1.已知$a＞0$，则$\sqrt[3]{a\sqrt{a}}$的分数指数幂的形式为（）

A.$a^{\frac{1}{2}}$
B.$a^{\frac{1}{3}}$
C.$a^{\frac{2}{3}}$
D.$a^{\frac{1}{6}}$

由题意,得$\sqrt[3]{a\sqrt{a}}=(a\sqrt{a})^{\frac{1}{3}}=(a· a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}=(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{2}}$.
温馨提示
多重根式的化简方法:弄清被开方数,由里向外化为分数指数幂,然后进行计算.

2.下列结论中,正确的是（）

A.若$a＞0$,则$a^{\frac{4}{3}} · a^{\frac{3}{4}} = a$
B.若$m^2=2$,则$m=\sqrt{2}$
C.若$x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} =1$,则$x^2 + x^{-2}=7$
D.$\sqrt[4]{(2-π)^4}=2-π$

|选项|正误|原因|
| ---- | ---- | ---- |
|A|$×$|$a^{\frac{4}{3}}· a^{\frac{3}{4}}=a^{\frac{25}{12}}≠ a$|
|B|$×$|$m^2=2$,$m=\pm\sqrt{2}$|
|C|$\surd$|因为$x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}=1$,所以$(x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}})^2=x+x^{-1}-2=1$,所以$x+x^{-1}=3$,所以$(x+x^{-1})^2=x^2+x^{-2}+2=9$,所以$x^2+x^{-2}=7$|
|D|$×$|因为$2-π＜0$,所以$\sqrt[4]{(2-π)^4}=|2-π|=π-2$|

3.(多选)下列计算正确的是（）

A.$(27a^3)^{\frac{1}{3}} ÷ 0.3a^{-1}=10a^2$
B.$(a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}}) ÷ (a^{\frac{1}{5}} + b^{\frac{1}{5}})=a^{\frac{1}{5}} - b^{\frac{1}{5}}$
C.$a^{\sqrt{2}} · a^{\sqrt{2}}=a^2$
D.$\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a^2\sqrt{a}}}=\sqrt[24]{a^{11}}$

$(27a^3)^{\frac{1}{3}}÷0.3a^{-1}=[(3a)^3]^{\frac{1}{3}}÷0.3a^{-1}=3a·\frac{10}{3}a=10a^2$,A正确；
$(a^{\frac{2}{5}}-b^{\frac{2}{5}})÷(a^{\frac{1}{5}}+b^{\frac{1}{5}})=\frac{(a^{\frac{1}{5}})^2-(b^{\frac{1}{5}})^2}{a^{\frac{1}{5}}+b^{\frac{1}{5}}}=\frac{(a^{\frac{1}{5}}-b^{\frac{1}{5}})(a^{\frac{1}{5}}+b^{\frac{1}{5}})}{a^{\frac{1}{5}}+b^{\frac{1}{5}}}=a^{\frac{1}{5}}-b^{\frac{1}{5}}$,B正确；
$a^{\sqrt{2}}· a^{\sqrt{2}}=a^{2\sqrt{2}}$,C错误；
$\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a^2\sqrt{a}}}=\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a^2· a^{\frac{1}{2}}}}=\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a^{\frac{5}{2}}}}=\sqrt[4]{a· a^{\frac{5}{6}}}=\sqrt[4]{a^{\frac{11}{6}}}=(a^{\frac{11}{6}})^{\frac{1}{4}}=\sqrt[24]{a^{11}}$,D正确.

4. 计算：$\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}+(3-2\sqrt{2})^0-(\dfrac{16}{81})^{\frac{1}{4}}+\sqrt[4]{(\sqrt{2}-π)^4}=$.

$\sqrt{2}+1+1-(\frac{2}{3})^{4×\frac{1}{4}}+|\sqrt{2}-π|=\sqrt{2}+2-\frac{2}{3}+π-\sqrt{2}=\frac{4}{3}+π$.

5.已知$a＞0,b＞0$,化简：$\frac{\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b^{13}}}· (a^{2-\sqrt{3}}b)^{2+\sqrt{3}}· b^{2-\sqrt{3}}=$

因为$a＞0,b＞0$,
所以$\frac{\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b^{13}}}·(a^{2-\sqrt{3}}b)^{2+\sqrt{3}}· b^{2-\sqrt{3}}=\frac{b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{13}{3}}}· a^{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}· b^{(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})}=b^{\frac{1}{3}-\frac{13}{3}}ab^4=a$.

