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1 给出一列数:1,5,11,19,….按此规律排列,第7个数是 (
A.37
B.41
C.55
D.71
C
)A.37
B.41
C.55
D.71
答案
1. C 【解析】1=1×2-1,5=2×3-1,11=3×4-1,19=4×5-1,…,第n(n为正整数)个数为n(n+1)-1,所以第7个数是7×(7+1)-1=55.
解析
【分析】
解决这类数字规律探究题，首先要将数列中的每个数和它对应的位置序号（第1个、第2个……第n个）对应起来，通过对已知数变形寻找统一的运算规则：观察给出的前4个数，可发现每个数都能拆成“序号×(序号+1)-1”的形式，总结出第n个数的通用表达式后，将n=7代入表达式计算即可得到第7个数的值。
【解析】
我们将已知数和对应序号对应分析：
第1个数：$1=1×(1+1)-1=1×2-1第2个数：$5=2×(2+1)-1=2×3-1
第3个数：$11=3×(3+1)-1=3×4-1第4个数：$19=4×(4+1)-1=4×5-1
……
由此可归纳出，第n（n为正整数）个数的表达式为$\boldsymbol{n(n+1)-1}$。
当求第7个数时，令$n=7$，代入表达式得：
$7×(7+1)-1=7×8-1=56-1=55$
【答案】C
【知识点】数字规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】本题是规律探究类的常见题型，解题关键是通过已知数找到数与对应序号的运算关系，归纳出通用的代数式后再代入指定序号计算，掌握找规律的基本思路就能快速作答。
【难度系数】0.7
解决这类数字规律探究题，首先要将数列中的每个数和它对应的位置序号（第1个、第2个……第n个）对应起来，通过对已知数变形寻找统一的运算规则：观察给出的前4个数，可发现每个数都能拆成“序号×(序号+1)-1”的形式，总结出第n个数的通用表达式后，将n=7代入表达式计算即可得到第7个数的值。
【解析】
我们将已知数和对应序号对应分析：
第1个数：$1=1×(1+1)-1=1×2-1第2个数：$5=2×(2+1)-1=2×3-1
第3个数：$11=3×(3+1)-1=3×4-1第4个数：$19=4×(4+1)-1=4×5-1
……
由此可归纳出，第n（n为正整数）个数的表达式为$\boldsymbol{n(n+1)-1}$。
当求第7个数时，令$n=7$，代入表达式得：
$7×(7+1)-1=7×8-1=56-1=55$
【答案】C
【知识点】数字规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】本题是规律探究类的常见题型，解题关键是通过已知数找到数与对应序号的运算关系，归纳出通用的代数式后再代入指定序号计算，掌握找规律的基本思路就能快速作答。
【难度系数】0.7
2 [2024 云南]按一定规律排列的代数式：$2x,3x^{2},4x^{3},5x^{4},6x^{5},···$，则第$n$（$n$为正整数）个代数式为________.
答案
2. $(n+1)x^{n}$
解析
【分析】
解决这类代数式规律探究题，可将每个单项式拆分为系数和含字母的部分，分别找两部分的变化规律，再合并得到第n个代数式。第一步先观察系数：第1个式子系数是2，第2个是3，第3个是4……可发现系数比式子的序号大1，即第n个的系数为n+1；第二步观察x的指数：第1个式子x的指数是1，第2个是2，第3个是3……可知第n个式子x的指数就是n；最后将两部分组合即可得到结果。
【解析】
逐个分析给出的代数式：
第1个代数式：$2x=(1+1)x^{1}$
第2个代数式：$3x^{2}=(2+1)x^{2}$
第3个代数式：$4x^{3}=(3+1)x^{3}$
第4个代数式：$5x^{4}=(4+1)x^{4}$
……
按照该规律，第n（n为正整数）个代数式的系数为$n+1$，x的次数为$n$，因此第n个代数式为$(n+1)x^{n}$。
【答案】
$(n+1)x^{n}$
【知识点】
代数式规律探究，单项式的系数与次数，用字母表示数
【点评】
这是规律探究类的基础题型，解题核心是将单项式拆解为系数、字母指数两个独立部分分别寻找规律，再整合得到通用表达式，掌握拆分找规律的方法可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
