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式，排除；
选项C：$\sqrt{a}$的被开方数$a$取值范围不确定，当$a＜0$时式子无意义，因此不一定是二次根式，排除；
选项D：$\sqrt{3}$的根指数为2，被开方数$3＞0$，完全符合二次根式的定义，一定是二次根式。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次根式定义的理解，解题关键是牢记二次根式需要满足的两个判定条件，尤其注意被开方数必须是非负的这一隐含要求。
【难度系数】
0.8
2.下列各组数中,是勾股数的是 （
A.1,2,3
B.0.3,0.4,0.5
C.6,8,10
D.10,20,24
C
）A.1,2,3
B.0.3,0.4,0.5
C.6,8,10
D.10,20,24
答案
2.C
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先要牢记勾股数的两个核心判定条件：①三个数均为正整数；②三个数中较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时先依据第一个条件排除不符合的选项，再对剩余选项用第二个条件验证即可得到答案。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数$a、b、c$叫做勾股数。我们逐个分析选项：
选项A：$1^2+2^2=1+4=5$，$3^2=9$，$5≠9$，不满足勾股定理，不是勾股数；
选项B：0.3、0.4、0.5都是小数，不是正整数，不符合勾股数的定义，排除；
选项C：6、8、10都是正整数，且$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，同时满足两个条件，是勾股数；
选项D：$10^2+20^2=100+400=500$，$24^2=576$，$500≠576$，不满足勾股定理，不是勾股数。
【答案】
C
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理
【点评】
本题是勾股数相关的基础题，易错点是容易忽略勾股数必须是正整数的要求，误选B选项，解题时要牢记两个判定条件结合判断，不要只验证平方和是否相等。
【难度系数】
0.8
要判断一组数是不是勾股数，首先要牢记勾股数的两个核心判定条件：①三个数均为正整数；②三个数中较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时先依据第一个条件排除不符合的选项，再对剩余选项用第二个条件验证即可得到答案。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数$a、b、c$叫做勾股数。我们逐个分析选项：
选项A：$1^2+2^2=1+4=5$，$3^2=9$，$5≠9$，不满足勾股定理，不是勾股数；
选项B：0.3、0.4、0.5都是小数，不是正整数，不符合勾股数的定义，排除；
选项C：6、8、10都是正整数，且$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，同时满足两个条件，是勾股数；
选项D：$10^2+20^2=100+400=500$，$24^2=576$，$500≠576$，不满足勾股定理，不是勾股数。
【答案】
C
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理
【点评】
本题是勾股数相关的基础题，易错点是容易忽略勾股数必须是正整数的要求，误选B选项，解题时要牢记两个判定条件结合判断，不要只验证平方和是否相等。
【难度系数】
0.8
3.下列二次根式中，是最简二次根式的是（
A.$\sqrt{0.5}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
D.$\sqrt{4}$
B
）A.$\sqrt{0.5}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
D.$\sqrt{4}$
答案
3.B
解析
【分析】
要判断一个二次根式是否为最简二次根式，需紧扣最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时将每个选项对照这两个条件逐一排查即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，被开方数含有分母，不符合最简二次根式的要求，不是最简二次根式，化简后为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；
B选项：$\sqrt{7}$的被开方数7是质数，既不含分母，也没有能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义，是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$的被开方数含有分母，不符合要求，化简后为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2$，被开方数含有能开得尽方的因数4，不符合要求，不是最简二次根式。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是牢记最简二次根式的两个判定条件，逐一排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【难度系数】
0.9
要判断一个二次根式是否为最简二次根式，需紧扣最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时将每个选项对照这两个条件逐一排查即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，被开方数含有分母，不符合最简二次根式的要求，不是最简二次根式，化简后为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；
