探究1：什么是正多边形？矩形和菱形是正多边形吗？为什么？
探究2：怎样把一个圆进行四等分？依次连接各分点能得到一个什么图形？过各分点作圆的切线能得到一个什么图形？

解：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；菱形也不是正多边形，因为菱形不符合各角相等.
解：如图，过圆心作两条互相垂直的直径，分别与圆交于点A，C，B，D，则点A，B，C，D将圆四等分；依次连接各分点，可得到圆内接正方形ABCD；过各分点作圆的切线，能得到圆外切正方形EFGH.

【分析】
探究1解题思路：首先明确正多边形判定需要同时满足两个核心条件：各边相等、各角相等，二者缺一不可。再分别结合矩形、菱形的性质，判断二者是否同时满足两个条件，即可得出结论。
探究2解题思路：要四等分圆，需将圆周对应的360°圆心角平均分为4份，每份90°，因此过圆心作两条互相垂直的直径即可实现四等分。再结合弦、弧、圆心角的关系和切线的性质，分别判断连接分点、作切线得到的图形形状即可。
【解析】
探究1解答
正多边形的定义为各边相等、各角也相等的多边形，两个条件需同时满足。
1. 矩形不是正多边形：矩形四个角都是直角，满足各角相等的要求，但矩形邻边不一定相等，不满足各边相等的要求，因此不是正多边形。
2. 菱形不是正多边形：菱形四条边长度相等，满足各边相等的要求，但菱形内角不一定都相等，不满足各角相等的要求，因此不是正多边形。
探究2解答
1. 四等分圆的方法：圆周对应的圆心角为360°，四等分后每段弧对应的圆心角为90°，因此过圆心作两条互相垂直的直径，直径与圆的4个交点即可将圆四等分。如图中过圆心O作互相垂直的直径AC、BD，交点A、B、C、D就把圆四等分。
2. 依次连接各分点：因为四段弧长度相等，所以四条对应弦长度相等，且四个内角对应的圆周角均为90°，因此得到圆内接正方形ABCD。
3. 过各分点作圆的切线：根据切线性质，切线垂直于过切点的半径，相邻切线与两条垂直的半径围成的四边形为矩形，且相邻切线的截距相等，因此四条边长度相等，四个角均为90°，得到圆外切正方形EFGH。
【答案】
各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；菱形也不是正多边形，因为菱形不符合各角相等.
解：如图，过圆心作两条互相垂直的直径，分别与圆交于点A，C，B，D，则点A，B，C，D将圆四等分；依次连接各分点，可得到圆内接正方形ABCD；过各分点作圆的切线，能得到圆外切正方形EFGH.

【知识点】
正多边形定义；圆的等分方法；正多边形与圆的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，围绕正多边形的判定和正多边形与圆的联系设置问题，能够帮助学生巩固基础概念，理解圆与正多边形的转化逻辑。
【难度系数】
0.85

探究 3: 如图, 把$\odot O$进行五等分, 依次连接各分点得到五边形$ABCDE$.
(1)填空:
$\because \overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_\overset{\frown}{BC}$,
$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_\overset{\frown}{BC}$,
$\therefore$ $=$.$\therefore ∠ A$$∠ E$.
(2)这个五边形$ABCDE$是正五边形吗?请说明理由.

新知生成: (1)只要把一个圆分成相等的一些弧, 以各分点为顶点的多边形就是这个圆的正多边形, 这个圆就是这个正多边形的圆; 经过各分点作圆的切线, 以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的正多边形, 这个圆就是这个正多边形的圆.
(2)正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的, 外接圆的半径叫作正多边形的, 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的, 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的.

(1)$\overset{\frown}{BCE}$(或$\overset{\frown}{BDE}$) 3 $\overset{\frown}{ABD}$(或$\overset{\frown}{ACD}$)
3 $\overset{\frown}{BCE}$(或$\overset{\frown}{BDE}$) $\overset{\frown}{ABD}$(或$\overset{\frown}{ACD}$) =
(2)解：五边形ABCDE是正五边形. 理由如下：
由(1)同理可得$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=∠ E$.
根据题意，得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EA}$，即$AB=BC=CD=DE=EA$.
$\therefore$五边形ABCDE是正五边形.
新知生成 (1)内接 外接 外切 内切
(2)中心 半径 中心角 边心距

