5 如图，$AB// EF$，$∠ ABC=∠ DEF$，试判断 $BC$ 和 $DE$ 的位置关系，并说明理由.

$BC// DE$ 理由:如图,连接 BE. 因为 $AB// EF$,所以 $∠ ABE=∠ BEF$. 因为 $∠ ABC=∠ DEF$,所以 $∠ ABE-∠ ABC=∠ BEF-∠ DEF$,即 $∠ CBE=∠ BED$. 所以 $BC// DE$.

【分析】
要判断BC和DE的位置关系，本题属于平行线的“拐点”类问题，常用辅助线做法是连接BE，将AB与EF的平行关系转化为角的关系。首先利用AB//EF的性质得到一组内错角相等，再结合已知的∠ABC=∠DEF，通过角的和差运算得到BC和DE被BE所截形成的内错角相等，最后根据平行线的判定定理即可得到BC和DE的位置关系。
【解析】
解：$BC// DE$，理由如下：
如图，连接$BE$。
$\because AB// EF$（已知），
$\therefore ∠ ABE=∠ BEF$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because ∠ ABC=∠ DEF$（已知），
$\therefore ∠ ABE - ∠ ABC = ∠ BEF - ∠ DEF$（等式的性质），
即$∠ CBE=∠ BED$。
$\therefore BC// DE$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
$BC// DE$ 理由:如图,连接 BE. 因为 $AB// EF$,所以 $∠ ABE=∠ BEF$. 因为 $∠ ABC=∠ DEF$,所以 $∠ ABE-∠ ABC=∠ BEF-∠ DEF$,即 $∠ CBE=∠ BED$. 所以 $BC// DE$.

【知识点】
平行线的性质、平行线的判定、角的和差计算
【点评】
本题是平行线中典型的拐点问题，解题的关键是合理作出辅助线，将已知的平行条件和角的等量关系相结合，通过推导内错角相等来判定两条直线平行，能有效考查学生对平行线性质和判定的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

6 如图，$∠ ABC=25°$，$∠ BCD=45°$，$∠ CDE=30°$，$∠ DEF=10°$. 试判断$AB$和$EF$的位置关系，并说明理由.

$AB// EF$ 理由:如图,连接 BE 交 CD 于点 O. 设 $∠ CBO=x$, $∠ DEO=y$. 因为三角形 BCO,三角形 EDO 的内角和为 $180°$, $∠ BOC=∠ DOE$, $∠ BCD=45°$, $∠ CDE=30°$,所以 $45°+x=30°+y$,即 $y=15°+x$. 因为 $∠ ABC=25°$, $∠ DEF=10°$,所以 $∠ ABE=∠ ABC+∠ CBO=25°+x$, $∠ BEF=∠ DEF+∠ DEO=10°+y=10°+15°+x=25°+x$. 所以 $∠ ABE=∠ BEF$. 所以 $AB// EF$.

【分析】
要判断AB与EF的位置关系，首先观察两条直线没有公共截线，无法直接使用平行线的判定定理，因此考虑作辅助线构造截线：连接BE，使BE成为AB、EF的公共截线，此时只需证明内错角∠ABE与∠BEF相等即可证得AB//EF。接下来结合已知角的条件，利用三角形内角和为180°、对顶角相等的性质，推导两个内错角的数量关系即可。
【解析】
$AB// EF$，理由如下：
如图，连接$BE$交$CD$于点$O$。设$∠CBO=x$，$∠DEO=y$。
∵ 三角形内角和为$180°$，且$∠BOC$与$∠DOE$是对顶角，$∠ BOC=∠ DOE$，
∴ 在$△ BCO$和$△ EDO$中，$∠ BCD + x = ∠ CDE + y$，
又
∵ $∠ BCD=45°$，$∠ CDE=30°$，
∴ $45° + x = 30° + y$，整理得$y = x + 15°$。
∵ $∠ ABC=25°$，$∠ DEF=10°$，
∴ $∠ ABE = ∠ ABC + ∠ CBO = 25° + x$，
$∠ BEF = ∠ DEF + ∠ DEO = 10° + y = 10° + x + 15° = 25° + x$，
∴ $∠ ABE = ∠ BEF$。
∵ 内错角相等，两直线平行，
∴ $AB// EF$。
【答案】
$AB// EF$

【知识点】
平行线的判定；三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题是平行线中典型的拐点类问题，解题核心是通过构造辅助线建立两条待证直线的公共截线，将分散的已知角条件结合三角形、对顶角的相关性质，转化为平行线判定所需的角的关系，考查了学生对辅助线构造方法和几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