6.化简求值：
(1)$(\dfrac{25}{16})^{0.5} - (\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 + 3^{-4} × (\dfrac{8}{27})^{-\frac{2}{3}}$；
(2)已知$10^m=2$，$10^n=3$，求$10^{m+n}$和$10^{\frac{3m-2n}{2}}$的值。

(1)$(\frac{25}{16})^{0.5}-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+3^{-4}×(\frac{8}{27})^{-\frac{2}{3}}=[(\frac{5}{4})^2]^{0.5}-\frac{3}{4}+3^{-4}×[(\frac{2}{3})^3]^{-\frac{2}{3}}=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}+\frac{1}{81}×\frac{9}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{36}=\frac{19}{36}$.
(2)$10^{m+n}=10^m·10^n=6$；
$10^{\frac{3m-2n}{2}}=10^{\frac{3}{2}m-n}=(10^m)^{\frac{3}{2}}·(10^n)^{-1}=2^{\frac{3}{2}}×3^{-1}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

7.已知$a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$，则$a^2 - a^{-2} = (\quad)$

A.$3\sqrt{5}$
B.$\pm3\sqrt{5}$
C.$21\sqrt{5}$
D.$\pm21\sqrt{5}$

由$a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$,得$(a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}})^2=a-2+a^{-1}=5$,即$a+a^{-1}=7$,
故$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})^2}=\sqrt{a+2+a^{-1}}=\sqrt{9}=3$,
故$a-a^{-1}=(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}})=3\sqrt{5}$,
故$a^2-a^{-2}=(a+a^{-1})(a-a^{-1})=21\sqrt{5}$.答案选C.

8.已知正数$a,b$满足$\sqrt[a]{9} × \sqrt[b]{27}=3$，则$3a+2b$的最小值为（）

A.9
B.12
C.18
D.24

因为$\sqrt[a]{9}×\sqrt[b]{27}=3^{\frac{2}{a}}×3^{\frac{3}{b}}=3^{\frac{2}{a}+\frac{3}{b}}=3$,所以$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}=1$.
因为$a,b$为正数，
所以$3a+2b=(3a+2b)(\frac{2}{a}+\frac{3}{b})=12+\frac{4b}{a}+\frac{9a}{b}≥12+2\sqrt{\frac{4b}{a}·\frac{9a}{b}}=24$,
当且仅当$\frac{4b}{a}=\frac{9a}{b}$,即$a=4,b=6$时,等号成立，
所以$3a+2b$的最小值为24.答案选D.

9.某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以$a\%$的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的$\frac{4}{3}$，则再经过4周，该植物的长度是原来的（）

A.$\frac{8}{9}$
B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{4\sqrt{3}}{9}$
D.$\frac{8\sqrt{3}}{9}$

设该植物原来的长度为$m$.
因为经过8周后,该植物的长度是原来的$\frac{4}{3}$,
所以$m(1+a\%)^8=\frac{4}{3}m$,
所以$(1+a\%)^8=\frac{4}{3}$,解得$1+a\%=(\frac{4}{3})^{\frac{1}{8}}$,
所以再经过4周,该植物的长度为$m(1+a\%)^{12}=m[(\frac{4}{3})^{\frac{1}{8}}]^{12}=m(\frac{4}{3})^{\frac{3}{2}}=\frac{8\sqrt{3}}{9}m$,
即再经过4周,该植物的长度是原来的$\frac{8\sqrt{3}}{9}$.答案选D.

10. 已知$a＞0,b＞8$，则$\frac{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} - $$ = $.

因为$a＞0$,所以$\frac{a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}=\frac{(a^{\frac{1}{3}})^2-(b^{\frac{1}{3}})^2}{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}=\frac{(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}=a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}$,$\frac{\sqrt[3]{a^5}}{a\sqrt[3]{a}}=\frac{a^{\frac{5}{3}}}{a· a^{\frac{1}{3}}}=a^{\frac{1}{3}}$.
因为$b＞8$,所以$b^{\frac{1}{3}}＞2$,所以$\sqrt{4-4b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}=\sqrt{(2-b^{\frac{1}{3}})^2}=|2-b^{\frac{1}{3}}|=b^{\frac{1}{3}}-2$,因此$\frac{a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}}-\frac{\sqrt[3]{a^5}}{a\sqrt[3]{a}}+\sqrt{4-4b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}=a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}-2=-2$.