【分析】
解题思路：首先明确圆被五等分后每一段弧都相等，利用弧的和差关系计算组合弧对应的等弧份数；再根据“同圆中相等的弧所对的圆周角相等”推导角的等量关系；判断正五边形需要同时满足“各边相等、各内角相等”两个条件，结合等弧对等弦、等弧所对圆周角相等的性质即可证明；最后结合正多边形与圆的对应概念直接填写术语即可。
【解析】
(1) 已知$\odot O$被五等分，因此$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EA}$。
$\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BCE}$，共包含3段等弧，所以等于$3\overset{\frown}{BC}$；
$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{ABD}$，同样包含3段等弧，所以等于$3\overset{\frown}{BC}$；
因此$\overset{\frown}{BCE}=\overset{\frown}{ABD}$，根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等，可得$∠ A=∠ E$。
(2) 五边形$ABCDE$是正五边形，理由：
由(1)的推导同理可得所有内角相等，即$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=∠ E$；
由五等分圆可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EA}$，根据同圆中等弧对等弦的性质，得$AB=BC=CD=DE=EA$。
同时满足各边相等、各内角相等的多边形是正多边形，因此五边形$ABCDE$是正五边形。
新知生成：
(1) 把圆分成相等的弧，依次连接分点得到的是圆的内接正多边形，这个圆是正多边形的外接圆；作各分点的切线，以相邻切线交点为顶点的是圆的外切正多边形，这个圆是正多边形的内切圆。
(2) 正多边形外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。
【答案】
(1)$\overset{\frown}{BCE}$(或$\overset{\frown}{BDE}$) 3 $\overset{\frown}{ABD}$(或$\overset{\frown}{ACD}$)
3 $\overset{\frown}{BCE}$(或$\overset{\frown}{BDE}$) $\overset{\frown}{ABD}$(或$\overset{\frown}{ACD}$) =
(2)五边形ABCDE是正五边形. 理由如下：
由(1)同理可得$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=∠ E$.
根据题意，得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EA}$，即$AB=BC=CD=DE=EA$.
$\therefore$五边形ABCDE是正五边形.
新知生成 (1)内接 外接 外切 内切
(2)中心 半径 中心角 边心距
【知识点】
弧与圆周角的关系，正多边形的判定，正多边形与圆的概念
【点评】
本题属于基础概念巩固类习题，侧重考察正多边形与圆的基础性质和相关术语，解题关键是熟练掌握同圆中等弧对等弦、等弧所对圆周角相等的性质，以及正多边形的判定标准。
【难度系数】
0.8

1. 以下关于正多边形的描述：①正多边形的每条边都相等；②正多边形都是轴对称图形；③正多边形的外角和是$360°$；④正多边形都是中心对称图形.其中，正确的描述是（）

A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④

1.A

【分析】
解题时需逐个判断4个描述的正确性：首先回忆正多边形的定义、对称性以及多边形外角和的相关知识点。先根据正多边形定义判断①；再结合轴对称图形的特征判断②；依据任意多边形外角和的固定结论判断③；最后结合中心对称图形的定义，通过举反例（如正三角形）判断④，最终选出所有正确描述对应的选项。
【解析】
我们对4个描述逐一分析：
1. 描述①：根据正多边形的定义，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形，因此正多边形的每条边都相等，①正确；
2. 描述②：正多边形沿过其中心的任意一条对称轴折叠，直线两侧的部分都能完全重合，因此所有正多边形都是轴对称图形，且正n边形有n条对称轴，②正确；
3. 描述③：任意多边形的外角和均为360°，正多边形属于多边形，因此其外角和也是360°，③正确；
4. 描述④：中心对称图形的定义是绕某点旋转180°后能与自身重合的图形，边数为奇数的正多边形（例如正三角形、正五边形）旋转180°后无法与自身重合，不属于中心对称图形，因此④错误。
综上，正确的描述为①②③，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正多边形的性质
2. 多边形外角和定理
3. 轴对称与中心对称图形判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生熟练掌握正多边形的定义、对称性等基础性质，解题时要注意边数为奇数的正多边形不具备中心对称性，避免因概念混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.8

2. 完成下面的表格：

解：根据正多边形的相关性质计算得：
|正多边形边数|内角度数|中心角度数|外角度数|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|3|$60°$|$120°$|$120°$|
|4|$90°$|$90°$|$90°$|
|6|$120°$|$60°$|$60°$|
|$n$|$\frac{(n-2)×180°}{n}$|$\frac{360°}{n}$|$\frac{360°}{n}$|

【分析】
要完成表格，需回忆正多边形三类角度的计算规律：1. 内角：正n边形内角和为$(n-2)×180°$，每个内角度数=内角和÷边数；2. 中心角：正多边形的中心角是周角$360°$平均分成n份的大小，即中心角=$360°÷ n$；3. 外角：任意多边形外角和恒为$360°$，正多边形每个外角度数相等，即外角=$360°÷ n$，也可通过“内角+外角=$180°$”验证结果。接下来分别将n=3、4、6代入公式计算，再写出通用n的表达式即可。
【解析】
1. 当边数为3（正三角形）：
内角度数：$\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$
中心角度数：$\frac{360°}{3}=120°$
外角度数：$\frac{360°}{3}=120°$
2. 当边数为4（正方形）：
内角度数：$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$
中心角度数：$\frac{360°}{4}=90°$
外角度数：$\frac{360°}{4}=90°$
3. 当边数为6（正六边形）：
内角度数：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
中心角度数：$\frac{360°}{6}=60°$
外角度数：$\frac{360°}{6}=60°$
4. 当边数为n时：
内角度数：$\frac{(n-2)×180°}{n}$
中心角度数：$\frac{360°}{n}$
外角度数：$\frac{360°}{n}$
【答案】
|正多边形边数|内角度数|中心角度数|外角度数|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|3|$60°$|$120°$|$120°$|
|4|$90°$|$90°$|$90°$|
|6|$120°$|$60°$|$60°$|
|$n$|$\frac{(n-2)×180°}{n}$|$\frac{360°}{n}$|$\frac{360°}{n}$|
【知识点】
正多边形内角计算；正多边形中心角计算；多边形外角和
【点评】
本题是正多边形角度计算的基础题，只要牢记正多边形内角和公式、外角和恒为$360°$、中心角的推导规律即可快速求解，解题时可利用“正多边形外角度数与中心角度数相等”的规律验证结果，减少计算错误。
【难度系数】
0.85