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10. (1)已知关于 $ x $ 的方程 $ ax + a - 1 = 2 $ 与 $ 5x - 8 = 2 $ 的解相同，求 $ a $ 的值；
(2)已知关于 $ x $ 的方程 $ \frac{1}{2}x = -2 $ 的解比关于 $ x $ 的方程 $ 5x - 2a = 0 $ 的解大 2，求关于 $ x $ 的方程 $ \frac{x}{a} - 15 = 0 $ 的解。
(2)已知关于 $ x $ 的方程 $ \frac{1}{2}x = -2 $ 的解比关于 $ x $ 的方程 $ 5x - 2a = 0 $ 的解大 2，求关于 $ x $ 的方程 $ \frac{x}{a} - 15 = 0 $ 的解。
答案
10.解:(1)$5x-8=2$,移项,得5x=2+8,
合并同类项,得5x=10,
两边都除以5,得x=2.
因为方程$ax+a-1=2$与$5x-8=2$的解相同,
所以把x=2代入$ax+a-1=2$,得2a+a-1=2,
移项,得2a+a=2+1,
合并同类项,得3a=3,
两边都除以3,得a=1.
(2)因为$\frac{1}{2}x=-2$,所以x=-4.
因为方程$\frac{1}{2}x=-2$的解比方程5x-2a=0的解大2,
所以方程5x-2a=0的解为x=-6,
所以$5×(-6)-2a=0$,解得a=-15.
可得$\frac{x}{-15}-15=0$,解得x=-225.
合并同类项,得5x=10,
两边都除以5,得x=2.
因为方程$ax+a-1=2$与$5x-8=2$的解相同,
所以把x=2代入$ax+a-1=2$,得2a+a-1=2,
移项,得2a+a=2+1,
合并同类项,得3a=3,
两边都除以3,得a=1.
(2)因为$\frac{1}{2}x=-2$,所以x=-4.
因为方程$\frac{1}{2}x=-2$的解比方程5x-2a=0的解大2,
所以方程5x-2a=0的解为x=-6,
所以$5×(-6)-2a=0$,解得a=-15.
可得$\frac{x}{-15}-15=0$,解得x=-225.
解析
【分析】
(1) 两个方程解相同即为同解方程，解题时先求解不含参数的方程$5x-8=2$得到x的取值，再将x的取值代入含参数$a$的方程$ax+a-1=2$，得到仅关于$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值。
(2) 先求解方程$\frac{1}{2}x=-2$得到其解，根据“该解比方程$5x-2a=0$的解大2”，计算出方程$5x-2a=0$的解，将该解代入$5x-2a=0$求出$a$的值，最后把$a$代入方程$\frac{x}{a}-15=0$，求解即可得到最终结果。
【解析】
(1) 解方程$5x-8=2$，移项，得$5x=2+8$，合并同类项，得$5x=10$，两边都除以5，得$x=2$。
因为方程$ax+a-1=2$与$5x-8=2$的解相同，所以把$x=2$代入$ax+a-1=2$，得$2a+a-1=2$，移项，得$2a+a=2+1$，合并同类项，得$3a=3$，两边都除以3，得$a=1$。
(2) 解方程$\frac{1}{2}x=-2$，得$x=-4$。
因为方程$\frac{1}{2}x=-2$的解比方程$5x-2a=0$的解大2，所以方程$5x-2a=0$的解为$x=-4-2=-6$，将$x=-6$代入$5x-2a=0$，得$5×(-6)-2a=0$，解得$a=-15$。
把$a=-15$代入$\frac{x}{a}-15=0$，得$\frac{x}{-15}-15=0$，解得$x=-225$。
【答案】
(1)$a=1$；(2)$x=-225$
【知识点】
同解方程，解一元一次方程，方程的解
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题型，解题关键是先求解无参数的方程得到确定的解，再根据题目给出的解的关联代入含参数的方程求出参数，最终求解目标方程，掌握一元一次方程的基本解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 两个方程解相同即为同解方程，解题时先求解不含参数的方程$5x-8=2$得到x的取值，再将x的取值代入含参数$a$的方程$ax+a-1=2$，得到仅关于$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值。
(2) 先求解方程$\frac{1}{2}x=-2$得到其解，根据“该解比方程$5x-2a=0$的解大2”，计算出方程$5x-2a=0$的解，将该解代入$5x-2a=0$求出$a$的值，最后把$a$代入方程$\frac{x}{a}-15=0$，求解即可得到最终结果。
【解析】
(1) 解方程$5x-8=2$，移项，得$5x=2+8$，合并同类项，得$5x=10$，两边都除以5，得$x=2$。
因为方程$ax+a-1=2$与$5x-8=2$的解相同，所以把$x=2$代入$ax+a-1=2$，得$2a+a-1=2$，移项，得$2a+a=2+1$，合并同类项，得$3a=3$，两边都除以3，得$a=1$。