解决这类代数式规律探究题，可将每个单项式拆分为系数和含字母的部分，分别找两部分的变化规律，再合并得到第n个代数式。第一步先观察系数：第1个式子系数是2，第2个是3，第3个是4……可发现系数比式子的序号大1，即第n个的系数为n+1；第二步观察x的指数：第1个式子x的指数是1，第2个是2，第3个是3……可知第n个式子x的指数就是n；最后将两部分组合即可得到结果。
【解析】
逐个分析给出的代数式：
第1个代数式：$2x=(1+1)x^{1}$
第2个代数式：$3x^{2}=(2+1)x^{2}$
第3个代数式：$4x^{3}=(3+1)x^{3}$
第4个代数式：$5x^{4}=(4+1)x^{4}$
……
按照该规律，第n（n为正整数）个代数式的系数为$n+1$，x的次数为$n$，因此第n个代数式为$(n+1)x^{n}$。
【答案】
$(n+1)x^{n}$
【知识点】
代数式规律探究，单项式的系数与次数，用字母表示数
【点评】
这是规律探究类的基础题型，解题核心是将单项式拆解为系数、字母指数两个独立部分分别寻找规律，再整合得到通用表达式，掌握拆分找规律的方法可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
3 现有一列整数,第一个数为 1,第二个数为 $ x $（$ x $ 为正整数）.以后每一个数都由它前一个数与再前一个数差的绝对值得到.如第三个数是 $ x $ 与 1 的差的绝对值,即 $ |x - 1| $,第四个数是 $ |x - 1| $ 与 $ x $ 的差的绝对值,即 $ ||x - 1| - x| $,…依此类推,要使这列数的前 101 个数中恰好有 30 个 0,则 $ x = $
7或8
.答案
3. 7或8 【解析】易知当$x ≤ 3$时,不符合题意. ① 当$x$为大于3的偶数时,这列数为1,$x$,$x-1$,1,$x-2$,$x-3$,…,1,2,1,1,0,1,1,0,1,…,观察可得出,每3个为一组,每组第1个数均为1,第2个、第3个数从$x$开始依次-1,直至减到1,然后开始1,0,1循环.因为前101个数中恰好有30个0,$101÷3=33······2$,所以前4组不含0,即前4组的第2个、第3个数从$x$开始减到1,从第5组开始后的29组均为1,0,1,剩余的两个数为1,0,共30个0.所以$x=2×4=8$.所以这列数为1,8,7,1,6,5,1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,…,1,0.② 当$x$为大于3的奇数时,这列数为1,$x$,$x-1$,1,$x-2$,$x-3$,…,1,3,2,1,1,0,1,1,0,…,观察可得出,每3个为一组,每组第1个数均为1,第2个、第3个数从$x$开始依次-1,直至减到2,然后开始1,1,0循环.因为前101个数中恰好有30个0,$101÷3=33······2$,所以前3组不含0,即前3组的第2个、第3个数从$x$开始减到2,从第4组开始后的30组均为1,1,0,剩余的两个数为1,1,共30个0.所以$x=2×3+1=7$.所以这列数为1,7,6,1,5,4,1,3,2,1,1,0,1,1,0,…,1,1.综上所述,$x$的值为7或8.
解析
【分析】
解题时首先明确数列生成规则：从第三项起，每一项均为前两项差的绝对值。先代入较小的正整数x验证，可发现x≤3时前101项中0的数量超过30，不符合要求。接下来观察x＞3时的数列特征，可知数列分为两部分：前面的非循环段和出现0之后的“1,1,0”循环段，每个循环含1个0。再分x为偶数、奇数两类情况讨论，结合总个数101和0的个数30，先计算非循环段的长度，反推即可得到x的值。
【解析】
先验证x≤3的情况：
x=1时，数列为1,1,0,1,1,0…每3个一循环，101÷3=33余2，共33个0，不符合要求；
x=2时，数列为1,2,1,1,0,1,1,0…前3项无0，剩余98项共32个0，总0数为32，不符合要求；
x=3时，数列为1,3,2,1,1,0,1,1,0…前4项无0，剩余97项共32个0，总0数为32，不符合要求；
故x＞3，分两类讨论：
① 当x为大于3的偶数时，数列形式为：1，x，x-1，1，x-2，x-3，1，x-4，x-5，…，1，2，1，1，0，1，1，0…
规律为每3个数为一组，每组第一个数为1，后两个数从x开始依次减1，直到减到1后进入“1,1,0”的循环，每个循环含1个0。
101÷3=33组余2个数，要总共有30个0，说明循环部分有30个0，对应非循环的组数为4组，即x=2×4=8。
验证：前4组共12个数无0，剩余101-12=89个数，89÷3=29余2，含29+1=30个0，符合要求。