7 如图,若$AB// CD// EF$,则$x,y,z$三者之间的关系为 （）

A.$x+y+z=180°$
B.$x+y-z=180°$
C.$x+y+z=360°$
D.$x+z=y$

B

【分析】
解题时先观察图形中的平行关系，结合平行线的性质推导角的关系：首先利用AB和EF平行得到∠x与∠AEF的等量关系；再利用CD和EF平行得到∠y与∠CEF的互补关系；最后结合∠AEF是∠z和∠CEF的和，将三个关系联立整理，即可得到x、y、z三者的关系式。
【解析】
解：
∵$AB// EF$
∴$∠ x = ∠ AEF$（两直线平行，内错角相等）
∵$CD// EF$
∴$∠ y + ∠ CEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），即$∠ CEF = 180° - y$
又
∵$∠ AEF = ∠ z + ∠ CEF$
将$∠ AEF=x$、$∠ CEF=180° - y$代入上式得：
$x = z + 180° - y$
移项整理得：$x + y - z = 180°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角的和差运算
【点评】
本题是平行线中常见的拐点类基础题，解题核心是灵活运用平行线的性质找到对应角的等量关系，再结合角的和差关系推导即可，解题时注意不要混淆角的位置关系。
【难度系数】
0.7

8 如图，$AB// CD$.
（1）如图①，若$∠ ABE=40°,∠ BEC=140°$，则$∠ ECD=\_\_\_\_\_\_°$；
（2）如图①，试探究$∠ ABE,∠ BEC,∠ ECD$之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图②，若$CF$平分$∠ ECD$，且$CF// BE$，试探究$∠ ECD,∠ ABE$之间的数量关系，并说明理由.

（1）80
（2）$∠ ECD+∠ BEC-∠ ABE=180°$ 理由:如图,过点 E 作 $EF// AB$,延长 CE 交 AB 于点 G. 因为 $EF// AB$,所以 $∠ BEF=∠ ABE$, $∠ BGE=∠ FEC$. 因为 $AB// CD$,所以 $∠ ECD+∠ BGE=180°$. 所以 $∠ ECD+∠ FEC=180°$. 因为 $∠ FEC=∠ BEC-∠ BEF$,所以 $∠ ECD+∠ BEC-∠ BEF=180°$. 所以 $∠ ECD+∠ BEC-∠ ABE=180°$.
（3）$∠ ECD=2∠ ABE$ 理由:因为 $CF// BE$,所以 $∠ BEC+∠ ECF=180°$. 由 (2),得 $∠ ECD+∠ BEC-∠ ABE=180°$,所以 $∠ BEC+∠ ECF=∠ ECD+∠ BEC-∠ ABE$,即 $∠ ECF=∠ ECD-∠ ABE$. 因为 CF 平分 $∠ ECD$,所以 $∠ ECF=\frac{1}{2}∠ ECD$. 所以 $\frac{1}{2}∠ ECD=∠ ECD-∠ ABE$,即 $∠ ECD=2∠ ABE$.

【分析】
（1）第一小问中E是平行线AB、CD之间的拐点，可通过延长CE交AB于点G的辅助线构造，结合平行线的同旁内角互补、三角形外角的角和差关系，即可计算出∠ECD的度数。
（2）第二小问探究三个角的数量关系，仍借助辅助线构造平行线，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，结合角的和差关系做等量代换，即可推导得到三个角的等式关系。
（3）第三小问先根据CF//BE得到∠BEC与∠ECF互补，再结合第二问得出的角的关系，代入后利用角平分线的定义做等量代换，即可推导出∠ECD与∠ABE的数量关系。
【解析】
（1）延长CE交AB于点G，
∵AB//CD，
∴∠ECD+∠BGE=180°。
∵∠BEC是△BEG的外角，
∴∠BEC=∠ABE+∠BGE，已知∠ABE=40°，∠BEC=140°，则∠BGE=140°-40°=100°，因此∠ECD=180°-100°=80°。
（2）数量关系：$\boldsymbol{∠ECD + ∠BEC - ∠ABE = 180°}$，理由如下：
过点E作$EF//AB$，延长CE交AB于点G。
∵$EF//AB$，
∴$∠BEF=∠ABE$（两直线平行，内错角相等），$∠BGE=∠FEC$（两直线平行，同位角相等）。
∵$AB//CD$，
∴$∠ECD+∠BGE=180°$（两直线平行，同旁内角互补），等量代换得$∠ECD+∠FEC=180°$。
又
∵$∠FEC=∠BEC-∠BEF$，代入得$∠ECD+∠BEC-∠BEF=180°$，将$∠BEF=∠ABE$代入，即得$∠ECD + ∠BEC - ∠ABE = 180°$。
（3）数量关系：$\boldsymbol{∠ECD=2∠ABE}$，理由如下：
∵$CF//BE$，
∴$∠BEC+∠ECF=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
由（2）的结论得$∠ECD + ∠BEC - ∠ABE = 180°$，因此$∠BEC+∠ECF=∠ECD + ∠BEC - ∠ABE$，两边消去$∠BEC$得$∠ECF=∠ECD-∠ABE$。
∵CF平分$∠ECD$，由角平分线定义得$∠ECF=\frac{1}{2}∠ECD$，代入上式得$\frac{1}{2}∠ECD=∠ECD-∠ABE$，整理得$∠ECD=2∠ABE$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{80}$
（2）$\boldsymbol{∠ECD + ∠BEC - ∠ABE = 180°}$，理由见解析
（3）$\boldsymbol{∠ECD=2∠ABE}$，理由见解析