(2) 解方程$\frac{1}{2}x=-2$，得$x=-4$。
因为方程$\frac{1}{2}x=-2$的解比方程$5x-2a=0$的解大2，所以方程$5x-2a=0$的解为$x=-4-2=-6$，将$x=-6$代入$5x-2a=0$，得$5×(-6)-2a=0$，解得$a=-15$。
把$a=-15$代入$\frac{x}{a}-15=0$，得$\frac{x}{-15}-15=0$，解得$x=-225$。
【答案】
(1)$a=1$；(2)$x=-225$
【知识点】
同解方程，解一元一次方程，方程的解
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题型，解题关键是先求解无参数的方程得到确定的解，再根据题目给出的解的关联代入含参数的方程求出参数，最终求解目标方程，掌握一元一次方程的基本解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
11. 规定一种运算法则“※”：$a※b=a^2+2ab$，例如，$3※(-2)=3^2+2×3×(-2)=-3$。
(1)求$(-2)※3$的值；
(2)若$(-2)※x=-2+x$，求$x$的值。
(1)求$(-2)※3$的值；
(2)若$(-2)※x=-2+x$，求$x$的值。
答案
11.解:(1)根据题意,得$(-2)※3=(-2)^2+2×(-2)×3=4+(-12)=-8$.
(2)根据题意,得$(-2)※x=(-2)^2+2×(-2)· x=-2+x$,
整理,得$4-4x=-2+x$,解得$x=\frac{6}{5}$.
(2)根据题意,得$(-2)※x=(-2)^2+2×(-2)· x=-2+x$,
整理,得$4-4x=-2+x$,解得$x=\frac{6}{5}$.
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题思路如下：（1）首先明确运算法则“※”的运算规则：$a※b=a^2+2ab$，求解第一问时直接将$a=-2$、$b=3$代入该规则，按有理数运算顺序计算即可；（2）求解第二问时，先按照运算法则把$(-2)※x$转化为含$x$的代数式，再根据题中等量关系列出一元一次方程，按移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 根据新定义的运算法则$a※b=a^2+2ab$，将$a=-2$，$b=3$代入得：
$(-2)※3=(-2)^2+2×(-2)×3=4+(-12)=-8$
(2) 根据新定义的运算法则计算$(-2)※x$：
$(-2)※x=(-2)^2+2×(-2)·x=4-4x$
结合题意$(-2)※x=-2+x$，可列方程：
$4-4x=-2+x$
移项得：$-4x-x=-2-4$
合并同类项得：$-5x=-6$
系数化为1得：$x=\frac{6}{5}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$；(2) $\boldsymbol{\frac{6}{5}}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题侧重考查对新运算规则的理解与转化应用，只要准确把新运算转换为熟悉的代数式运算和一元一次方程即可求解，计算时要注意符号处理，避免出错。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义运算类题目，解题思路如下：（1）首先明确运算法则“※”的运算规则：$a※b=a^2+2ab$，求解第一问时直接将$a=-2$、$b=3$代入该规则，按有理数运算顺序计算即可；（2）求解第二问时，先按照运算法则把$(-2)※x$转化为含$x$的代数式，再根据题中等量关系列出一元一次方程，按移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 根据新定义的运算法则$a※b=a^2+2ab$，将$a=-2$，$b=3$代入得：
$(-2)※3=(-2)^2+2×(-2)×3=4+(-12)=-8$
(2) 根据新定义的运算法则计算$(-2)※x$：
$(-2)※x=(-2)^2+2×(-2)·x=4-4x$
结合题意$(-2)※x=-2+x$，可列方程：
$4-4x=-2+x$
移项得：$-4x-x=-2-4$
合并同类项得：$-5x=-6$
系数化为1得：$x=\frac{6}{5}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$；(2) $\boldsymbol{\frac{6}{5}}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题侧重考查对新运算规则的理解与转化应用，只要准确把新运算转换为熟悉的代数式运算和一元一次方程即可求解，计算时要注意符号处理，避免出错。
【难度系数】
0.8
12.已知关于 $ x $ 的方程 $ 2kx + m = x + 4 $. 当 $ k,m $ 为何值时:
(1)方程有唯一解；
(2)方程有无数个解；
(3)方程无解.