② 当x为大于3的奇数时，数列形式为：1，x，x-1，1，x-2，x-3，…，1，3，2，1，1，0，1，1，0…
规律为每3个数为一组，每组第一个数为1，后两个数从x开始依次减1，直到减到2后进入“1,1,0”的循环，每个循环含1个0。
101÷3=33组余2个数，要总共有30个0，对应非循环的组数为3组，即x=2×3+1=7。
验证：前3组共9个数无0，剩余101-9=92个数，92÷3=30余2，含30个0，符合要求。
【答案】
7或8
【知识点】
数字规律探究，绝对值的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，解题核心是通过枚举归纳出数列的周期特征，结合分类讨论思想，根据0的个数反向推导参数x的取值，能有效考查学生的归纳推理和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.3
解题时首先明确数列生成规则：从第三项起，每一项均为前两项差的绝对值。先代入较小的正整数x验证，可发现x≤3时前101项中0的数量超过30，不符合要求。接下来观察x＞3时的数列特征，可知数列分为两部分：前面的非循环段和出现0之后的“1,1,0”循环段，每个循环含1个0。再分x为偶数、奇数两类情况讨论，结合总个数101和0的个数30，先计算非循环段的长度，反推即可得到x的值。
【解析】
先验证x≤3的情况：
x=1时，数列为1,1,0,1,1,0…每3个一循环，101÷3=33余2，共33个0，不符合要求；
x=2时，数列为1,2,1,1,0,1,1,0…前3项无0，剩余98项共32个0，总0数为32，不符合要求；
x=3时，数列为1,3,2,1,1,0,1,1,0…前4项无0，剩余97项共32个0，总0数为32，不符合要求；
故x＞3，分两类讨论：
① 当x为大于3的偶数时，数列形式为：1，x，x-1，1，x-2，x-3，1，x-4，x-5，…，1，2，1，1，0，1，1，0…
规律为每3个数为一组，每组第一个数为1，后两个数从x开始依次减1，直到减到1后进入“1,1,0”的循环，每个循环含1个0。
101÷3=33组余2个数，要总共有30个0，说明循环部分有30个0，对应非循环的组数为4组，即x=2×4=8。
验证：前4组共12个数无0，剩余101-12=89个数，89÷3=29余2，含29+1=30个0，符合要求。
② 当x为大于3的奇数时，数列形式为：1，x，x-1，1，x-2，x-3，…，1，3，2，1，1，0，1，1，0…
规律为每3个数为一组，每组第一个数为1，后两个数从x开始依次减1，直到减到2后进入“1,1,0”的循环，每个循环含1个0。
101÷3=33组余2个数，要总共有30个0，对应非循环的组数为3组，即x=2×3+1=7。
验证：前3组共9个数无0，剩余101-9=92个数，92÷3=30余2，含30个0，符合要求。
【答案】
7或8
【知识点】
数字规律探究，绝对值的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，解题核心是通过枚举归纳出数列的周期特征，结合分类讨论思想，根据0的个数反向推导参数x的取值，能有效考查学生的归纳推理和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.3
4 [2024 绵阳]如图,将全体正偶数排成一个三角形数阵,从上向下数有无数多行,其中第1行有1个数为2,第2行有2个数为4,6,…,第$n$行有$n$个数.探究其中规律,则第$n(n≥ 3$且$n$为整数)行从左至右第3个数不可能是 （
A.36
B.96
C.226
D.426
C
）A.36
B.96
C.226
D.426
答案
4. C 【解析】因为$2=1×2,6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6,\dots$,所以第$n$行的最后一个数可表示为$n(n+1)$.所以从第3行起,第$n$行左起的第3个数可表示为$n(n-1)+6$($n≥3$且$n$为整数).当$n=6$时,$n(n-1)+6=36$;当$n=10$时,$n(n-1)+6=96$;当$n=21$时,$n(n-1)+6=426$.因为当$n=15$时,$n(n-1)+6=216$;当$n=16$时,$n(n-1)+6=246$,且$216＜226＜246$,所以第$n$($n≥3$且$n$为整数)行从左至右第3个数不可能是226.
