5. 在数轴上,如果点 A 表示的数记为a,点 B 表示的数记为b,则 A,B 两点间的距离可以记作$|a-b|$或$|b-a|$.我们把数轴上两点之间的距离,用两点的大写字母表示,如:点 A 与点 B 之间的距离表示为 AB.如图,在数轴上,点 A,O,B 表示的数为-10,0,12.
(1)$OA=$,$AB=$.
(2)设点 P 在数轴上对应的数为x.
①若 P 为线段 AB 的中点,则$x=$;
②若 P 为线段 AB 上的一个动点,则$|x+10|+|x-12|$的化简结果是.
(3)动点 M 从点 A 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向点 B 运动,同时动点 N 从点 B 出发,以每秒 4 个单位长度的速度沿数轴在点 A,B 之间往返运动,当点 M 运动到点 B 时,点 M,N 停止运动.设运动时间为 t 秒,是否存在 t 值,使得$OM=ON$? 若存在,请直接写出 t 的值;若不存在,请说明理由.

5.(1)10 22
(2)①1 ②22
(3)解:点 M 表示的数为 $2t-10(0≤ t≤ 11),OM=|2t-10|;$
当 $0≤ t≤ \frac{11}{2}$ 时,点 N 表示的数为 $-4t+12,ON=|-4t+12|;$
当 $\frac{11}{2}＜ t≤ 11$ 时,点 N 表示的数为 $4(t-\frac{11}{2})-10=4t-32,ON=|4t-32|.$
当 $0≤ t≤ \frac{11}{2}$ 时,$|2t-10|=|-4t+12|$,解得 $t=1$ 或 $t=\frac{11}{3};$
当 $\frac{11}{2}＜ t≤ 11$ 时,$|2t-10|=|4t-32|$,解得 $t=7$ 或 $t=11.$
故存在 $t$ 值,使得 $OM=ON$,$t$ 的值为 1 或 $\frac{11}{3}$ 或 7 或 11.

【分析】
解题可按小问逐步推导：
(1) 数轴上两点距离等于两点对应数之差的绝对值，也可用右侧点的数减去左侧点的数直接计算，OA是原点O到A的距离，AB是A到B的距离，代入数值计算即可。
(2) ①线段中点对应的数是线段两端点对应数的平均数，代入A、B的数计算即可得到中点P的x值；②P在线段AB上时，x的取值范围是-10≤x≤12，据此判断绝对值内式子的正负，去绝对值符号后合并同类项即可化简。
(3) 先根据两个动点的运动方向、速度，分时间段写出M、N对应的数，进而表示出OM、ON的距离（带绝对值），再分情况列绝对值方程求解，最后检验解是否符合对应时间段的范围即可。
【解析】
(1) 点A对应-10，O对应0，因此$OA=|0 - (-10)|=10$；点B对应12，因此$AB=|12 - (-10)|=22$。
(2) ①P是AB中点，因此中点对应的数为两端点对应数的平均数，即$x=\frac{-10 + 12}{2}=1$；
②P在线段AB上，即$-10≤x≤12$，此时$x+10≥0$，$x-12≤0$，因此$|x+10|+|x-12|=x+10 + (12 - x)=22$。
(3) 点M从A出发，速度为2单位/秒，t秒后对应的数为$-10+2t$，M运动到B的总时长为$22÷2=11$秒，即$0≤t≤11$，因此$OM=|2t - 10|$。
点N从B出发，速度为4单位/秒，N从B运动到A的时长为$22÷4=\frac{11}{2}$秒，分两种情况讨论：
①当$0≤t≤\frac{11}{2}$时，N正向A运动，对应的数为$12 - 4t$，即$ON=| -4t + 12 |$，令$|2t - 10|=|-4t +12|$：
解得$t=1$或$t=\frac{11}{3}$，两个解均在$0≤t≤\frac{11}{2}$范围内，符合要求。
②当$\frac{11}{2} ＜ t≤11$时，N到达A后反向向B运动，对应的数为$-10 + 4(t - \frac{11}{2})=4t - 32$，即$ON=|4t -32|$，令$|2t -10|=|4t -32|$：
解得$t=7$或$t=11$，两个解均在$\frac{11}{2} ＜ t≤11$范围内，符合要求。
综上存在符合条件的t值。
【答案】
(1)10；22
(2)①1；②22
(3)存在，t的值为1或$\frac{11}{3}$或7或11
【知识点】
数轴两点距离，绝对值化简，数轴动点问题
【点评】
本题围绕数轴的距离应用展开，涵盖基础计算、化简和动态分类讨论，既考查基础知识点的掌握程度，也锻炼分类讨论的逻辑思维，是数轴综合应用的常见题型。
【难度系数】
0.55