(1)方程有唯一解；
(2)方程有无数个解；
(3)方程无解.
答案
12.解:方程移项、合并同类项,得$(2k-1)x=4-m$.
(1)由方程有唯一解,得$2k-1≠0$,即$k≠\frac{1}{2}$,$m$为任意值.
(2)由方程有无数个解,得$2k-1=0$且$4-m=0$,解得$k=\frac{1}{2}$,$m=4$.
(3)由方程无解,得$2k-1=0$且$4-m≠0$,解得$k=\frac{1}{2}$,$m≠4$.
(1)由方程有唯一解,得$2k-1≠0$,即$k≠\frac{1}{2}$,$m$为任意值.
(2)由方程有无数个解,得$2k-1=0$且$4-m=0$,解得$k=\frac{1}{2}$,$m=4$.
(3)由方程无解,得$2k-1=0$且$4-m≠0$,解得$k=\frac{1}{2}$,$m≠4$.
解析
【分析】
遇到含参数的一元一次方程判断解的情况的问题，首先要通过移项、合并同类项将方程整理为“$ax=b$”的标准形式（$a$为$x$的系数，$b$为常数项），再结合一元一次方程三类解的对应条件分析：①当$a≠0$时，方程有唯一解；②当$a=0$且$b=0$时，方程左右两边恒等，有无数个解；③当$a=0$且$b≠0$时，方程左右两边矛盾，无解。最后将整理后的方程对应到$a$、$b$的表达式，按要求列条件求解$k$、$m$即可。
【解析】
先对原方程变形：
移项，得$2kx - x = 4 - m$
合并同类项，得$(2k-1)x=4-m$
分情况讨论：
(1) 方程有唯一解时，$x$的系数不能为0，即$2k-1≠0$，解得$k≠\frac{1}{2}$，此时常数项可取任意值，即$m$为任意值。
(2) 方程有无数个解时，需要$x$的系数为0且常数项也为0，即$\begin{cases}2k-1=0 \\4-m=0\end{cases}$，解得$k=\frac{1}{2}$，$m=4$。
(3) 方程无解时，需要$x$的系数为0但常数项不为0，即$\begin{cases}2k-1=0 \\4-m≠0\end{cases}$，解得$k=\frac{1}{2}$，$m≠4$。
【答案】
(1) $k≠\frac{1}{2}$，$m$为任意值；
(2) $k=\frac{1}{2}$，$m=4$；
(3) $k=\frac{1}{2}$，$m≠4$。
【知识点】
含参一元一次方程解的判定；移项与合并同类项；分类讨论思想
【点评】
本题是一元一次方程部分的常考题型，核心是先将方程化为$ax=b$的标准形式，再根据系数和常数项的取值分类讨论，解题时要牢记三类解对应的条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
遇到含参数的一元一次方程判断解的情况的问题，首先要通过移项、合并同类项将方程整理为“$ax=b$”的标准形式（$a$为$x$的系数，$b$为常数项），再结合一元一次方程三类解的对应条件分析：①当$a≠0$时，方程有唯一解；②当$a=0$且$b=0$时，方程左右两边恒等，有无数个解；③当$a=0$且$b≠0$时，方程左右两边矛盾，无解。最后将整理后的方程对应到$a$、$b$的表达式，按要求列条件求解$k$、$m$即可。
【解析】
先对原方程变形：
移项，得$2kx - x = 4 - m$
合并同类项，得$(2k-1)x=4-m$
分情况讨论：
(1) 方程有唯一解时，$x$的系数不能为0，即$2k-1≠0$，解得$k≠\frac{1}{2}$，此时常数项可取任意值，即$m$为任意值。
(2) 方程有无数个解时，需要$x$的系数为0且常数项也为0，即$\begin{cases}2k-1=0 \\4-m=0\end{cases}$，解得$k=\frac{1}{2}$，$m=4$。
(3) 方程无解时，需要$x$的系数为0但常数项不为0，即$\begin{cases}2k-1=0 \\4-m≠0\end{cases}$，解得$k=\frac{1}{2}$，$m≠4$。
【答案】
(1) $k≠\frac{1}{2}$，$m$为任意值；
(2) $k=\frac{1}{2}$，$m=4$；
(3) $k=\frac{1}{2}$，$m≠4$。
【知识点】
含参一元一次方程解的判定；移项与合并同类项；分类讨论思想
【点评】
本题是一元一次方程部分的常考题型，核心是先将方程化为$ax=b$的标准形式，再根据系数和常数项的取值分类讨论，解题时要牢记三类解对应的条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