B选项：$\sqrt{7}$的被开方数7是质数，既不含分母，也没有能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义，是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$的被开方数含有分母，不符合要求，化简后为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2$，被开方数含有能开得尽方的因数4，不符合要求，不是最简二次根式。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是牢记最简二次根式的两个判定条件，逐一排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【难度系数】
0.9
4.如图所示，三角形是直角三角形，以点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A，若点A所表示的数为x，则x的值为（
A.$\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.2
D.−2
B
）A.$\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.2
D.−2
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先观察图形，先利用勾股定理求出线段OB的长度，再根据圆的半径相等得到OA的长度，最后结合点A在数轴负半轴的位置，确定A表示的数的符号，即可求出x的值。
【解析】
首先观察直角三角形，两条直角边的长度均为1，根据勾股定理可得：
$OB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
因为OA和OB都是以O为圆心的圆的半径，所以$OA=OB=\sqrt{2}$。
又因为点A位于数轴的负半轴，所以点A表示的数$x=-\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，圆的基本性质
【点评】
本题是数形结合的典型基础题，将几何图形性质和数轴知识结合考查，解题时需要注意不要忽略点所在的数轴半轴导致符号判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形，先利用勾股定理求出线段OB的长度，再根据圆的半径相等得到OA的长度，最后结合点A在数轴负半轴的位置，确定A表示的数的符号，即可求出x的值。
【解析】
首先观察直角三角形，两条直角边的长度均为1，根据勾股定理可得：
$OB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
因为OA和OB都是以O为圆心的圆的半径，所以$OA=OB=\sqrt{2}$。
又因为点A位于数轴的负半轴，所以点A表示的数$x=-\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，圆的基本性质
【点评】
本题是数形结合的典型基础题，将几何图形性质和数轴知识结合考查，解题时需要注意不要忽略点所在的数轴半轴导致符号判断错误。
【难度系数】
0.7
5.下列计算正确的是 （
A.$\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
B.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
C.$4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 1$
D.$3 + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
A
）A.$\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
B.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
C.$4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 1$
D.$3 + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
答案
5.A
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题思路如下：首先明确二次根式加减的核心法则：①先将所有二次根式化为最简二次根式；②只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅将系数相加减，根号和被开方数保持不变，非同类二次根式不能直接合并。接下来依据该法则逐个判断四个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2-1)\sqrt{2}=\sqrt{2}$，计算正确。
B选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接相加合并为$\sqrt{5}$，计算错误。
C选项：同类二次根式合并时系数相加减，因此$4\sqrt{3}-4\sqrt{3}=(4-4)\sqrt{3}=0$，不是1，计算错误。