【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等量代换
【点评】
本题是平行线中典型的拐点类问题，核心考查平行线性质的灵活应用，通过构造辅助线可实现未知角与已知角的转化，解题的关键是掌握拐点问题的常用辅助线构造方法，理清角之间的和差、等量关系。
【难度系数】
0.65

9 如图，$AB// CD$，$E$为$AB$上方一点，$FB$，$HG$分别为$∠ EFG$，$∠ EHD$的平分线.若$\frac{1}{2}∠ E+∠ G=α°$，则$∠ EFG$的度数为（）

A.$\frac{2}{3}α°$
B.$\frac{3}{2}α°$
C.$α°$
D.$\frac{4}{3}α°$

D 【解析】设 $∠ EFG=2x$, $∠ EHD=2m$. 因为 FB 为 $∠ EFG$ 的平分线,所以 $∠ EFB=∠ BFG=\frac{1}{2}∠ EFG=x$. 因为 HG 为 $∠ EHD$ 的平分线,所以 $∠ EHG=∠ GHD=\frac{1}{2}∠ EHD=m$. 因为 $AB// CD$,所以易得 $∠ G=∠ BFG+∠ GHD=x+m$, $∠ EMB=∠ EHD=2m$. 根据三角形的内角和等于 $180°$,得 $∠ E+∠ EMB+∠ EFM=180°$. 所以 $∠ E+2m+180°-x=180°$,即 $∠ E=x-2m$. 因为 $\frac{1}{2}∠ E+∠ G=α°$,所以 $\frac{1}{2}(x-2m)+(x+m)=α°$. 所以 $x=\frac{2}{3}α°$. 所以 $∠ EFG=2x=\frac{4}{3}α°$.

【分析】
本题是平行线与角平分线结合的角度计算问题，解题可按以下思路展开：首先，题目出现角平分线，为了避免分数运算，我们可以设待求的∠EFG为2x，另一个被平分的角∠EHD为2m，这样角平分线分出的小角就分别为x和m；其次，利用AB//CD的性质，分别推导∠G与x、m的关系，以及∠E与x、m的关系；最后将推导得到的∠E和∠G代入已知的等式$\frac{1}{2}∠E+∠G=α°$，消去m即可求出x，进而得到∠EFG的度数。
【解析】
设$∠EFG=2x$，$∠EHD=2m$。
1. 根据角平分线的定义：
因为FB平分$∠EFG$，所以$∠EFB=∠BFG=\frac{1}{2}∠EFG=x$；
因为HG平分$∠EHD$，所以$∠EHG=∠GHD=\frac{1}{2}∠EHD=m$。
2. 根据平行线的性质：
因为$AB// CD$，可推导得$∠G=∠BFG+∠GHD=x+m$，且同位角相等得$∠EMB=∠EHD=2m$。
3. 根据三角形内角和为$180°$：
在$△ EMF$中，$∠E+∠EMB+∠EFM=180°$，其中$∠EFM=180°-∠EFB=180°-x$，代入得：
$∠E+2m+180°-x=180°$，化简得$∠E=x-2m$。
4. 代入已知等式求解：
已知$\frac{1}{2}∠E+∠G=α°$，将$∠E=x-2m$、$∠G=x+m$代入得：
$\frac{1}{2}(x-2m)+(x+m)=α°$
展开计算：$\frac{1}{2}x - m + x + m = α°$，合并同类项得$\frac{3}{2}x=α°$，解得$x=\frac{2}{3}α°$。
因此$∠EFG=2x=2×\frac{2}{3}α°=\frac{4}{3}α°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于平行线中的典型角度计算问题，解题的关键是合理设元表示各相关角，结合平行线性质和角平分线定义建立等量关系，通过消元法消除未知参数即可求出结果，合理设元能有效简化运算过程。
【难度系数】
0.6