解析
【分析】
首先观察数阵特征：数阵由连续正偶数组成，第n行有n个数。先找每行最后一个数的规律：第1行最后一个数为2=1×2，第2行最后一个数为6=2×3，第3行最后一个数为12=3×4，以此类推可得第(n-1)行的最后一个数为n(n-1)。要求第n行左起第3个数，就是在第(n-1)行末尾数的基础上往后加3个2（相邻偶数差2），即可得到第n行左起第3个数的表达式为n(n-1)+6。最后将四个选项分别代入表达式，若存在≥3的整数n使等式成立则符合要求，否则即为不可能的数。
【解析】
观察数阵中每行的最后一个数：
第1行最后1个数：$2=1×2$
第2行最后1个数：$6=2×3$
第3行最后1个数：$12=3×4$
第4行最后1个数：$20=4×5$
……
由此可得，第k行最后一个数为$k(k+1)$，则第$(n-1)$行的最后一个数为$(n-1)n$。
因为数阵中相邻两个数相差2，因此第n行从左到右的数依次为$(n-1)n+2$、$(n-1)n+4$、$(n-1)n+6$……，即第$n(n≥3)$行从左至右第3个数可表示为$n(n-1)+6$。
分别验证各选项：
当$n=6$时，$n(n-1)+6=6×5+6=36$，36符合要求；
当$n=10$时，$n(n-1)+6=10×9+6=96$，96符合要求；
当$n=15$时，$n(n-1)+6=15×14+6=216$，当$n=16$时，$n(n-1)+6=16×15+6=246$，226介于216和246之间，没有符合条件的整数n，不符合要求；
当$n=21$时，$n(n-1)+6=21×20+6=426$，426符合要求。
因此第n行从左至右第3个数不可能是226。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题关键是通过观察特殊位置的数归纳出通用规律，推导得到目标位置数的表达式，再通过代入验证排除错误选项，考查学生的观察归纳能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
首先观察数阵特征：数阵由连续正偶数组成，第n行有n个数。先找每行最后一个数的规律：第1行最后一个数为2=1×2，第2行最后一个数为6=2×3，第3行最后一个数为12=3×4，以此类推可得第(n-1)行的最后一个数为n(n-1)。要求第n行左起第3个数，就是在第(n-1)行末尾数的基础上往后加3个2（相邻偶数差2），即可得到第n行左起第3个数的表达式为n(n-1)+6。最后将四个选项分别代入表达式，若存在≥3的整数n使等式成立则符合要求，否则即为不可能的数。
【解析】
观察数阵中每行的最后一个数：
第1行最后1个数：$2=1×2$
第2行最后1个数：$6=2×3$
第3行最后1个数：$12=3×4$
第4行最后1个数：$20=4×5$
……
由此可得，第k行最后一个数为$k(k+1)$，则第$(n-1)$行的最后一个数为$(n-1)n$。
因为数阵中相邻两个数相差2，因此第n行从左到右的数依次为$(n-1)n+2$、$(n-1)n+4$、$(n-1)n+6$……，即第$n(n≥3)$行从左至右第3个数可表示为$n(n-1)+6$。
分别验证各选项：
当$n=6$时，$n(n-1)+6=6×5+6=36$，36符合要求；
当$n=10$时，$n(n-1)+6=10×9+6=96$，96符合要求；
当$n=15$时，$n(n-1)+6=15×14+6=216$，当$n=16$时，$n(n-1)+6=16×15+6=246$，226介于216和246之间，没有符合条件的整数n，不符合要求；
当$n=21$时，$n(n-1)+6=21×20+6=426$，426符合要求。
因此第n行从左至右第3个数不可能是226。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题关键是通过观察特殊位置的数归纳出通用规律，推导得到目标位置数的表达式，再通过代入验证排除错误选项，考查学生的观察归纳能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
5 如图,将从1开始的自然数按图中规律排列,例如:位于第3行、第4列的数是12,则位于第35行、第4列的数是
1222
.答案
5. 1222 【解析】由题图可知,第1行第1个数是$1^2$,第2行第1个数是$2^2$,第3行第1个数是$3^2$,第4行第1个数是$4^2$,…,则第$n$($n$为正整数)行第1个数为$n^2$.所以位于第35行的第1个数是$35^2=1225$.所以第35行的数为1 225,1 224,1 223,1 222,1 221,1 220,1 219,…,即位于第35行、第4列的数是1 222.