D选项：$3$是有理数，$2\sqrt{2}$是无理数，二者不属于同类二次根式，不能直接合并为$5\sqrt{2}$，计算错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式化简；同类二次根式；二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是掌握二次根式加减的运算规则，易错点是容易对非同类的二次根式直接进行合并计算，做题时要先判断是否为同类二次根式再计算。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的加减运算，解题思路如下：首先明确二次根式加减的核心法则：①先将所有二次根式化为最简二次根式；②只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅将系数相加减，根号和被开方数保持不变，非同类二次根式不能直接合并。接下来依据该法则逐个判断四个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2-1)\sqrt{2}=\sqrt{2}$，计算正确。
B选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接相加合并为$\sqrt{5}$，计算错误。
C选项：同类二次根式合并时系数相加减，因此$4\sqrt{3}-4\sqrt{3}=(4-4)\sqrt{3}=0$，不是1，计算错误。
D选项：$3$是有理数，$2\sqrt{2}$是无理数，二者不属于同类二次根式，不能直接合并为$5\sqrt{2}$，计算错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式化简；同类二次根式；二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是掌握二次根式加减的运算规则，易错点是容易对非同类的二次根式直接进行合并计算，做题时要先判断是否为同类二次根式再计算。
【难度系数】
0.8
6.实数$\sqrt{13}$在哪两个相邻整数之间？（
A.5和6
B.4和5
C.3和4
D.2和3
C
）A.5和6
B.4和5
C.3和4
D.2和3
答案
6.C
解析
【分析】
要判断算术平方根形式的无理数在哪两个相邻整数之间，核心思路是找到和被开方数相邻的两个完全平方数，再利用算术平方根的大小比较规律（被开方数越大，算术平方根越大）推导范围。首先找出比13小的最大完全平方数，以及比13大的最小完全平方数，再对这两个完全平方数开方，就能得到$\sqrt{13}$的区间范围。
【解析】
解：先计算相邻正整数的平方：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，
且 $9 ＜ 13 ＜ 16$，
根据算术平方根的性质：当被开方数都为正数时，被开方数越大，对应的算术平方根越大，可得：
$\sqrt{9} ＜ \sqrt{13} ＜ \sqrt{16}$，
化简得 $3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$，
因此$\sqrt{13}$在3和4两个相邻整数之间。
【答案】
C
【知识点】
1.无理数的估算
2.算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，考查无理数大小估算的核心方法，解题的关键是熟练掌握完全平方数以及算术平方根的大小比较规律，掌握该方法即可快速求解同类题型。
【难度系数】
0.9
要判断算术平方根形式的无理数在哪两个相邻整数之间，核心思路是找到和被开方数相邻的两个完全平方数，再利用算术平方根的大小比较规律（被开方数越大，算术平方根越大）推导范围。首先找出比13小的最大完全平方数，以及比13大的最小完全平方数，再对这两个完全平方数开方，就能得到$\sqrt{13}$的区间范围。
【解析】
解：先计算相邻正整数的平方：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，
且 $9 ＜ 13 ＜ 16$，
根据算术平方根的性质：当被开方数都为正数时，被开方数越大，对应的算术平方根越大，可得：
$\sqrt{9} ＜ \sqrt{13} ＜ \sqrt{16}$，
化简得 $3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$，
因此$\sqrt{13}$在3和4两个相邻整数之间。
【答案】
C
【知识点】
1.无理数的估算
2.算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，考查无理数大小估算的核心方法，解题的关键是熟练掌握完全平方数以及算术平方根的大小比较规律，掌握该方法即可快速求解同类题型。
【难度系数】
0.9
7.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，这是古诗《村居》中的诗句，大意是孩子们放学了急忙跑回家，趁着东风把风筝放上蓝天.星期天，小华同学在公园放风筝，如图所示，小华为测量风筝能飞多高，测得风筝线BC=15 m，身高AB=1.7 m，AE=12 m，BD⊥CE，则风筝离地面的高度为 （
A.9 m
B.9.7 m
C.10.7 m
D.11.7 m
C
）A.9 m
B.9.7 m
C.10.7 m
D.11.7 m
答案
7.C
解析
【分析】
要计算风筝离地面的高度，即求CE的长度。我们可以将CE拆分为CD和DE两段求解：首先根据题意可知四边形ABDE是矩形，利用矩形性质可得DE=AB（即小华的身高），BD=AE；再结合BD⊥CE可知△BCD是直角三角形，已知斜边BC和直角边BD的长度，用勾股定理即可求出CD的长度，最后将CD与DE相加就能得到最终高度。
【解析】
解：由题意得，四边形ABDE为矩形，
∴DE=AB=1.7m，BD=AE=12m，
∵BD⊥CE，
∴△BCD为直角三角形，
在Rt△BCD中，根据勾股定理：
$CD^2 + BD^2 = BC^2$
代入$BC=15\mathrm{m}$，$BD=12\mathrm{m}$得：
$CD^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$
