24.【知识回顾】
一般地,两数和的完全平方公式为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。如果我们将$(a-b)^2$写成$[a+(-b)]^2$,就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式。过程如下:$(a-b)^2=[a+(-b)]^2=a^2+2a·(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
【类比推理】
(1)已知两数的立方和公式为$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$,请类比两数差的完全平方公式的推理过程,推导两数的立方差公式:$a^3-b^3=a^3+(-b)^3=$。
【应用公式】
(2)因式分解:$x^4+x$。
(3)因式分解:$x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$。
【拓展提升】
如图,将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形$ABCD$,设$S_{四边形ABCD}=S_1,S_{四边形EFGH}=S_2,S_{四边形MNPQ}=S_3$。若$S_1+S_2+S_3=39$,解答下列各题:
(4)$S_2=$。
(5)该直角三角形的两条直角边长分别为$a$和$b(a＞b)$,且$S_3=1$,请先将代数式$a^3+2a^2b+2ab^2+b^3$进行因式分解,然后求出代数式的值。

24.(1)$(a-b)(a^2+ab+b^2)$
(2)解:$原式=x(x^3+1)=x(x+1)·(x^2-x+1)$。
(3)解:$原式=x^3-y^3-3xy(x-y)=(x-y)(x^2+xy+y^2)-3xy(x-y)=(x-y)(x^2+xy+y^2-3xy)=(x-y)·(x-y)^2=(x-y)^3$。
(4)13 【解析】设每个直角三角形的面积为$S_4$。由题意,得$S_1=S_2+4S_4$,$S_3=S_2-4S_4$,$S_1+S_2+S_3=39$,所以$S_2+4S_4+S_2+S_2-4S_4=39$,所以$3S_2=39$,解得$S_2=13$。
(5)解:$原式=(a^3+b^3)+2ab(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2)+2ab(a+b)=(a+b)(a^2+ab+b^2)=(a+b)[(a+b)^2-ab]$。因为$S_3=1$,$S_4=\dfrac{1}{4}(S_2-S_3)$,所以$a-b=1$,$\dfrac{1}{2}ab=3$,所以$ab=6$,所以$a+b=\sqrt{(a-b)^2+4ab}=5$,所以$原式=5×(25-6)=95$。