6. 如图①,直线 DE 上有一点 O,过点 O 在直线 DE 上方作射线 OC,将一直角三角尺 AOB(其中∠OAB=30°)的直角顶点放在点 O 处,一条直角边 OA 在射线 OD 上,另一边 OB 在直线 DE 上方,将直角三角尺绕着点 O 按每秒 10°的速度逆时针旋转一周,设旋转时间为 t 秒.
(1)当直角三角尺旋转到如图②的位置时,OA 恰好平分∠COD,此时,∠BOC 与∠BOE 之间的数量关系为.
(2)若射线 OC 的位置保持不变,且∠COE=130°.
①在旋转的过程中,是否存在某个时刻,使得射线 OA,OC,OD 中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线?若存在,请求出所有满足题意的 t 的值;若不存在,请说明理由.
②如图③,在旋转的过程中,边 AB 与射线 OE 相交,请直接写出∠AOC−∠BOE 的值.

6.(1)$∠ BOC=∠ BOE$
(2)解:①存在.
因为$∠ COE=130°$,所以$∠ COD=180°-130°=50°.$
当 OA 平分$∠ COD$时,$∠ AOD=∠ AOC=\frac{1}{2}∠ COD=25°$,即 $10t=25$,解得 $t=2.5$;
当 OC 平分$∠ AOD$时,$∠ AOC=∠ COD=50°$,即 $10t-50=50$,解得 $t=10$;
当 OD 平分$∠ AOC$时,$∠ AOD=∠ COD=50°$,即 $360-10t=50$,解得 $t=31.$
综上所述,$t$ 的值为 2.5 或 10 或 31.
②因为 $∠ AOC=∠ COE-∠ AOE=130°-∠ AOE$,
$∠ BOE=90°-∠ AOE$,
所以 $∠ AOC-∠ BOE=(130°-∠ AOE)-(90°-∠ AOE)=40°$,
所以$∠ AOC-∠ BOE$的值为$40°$.

【分析】
(1) 已知直角三角尺∠AOB=90°，可得∠BOC+∠AOC=90°，∠BOE+∠AOD=180°-90°=90°；结合OA平分∠COD推出∠AOC=∠AOD，等量代换即可得到∠BOC与∠BOE的数量关系。
(2) ①先根据邻补角性质，由∠COE=130°算出∠COD=50°；再分三种情况讨论：OA平分∠COD、OC平分∠AOD、OD平分∠AOC，结合三角尺旋转速度为每秒10°，旋转角度为10t，分别列方程求解即可。②将∠AOC和∠BOE都用∠AOE表示，作差后消去公共角∠AOE即可求出结果。
【解析】
(1) 因为∠AOB=90°，所以∠BOC + ∠AOC = 90°，∠BOE + ∠AOD = 180° - ∠AOB = 90°。
又因为OA平分∠COD，所以∠AOC = ∠AOD，因此∠BOC = ∠BOE。
(2) ①存在，求解过程如下：
因为∠COE=130°，根据邻补角的性质，∠COD = 180° - ∠COE = 180° - 130° = 50°。
分三种情况讨论：
当OA平分∠COD时，∠AOD = $\frac{1}{2}$∠COD = 25°，此时三角尺旋转角度为10t，即10t=25，解得t=2.5；
当OC平分∠AOD时，∠AOD = 2∠COD = 100°，即10t=100，解得t=10；
当OD平分∠AOC时，∠AOD=∠COD=50°，此时三角尺旋转超过半周，可得360° - 10t = 50°，解得t=31。
综上，满足题意的t的值为2.5或10或31。
②因为∠AOC = ∠COE - ∠AOE = 130° - ∠AOE，∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 90° - ∠AOE，
所以∠AOC - ∠BOE = (130° - ∠AOE) - (90° - ∠AOE) = 40°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BOC=∠BOE}$
(2) ①存在，$t$的值为$\boldsymbol{2.5}$或$\boldsymbol{10}$或$\boldsymbol{31}$；②$\boldsymbol{40°}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，旋转动态角问题
【点评】
本题考查旋转背景下的角度计算，解题的关键是结合角平分线性质、角的和差关系分类讨论，注意旋转一周的范围限制，避免漏解，整体考查了分类讨论思想和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6