∵CD为长度，取正值，
∴$CD=9\mathrm{m}$
∴风筝离地面的高度$CE=CD + DE = 9 + 1.7 = 10.7\mathrm{m}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的性质
【点评】
本题结合放风筝的生活场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为几何模型，利用矩形性质转化已知边长，再通过勾股定理求未知边长，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
要计算风筝离地面的高度，即求CE的长度。我们可以将CE拆分为CD和DE两段求解：首先根据题意可知四边形ABDE是矩形，利用矩形性质可得DE=AB（即小华的身高），BD=AE；再结合BD⊥CE可知△BCD是直角三角形，已知斜边BC和直角边BD的长度，用勾股定理即可求出CD的长度，最后将CD与DE相加就能得到最终高度。
【解析】
解：由题意得，四边形ABDE为矩形，
∴DE=AB=1.7m，BD=AE=12m，
∵BD⊥CE，
∴△BCD为直角三角形，
在Rt△BCD中，根据勾股定理：
$CD^2 + BD^2 = BC^2$
代入$BC=15\mathrm{m}$，$BD=12\mathrm{m}$得：
$CD^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$
∵CD为长度，取正值，
∴$CD=9\mathrm{m}$
∴风筝离地面的高度$CE=CD + DE = 9 + 1.7 = 10.7\mathrm{m}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的性质
【点评】
本题结合放风筝的生活场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为几何模型，利用矩形性质转化已知边长，再通过勾股定理求未知边长，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
8.已知$a$，$b$，$c$分别是一个三角形的三条边长，且满足$|a-2|+(b-\sqrt{13})^2+\sqrt{c-3}=0$，则这个三角形的形状是
直角三角形
.答案
8.直角三角形
解析
【分析】
首先，我们知道绝对值、完全平方数、算术平方根都具有非负性，即它们的结果都大于等于0。当几个非负数的和为0时，每一个非负数都必须等于0，我们可以据此先求出a、b、c的值。接下来要判断三角形的形状，我们可以用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则为直角三角形。
【解析】
解：
∵ |a-2|≥0，$(b-\sqrt{13})^2$≥0，$\sqrt{c-3}$≥0，且三者相加和为0
∴ 每一项都为0，即：
$a-2=0$，解得$a=2$
$b-\sqrt{13}=0$，解得$b=\sqrt{13}$
$c-3=0$，解得$c=3$
接下来计算各边的平方：
$a^2=2^2=4$，$c^2=3^2=9$，$b^2=(\sqrt{13})^2=13$
∵ $a^2 + c^2 = 4 + 9 = 13 = b^2$
∴ 根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础常考题，将非负性的应用和三角形形状判定结合考查，解题的关键是熟练掌握常见非负形式的性质，能灵活运用勾股定理的逆定理根据边长判断三角形形状。
【难度系数】
0.8
首先，我们知道绝对值、完全平方数、算术平方根都具有非负性，即它们的结果都大于等于0。当几个非负数的和为0时，每一个非负数都必须等于0，我们可以据此先求出a、b、c的值。接下来要判断三角形的形状，我们可以用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则为直角三角形。
【解析】
解：
∵ |a-2|≥0，$(b-\sqrt{13})^2$≥0，$\sqrt{c-3}$≥0，且三者相加和为0
∴ 每一项都为0，即：
$a-2=0$，解得$a=2$
$b-\sqrt{13}=0$，解得$b=\sqrt{13}$
$c-3=0$，解得$c=3$
接下来计算各边的平方：
$a^2=2^2=4$，$c^2=3^2=9$，$b^2=(\sqrt{13})^2=13$
∵ $a^2 + c^2 = 4 + 9 = 13 = b^2$
∴ 根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础常考题，将非负性的应用和三角形形状判定结合考查，解题的关键是熟练掌握常见非负形式的性质，能灵活运用勾股定理的逆定理根据边长判断三角形形状。
【难度系数】
0.8
9.如图所示,有一个圆柱形物体,一只蚂蚁要绕着圆柱外壁从A点爬到B点,圆周率π取3,则蚂蚁爬行的最短路径长为
$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
.答案
9.$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
要计算蚂蚁沿圆柱外壁从A爬到B的最短路径，需将立体的圆柱侧面转化为平面图形求解：首先把圆柱侧面展开成长方形，根据“两点之间线段最短”，最短路径就是展开后A、B两点连线的长度，这条线段是直角三角形的斜边，两条直角边分别对应圆柱的高和底面半周长，最后用勾股定理计算即可。
【解析】
将圆柱的侧面沿过A点的高剪开，展开得到一个长方形：
1. 计算底面半周长：已知圆柱底面直径为4cm，π取3，底面周长=π×直径=3×4=12cm，因此半周长为12÷2=6cm，即直角三角形的一条直角边长为6cm；
2. 圆柱的高为6cm，即直角三角形的另一条直角边长为6cm；
3. 根据勾股定理，最短路径长=$\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ cm。