解析
【分析】
解决这道题首先要观察数阵的排列规律：第一步先观察每行的第一个数，第1行第1个数是$1=1^2$，第2行第1个数是$4=2^2$，第3行第1个数是$9=3^2$，第4行第1个数是$16=4^2$，可归纳得出第n行的第1个数是$n^2$的规律；第二步观察同一行的数字变化，发现每行数字从左到右依次递减1，因此同一行第k列的数等于该行第一个数减去$(k-1)$，最后代入行数、列数计算即可得到结果。
【解析】
解：观察数阵可得规律：
① 第n（n为正整数）行的第1个数为$n^2$；
② 同一行的数字从左到右依次减1，即第k列的数 = 该行第1个数$-(k-1)$。
当行数为35，列数为4时：
第35行第1个数为$35^2=1225$，
因此第35行第4列的数为$1225-(4-1)=1225-3=1222$。
【答案】
1222
【知识点】
数阵规律探究；有理数乘方运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题型，解题核心是通过观察特殊位置的数字特征归纳出通用规律，再代入对应参数求解，能有效锻炼观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要观察数阵的排列规律：第一步先观察每行的第一个数，第1行第1个数是$1=1^2$，第2行第1个数是$4=2^2$，第3行第1个数是$9=3^2$，第4行第1个数是$16=4^2$，可归纳得出第n行的第1个数是$n^2$的规律；第二步观察同一行的数字变化，发现每行数字从左到右依次递减1，因此同一行第k列的数等于该行第一个数减去$(k-1)$，最后代入行数、列数计算即可得到结果。
【解析】
解：观察数阵可得规律：
① 第n（n为正整数）行的第1个数为$n^2$；
② 同一行的数字从左到右依次减1，即第k列的数 = 该行第1个数$-(k-1)$。
当行数为35，列数为4时：
第35行第1个数为$35^2=1225$，
因此第35行第4列的数为$1225-(4-1)=1225-3=1222$。
【答案】
1222
【知识点】
数阵规律探究；有理数乘方运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题型，解题核心是通过观察特殊位置的数字特征归纳出通用规律，再代入对应参数求解，能有效锻炼观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
6 新考向 探究题 在一列数 $ x_1, x_2, x_3, \dots, x_n $ 中，已知 $ x_1 = 1 $，且当 $ n ≥ 2 $ 时，$ x_n = x_{n-1} + 1 - 5( [ \frac{n-1}{5} ] - [ \frac{n-2}{5} ] ) $（取整符号 $[a]$ 表示不超过有理数 $ a $ 的最大整数，如 $[3.2] = 3, [6] = 6$），则 $ x_{2026} = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
6. 1 【解析】因为$x_1=1$,所以$x_2=1+1-5×0=2$,$x_3=2+1-5×0=3$,$x_4=3+1-5×0=4$,$x_5=4+1-5×0=5$,$x_6=5+1-5×1=1$,$x_7=1+1-5×0=2$,….由此可见,这列数从$x_1$开始按1,2,3,4,5五个数为一组循环出现.因为$2\ 026÷5=405······1$,所以$x_{2\ 026}=1$.
解析
【分析】
遇到这类含取整函数的递推数列求项的问题，直接推导第2026项难度较大，我们可以先从计算前若干项入手：首先根据给出的递推公式，依次算出$x_2$、$x_3$、$x_4$…等前几项，观察数列的变化规律，找到其循环周期；再用总项数除以周期，根据余数确定所求项对应周期内的位置，即可求出结果。
【解析】
已知$x_1=1$，根据递推公式依次计算：
$x_2=1+1-5×([\frac{1}{5}]-[\frac{0}{5}])=1+1-5×0=2$
$x_3=2+1-5×([\frac{2}{5}]-[\frac{1}{5}])=2+1-5×0=3$
$x_4=3+1-5×([\frac{3}{5}]-[\frac{2}{5}])=3+1-5×0=4$
$x_5=4+1-5×([\frac{4}{5}]-[\frac{3}{5}])=4+1-5×0=5$
$x_6=5+1-5×([\frac{5}{5}]-[\frac{4}{5}])=5+1-5×1=1$
$x_7=1+1-5×([\frac{6}{5}]-[\frac{5}{5}])=1+1-5×0=2$
……
可发现数列按1、2、3、4、5五个数为一组循环出现，周期为5。
计算$2026÷5=405······1$，即2026除以5余数为1，对应周期里的第一个数，因此$x_{2026}=1$。
【答案】
1
【知识点】
数列规律探究，周期问题，取整函数应用