【答案】
$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆柱侧面展开图、勾股定理、最短路径求解
【点评】
本题是立体图形最短路径的经典题型，核心考查“化曲为直”的转化思想，解题时要注意展开后水平方向的长度是底面半周长，而非整个周长或直径，避免代入错误数据计算。
【难度系数】
0.7
要计算蚂蚁沿圆柱外壁从A爬到B的最短路径，需将立体的圆柱侧面转化为平面图形求解：首先把圆柱侧面展开成长方形，根据“两点之间线段最短”，最短路径就是展开后A、B两点连线的长度，这条线段是直角三角形的斜边，两条直角边分别对应圆柱的高和底面半周长，最后用勾股定理计算即可。
【解析】
将圆柱的侧面沿过A点的高剪开，展开得到一个长方形：
1. 计算底面半周长：已知圆柱底面直径为4cm，π取3，底面周长=π×直径=3×4=12cm，因此半周长为12÷2=6cm，即直角三角形的一条直角边长为6cm；
2. 圆柱的高为6cm，即直角三角形的另一条直角边长为6cm；
3. 根据勾股定理，最短路径长=$\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ cm。
【答案】
$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆柱侧面展开图、勾股定理、最短路径求解
【点评】
本题是立体图形最短路径的经典题型，核心考查“化曲为直”的转化思想，解题时要注意展开后水平方向的长度是底面半周长，而非整个周长或直径，避免代入错误数据计算。
【难度系数】
0.7
所示的“数值转换机”计算，若开始输入的$n$值为$\sqrt{2}$，则最后输出的结果是
$8+5\sqrt{2}$
答案
10.$8+5\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题属于程序类数值运算题，解题思路如下：首先明确数值转换机的运算规则：输入n后先计算n²+n，再判断结果是否小于10，若结果＜10则将该结果作为新的n重新代入计算，若结果≥10则直接输出。第一步先将初始值n=√2代入运算，判断结果不符合输出条件，再进行二次代入运算，二次运算结果符合输出条件即可得到最终答案，计算时注意正确运用完全平方公式和二次根式的运算法则。
【解析】
按照数值转换机的运算规则逐步计算：
1. 第一次输入n=√2：
运算结果为：$n^2 + n = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$
∵ $2+\sqrt{2} \approx 3.414 ＜ 10$，不符合输出条件，将$2+\sqrt{2}$作为新的输入值再次计算。
2. 第二次输入$n=2+\sqrt{2}$：
运算结果为：$n^2 + n = (2+\sqrt{2})^2 + (2+\sqrt{2})$
根据完全平方公式展开$(2+\sqrt{2})^2$：
$(2+\sqrt{2})^2 = 2^2 + 2×2×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2}$
代入原式得：$6 + 4\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} = 8 + 5\sqrt{2}$
∵ $8+5\sqrt{2} \approx 15.07 ＞ 10$，符合输出条件。
【答案】
$8+5\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式运算，完全平方公式，程序运算
【点评】
本题将程序运算与整式、二次根式运算结合考查，解题的关键是理清运算流程，不要遗漏迭代计算步骤，运算过程中要注意完全平方公式的正确展开和同类二次根式的合并，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
本题属于程序类数值运算题，解题思路如下：首先明确数值转换机的运算规则：输入n后先计算n²+n，再判断结果是否小于10，若结果＜10则将该结果作为新的n重新代入计算，若结果≥10则直接输出。第一步先将初始值n=√2代入运算，判断结果不符合输出条件，再进行二次代入运算，二次运算结果符合输出条件即可得到最终答案，计算时注意正确运用完全平方公式和二次根式的运算法则。
【解析】
按照数值转换机的运算规则逐步计算：
1. 第一次输入n=√2：
运算结果为：$n^2 + n = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$
∵ $2+\sqrt{2} \approx 3.414 ＜ 10$，不符合输出条件，将$2+\sqrt{2}$作为新的输入值再次计算。
2. 第二次输入$n=2+\sqrt{2}$：
运算结果为：$n^2 + n = (2+\sqrt{2})^2 + (2+\sqrt{2})$
根据完全平方公式展开$(2+\sqrt{2})^2$：
$(2+\sqrt{2})^2 = 2^2 + 2×2×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2}$
代入原式得：$6 + 4\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} = 8 + 5\sqrt{2}$
∵ $8+5\sqrt{2} \approx 15.07 ＞ 10$，符合输出条件。
【答案】
$8+5\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式运算，完全平方公式，程序运算
【点评】
本题将程序运算与整式、二次根式运算结合考查，解题的关键是理清运算流程，不要遗漏迭代计算步骤，运算过程中要注意完全平方公式的正确展开和同类二次根式的合并，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