【点评】
本题结合取整函数考查数字规律的探究能力，解题的核心是通过计算前几项找到数列的循环周期，再利用周期快速求解，只要掌握规律探究的基本方法就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
遇到这类含取整函数的递推数列求项的问题，直接推导第2026项难度较大，我们可以先从计算前若干项入手：首先根据给出的递推公式，依次算出$x_2$、$x_3$、$x_4$…等前几项，观察数列的变化规律，找到其循环周期；再用总项数除以周期，根据余数确定所求项对应周期内的位置，即可求出结果。
【解析】
已知$x_1=1$，根据递推公式依次计算：
$x_2=1+1-5×([\frac{1}{5}]-[\frac{0}{5}])=1+1-5×0=2$
$x_3=2+1-5×([\frac{2}{5}]-[\frac{1}{5}])=2+1-5×0=3$
$x_4=3+1-5×([\frac{3}{5}]-[\frac{2}{5}])=3+1-5×0=4$
$x_5=4+1-5×([\frac{4}{5}]-[\frac{3}{5}])=4+1-5×0=5$
$x_6=5+1-5×([\frac{5}{5}]-[\frac{4}{5}])=5+1-5×1=1$
$x_7=1+1-5×([\frac{6}{5}]-[\frac{5}{5}])=1+1-5×0=2$
……
可发现数列按1、2、3、4、5五个数为一组循环出现，周期为5。
计算$2026÷5=405······1$，即2026除以5余数为1，对应周期里的第一个数，因此$x_{2026}=1$。
【答案】
1
【知识点】
数列规律探究，周期问题，取整函数应用
【点评】
本题结合取整函数考查数字规律的探究能力，解题的核心是通过计算前几项找到数列的循环周期，再利用周期快速求解，只要掌握规律探究的基本方法就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
7 如图,由图①到图②是一个正方形衍生出两个小正方形,图③是图②中每个衍生小正方形再衍生出两个正方形,按照这个规律,图⑦中共有正方形的个数是
127
.答案
7. 127 【解析】由题图可知,图①中正方形的个数为$1=2^1-1$,图②中正方形的个数为$3=2^2-1$,图③中正方形的个数为$7=2^3-1$,图④中正方形的个数为$15=2^4-1$,….所以图$n$中正方形的个数为$2^n-1$.当$n=7$时,$2^n-1=127$,所以图⑦中共有正方形的个数是127.
解析
【分析】
遇到这类图形规律题，我们可以按照“数数量→找规律→代值算”的步骤思考：首先先统计前几个已知图形的正方形个数，得到一组数字；再观察这组数字的特征，推导和图形序号对应的通用规律表达式；最后把要求的图形序号代入表达式计算，就能得到结果。本题我们先数出图①到图④的正方形个数分别是1、3、7、15，观察发现这组数字都符合“2的序号次方减1”的特征，总结出通用规律后代入n=7计算即可。
【解析】
先统计各图的正方形个数：
图①中正方形的个数：$1=2^1-1$
图②中正方形的个数：$3=2^2-1$
图③中正方形的个数：$7=2^3-1$
图④中正方形的个数：$15=2^4-1$
由此归纳规律：第$n$个图形中正方形的个数为$2^n-1$
当$n=7$时，$2^7-1=128-1=127$
【答案】
127
【知识点】
图形规律探究，乘方运算，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是通过前几个图形的数量特征归纳出通用规律，能有效考查学生的观察能力、归纳总结能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
遇到这类图形规律题，我们可以按照“数数量→找规律→代值算”的步骤思考：首先先统计前几个已知图形的正方形个数，得到一组数字；再观察这组数字的特征，推导和图形序号对应的通用规律表达式；最后把要求的图形序号代入表达式计算，就能得到结果。本题我们先数出图①到图④的正方形个数分别是1、3、7、15，观察发现这组数字都符合“2的序号次方减1”的特征，总结出通用规律后代入n=7计算即可。
【解析】
先统计各图的正方形个数：
图①中正方形的个数：$1=2^1-1$
图②中正方形的个数：$3=2^2-1$
图③中正方形的个数：$7=2^3-1$
图④中正方形的个数：$15=2^4-1$
由此归纳规律：第$n$个图形中正方形的个数为$2^n-1$
当$n=7$时，$2^7-1=128-1=127$
【答案】
127
【知识点】
图形规律探究，乘方运算，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是通过前几个图形的数量特征归纳出通用规律，能有效考查学生的观察能力、归纳总结能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
